河北省邯郸市2017届高三9月联考数学（文）试题 Word版含答案

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（
）
A．{1,2,3}
B．{1,2}
C．{1}
D．{3}
2.已知复数，则复数的模为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
3.半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（
）
A．44
B．54
C．88
D．108
4.设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若的面积为2，则点的坐标为（
）
A．（1,2）或（1，-2）
B．（1,4）或（1，-4）
C.（1,2）
D．（1,4）
5.
函数的图象如图所示，则（
）
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A．
B．
C．
D．
6.以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7.满足不等式的实数使关于的一元二次方程有实数根的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
8.
如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
9.
执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的等于（
）
A.19
B.24
C.30
D.37
10.已知直线与函数的图象交于，两点，若点是线段的中点，则实数的值为（
）
A．2
B．1
C．
D．
11.
已知函数．若是使不等式恒成立的的最小值，则（
）
A．
B．
C．
D．
12.函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
已知，，且，则向量与的夹角为
．
14.
若，满足约束条件，则的最大值为
．
15.
在中，边的垂直平分线交边于，若,则的面积为
.
16.
6月23日15时前后，江苏盐城市
( http: / / www.21cnjy.com )阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区.
已知下面四种说法都是正确的.
⑴甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；
⑵乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；
⑶丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；
⑷丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向；
此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，有下列判断：
①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向.
其中判断正确的序号是
.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
（本小题满分12分）
已知各项都为正数的等比数列满足，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的前项和．
18.
(本小题满分12分）
某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）求抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；
（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人
，求至少抽到1名女生的概率.
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19.
(本小题满分12分）
如图，已知等边的边长为4,，分别为边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.
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（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.
20.
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，求与的面积之差的绝对值的最大值.（为坐标原点）
21.
（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，为的切线，切点为，割线过圆心，且.
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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若,求的长.
23.
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于不同的两点，．
（Ⅰ）写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（Ⅱ）若弦长，求直线的斜率．
24.
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设．
（Ⅰ）求的解集；
（Ⅱ）当时，求证：．
数学（文科）·答案
A卷
一、选择题
1.
B
2.B
3.C
4.A
5.D
6.A
7.A
8.C
9.B
10.
C
11.D
12.C
二、填空题
13.
14.
15.
或（错解漏解均不得分）
16.③
三、解答题
17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项求和，以及逻辑思维能力、运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用．
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公式比为，由题意知，
∴，解得，故．……………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以，……………………………………………（7分）
∴，…………………………………………………………………………（8分）
故数列的前项和为：
．……………………………………（12分）
【方法点拨】⑴求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项与公比的方程（组）来解；⑵裂项法适用于求通项形如的数列的前项和．
18．【命题意图】本题考查频率分布直方图、古典概型，考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力.
【解析】（Ⅰ）.………………………………………………（2分）
（Ⅱ）在所抽取的女生中，月上网次数不少于1
( http: / / www.21cnjy.com )5次的学生频率为（0.05+0.02）×5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.………………………………………（4分）
在所抽取的男生中，月上网次
( http: / / www.21cnjy.com )数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）×5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.…………………………………………………（6分）
故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.…………………………………（7分）
（Ⅲ）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件，……………………………………………………………………………………………………（8分）
在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，人数为0.1×20=2人，
在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.03×5=0.15，人数为0.15×20=3人，
…………………………………………………………………………………………………………………（10分）
记这2名女生为，，这3名男生为，，，
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所以.……………………………………………………………………………………………（12分）
【归纳总结】（1）涉及频率分布直方图问
( http: / / www.21cnjy.com )题通常要利用其性质：①所有小矩形的面积和为1；②每组频率=对应矩形面积；（2）古典概型的计算通常利用一一列举法解决.
【命题意图】
本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，棱锥体积的计算，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.
【解析】（I）因为为等边的边的中点，所以是等边三角形，且．
因为是的中点，所以.…………………………（1分）
又由于平面平面,平面，所以平面………………………（2分）
又平面，所以.…………………………（3分）
因为，所以，所以.…………………………（4分）
在正中知，所以.
而，所以平面.…………………………（5分）
又因为平面，所以平面平面.…………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，所以为三棱锥底面上的高．
根据正三角形的边长为4，知是边长为2的等边三角形，所以．
易知，．…………………………………………（8分）
又由（Ⅰ）知，所以，
所以，……………………（10分）
所以．…………………………（12分）
【举一反三】（1）空间垂直的证明通
( http: / / www.21cnjy.com )常利用线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化来证明；（2）求三棱锥的体积主要是确定三棱锥的高和底面，确定高时主要是利用线面垂直来确定，求底面面积主要是利用平面几何知识解决．
20.
【命题意图】本题考查椭圆的
( http: / / www.21cnjy.com )方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.
【解析】（Ⅰ）由题意得，又，则，所以.
又，故椭圆的方程为.……………………………………………（4分）
（Ⅱ）解法一：设的面积为，的面积为.
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，，且，面积相等，.………………………………………………………………………………………（6分）
当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，
和椭圆方程联立得，消掉得.………………………（7分）
显然，方程有根，且.……………………………………………………………（8分）
此时.
因为，所以上式（时等号成立）.
所以的最大值为.……………………………………………………………………………（12分）
解法二：设直线的方程为，与椭圆方程联立得：.
…………………………………………………………………………………………………………………（6分）
∴，………………………………………………………………………………………（8分）
∴，
当时，.
当时，（当且仅当时等号成立）.
所以的最大值为.……………………………………………………………………………（12分）
21.
【命题意图】本题考查导数的几何意义、
( http: / / www.21cnjy.com )导数与函数单调性的关系，不等式恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力，运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想．
【解析】（Ⅰ）当时，，则，………………………………（1分）
，∴，………………………………………………………………（2分）
∴曲线在点处的切线方程为，即．…………………………（4分）
（Ⅱ）当时，，
所以不等式等价于．…………………………………………（5分）
方法一：令，
则．……………………………………（6分）
当时，，则函数在上单调递增，所以，
所以根据题意，则有，∴．……………………………………………………………………（7分）
当时，由，知函数在上单调递减；
由，知函数在上单调递增，
所以．……………………………………………………………………（8分）
由条件知，即．……………………………………………………（9分）
设，则，
所以在上单调递减．
又，所以与条件矛盾．
综上可知，实数的取值范围为．…………………………………………………………（12分）
方法二：令，
则在上恒成立，所以，
所以．…………………………………………………………………………………………（8分）
又，
显然当时，，则函数在上单调递增，所以，
所以．
综上可知的取值范围为．…………………………………………………………（12分）
【规律总结】（1）导数的几
( http: / / www.21cnjy.com )何意义问题必须把握住切点坐标与导数求出切线斜率；（2）利用导数处理不等式问题在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.
22.【命题意图】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力.
【解析】（Ⅰ）因为为圆的切线，所以.…………………………（1分）
又因为,所以，…………………………（2分）
所以,…………………………（3分）
所以，…………………………（4分）
所以，即.…………………………（5分）
（Ⅱ）因为，所以.…………………………（6分）
又，…………………………（7分）
所以，…………………………（8分）
由余弦定理，得.…………………………（10分）
【方法点拨】（1）如果已
( http: / / www.21cnjy.com )知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；（2）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.
【命题意图】本题考查圆的极坐标方程与直线的参数方程、直线与圆的位置关系，以及考查逻辑四维能力、等价转化能力、运算求解能力.
【解析】（Ⅰ）由，得.…………………………（1分）
将，代入可得，…………………………（3分）
配方，得，所以圆心为，半径为.…………………………（5分）
（Ⅱ）由直线的参数方程知直线过定点，
则由题意，知直线的斜率一定存在，因此不妨设直线的方程为的方程为.…………………………（7分）
因为,所以，解得或.…………………………（10分）
【归纳总结】（1）化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式来完成；（2）在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程与参数方程均化为直角坐标方程来解决.
【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、比较法的应用、绝对值的性质及零点分段法的应用，并考查逻辑四维能力、等价转化能力、运算求解能力.
【解析】（Ⅰ）由得：
或或…………………………（3分）
解得，
所以的解集为.…………………………（5分）
（Ⅱ）当，即时，
要证，即证.…………………………（6分）
，…………………………（9分）
，即.…………………………（10分）
【技巧点拨】（1）零点分段法是求绝对值
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