高中数学人教A版培优系列之必修一
第一单元 集合与函数概念
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，则( )
A．U＝A∪B
B．U＝(?UA)∪B
C．U＝A∪(?UB)
D．U＝(?UA)∪(?UB)
2.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0或x≥1}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∪?UB＝R，则实数a的取值范围是( )21世纪教育网版权所有
A．0≤a≤1 B．0＜a＜1
C．a≤0或a≥1 D．a＜0或a＞1
3.若A＝{x|kx2－2x＋1＝0}中含有两个元素，则k的取值范围是( )
A．k＜1 B．k≤1
C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
4.已知函数f（x）的定义域为（－1，0），则函数f（2x＋1）的定义域为（ ）
A.（－1，1） B.
C.（－1，0） D.
5.设函数y＝f（x）的定义域是{x|－2≤x≤3且x≠2}，值域是{y|－1≤y≤2且y≠0}，则下列四个图形可以是函数y＝f（x）的图像的为（ ）www.21-cn-jy.com
6.若一系列的函数解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同型异构”函数.那么函数解析式为y＝－x2，x∈R，值域为{－1，－9}的“同型异构”函数有（ ）
A.10个 B.9个 C.8个 D.7个
7.已知函数f（x）＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数.若f（－2）＝2，则f（2）的值为（ ）
A.－2 B.－4
C.－6 D.－10
8.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)≤0的解集为( )2·1·c·n·j·y
A．[－5，－2]∪[2,5] B．[－2,0]∪[2,5]
C．[－2,2] D．[－5，－2]∪[0,2]
9.已知函数f(x)＝－在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝( )
A. B．－
C．1 D．－1
10.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，则f（－1）与f（a2－2a＋3）的大小关系是（ ）21cnjy.com
A.f（－1）≥ f（a2－2a＋3） B.f（－1）≤ f（a2－2a＋3）
C.f（－1）＞f（a2－2a＋3） D.f（－1）＜f（a2－2a＋3）
11.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e-x B．(ex＋e-x)
C.( e-x－ex) D．(ex－e-x)
12.设数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则∈M.则下列结论正确的是（ ）21·cn·jy·com
A.集合M中至多有2个元素 B.集合M中至多有3个元素
C.集合M中有且仅有4个元素 D.集合M中有无穷多个元素
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设函数f（x）＝若f（a）＝4，则实数a的值为 .
14.设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5}，则满足S?A且S∩B≠?的所有集合S有________个．【来源：21·世纪·教育·网】
15.若函数f（x）满足，则f（x）＝ .
16.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，则全班共有________人．21·世纪*教育网
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.若A＝{x|－5x＋6＝0}，B＝{x|ax－6＝0}，且A∪B＝A，求由实数a组成的集合C．（10分）21教育网
18.已知集合A＝{x|－3x＋2＝0}，B＝{x|－ax＋a－1＝0}，C＝{x|－mx＋2＝0}．
若A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围．（12分）
19.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝＋2x（12分）
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
20.已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝ ．（12分）
（1）求f（x）在[－1，1]上的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．
21.已知函数．（12分）
（Ⅰ）求函数的定义域和值域；
（Ⅱ）若，试比较 与 的大小．
22.已知函数＝ ，（12分）
（1）求的值；
（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明；
（3）求值：．
高中数学人教A版培优系列之必修一
第一单元 集合与函数概念
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，则( )
A．U＝A∪B
B．U＝(?UA)∪B
C．U＝A∪(?UB)
D．U＝(?UA)∪(?UB)
【答案】D
【解答】因为?UA＝{2，4，6}，?UB＝{1，3，5，6}，所以U＝(?UA)∪(?UB)．
2.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0或x≥1}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∪?UB＝R，则实数a的取值范围是( )21教育网
A．0≤a≤1 B．0＜a＜1
C．a≤0或a≥1 D．a＜0或a＞1
【答案】A
【解答】∵?UB＝{x|a－1＜x＜ a＋1}．又A∪?UB＝R，∴得0≤a≤1.
3.若A＝{x|kx2－2x＋1＝0}中含有两个元素，则k的取值范围是( )
A．k＜1 B．k≤1
C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【答案】C
【解答】由题意得
得k＜1且k≠0.
4.已知函数f（x）的定义域为（－1，0），则函数f（2x＋1）的定义域为（ ）
A.（－1，1） B.
C.（－1，0） D.
【答案】B
【解答】对于f(2x＋1)，－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，
即函数f(2x＋1)的定义域为
5.设函数y＝f（x）的定义域是{x|－2≤x≤3且x≠2}，值域是{y|－1≤y≤2且y≠0}，则下列四个图形可以是函数y＝f（x）的图像的为（ ）21cnjy.com
【答案】C
【解答】观察发现，每一个图中都是一个x最多对应一个y，故都是函数图像．定义域是{x|－2≤x≤3且x≠2}，值域是{y|－1≤y≤2且y≠1}，值域不满足，A错；定义域不满足，B错；定义域是{x|－2≤x≤3且x≠2}，值域是{y|－1≤y≤2且y≠0}，C正确；定义域不满足，D错误．所以答案是C.21·cn·jy·com
6.若一系列的函数解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同型异构”函数.那么函数解析式为y＝－x2，x∈R，值域为{－1，－9}的“同型异构”函数有（ ）
A.10个 B.9个 C.8个 D.7个
【答案】B
【解答】x从1，－1中至少取一个，从3，－3中至少取一个，即定义域中至少有2个元素，至多有4个元素，分别为www.21-cn-jy.com
{1，3}，{1，－3}，{－1，3}，{－1，－3}，{1，－1，3}，{1，－1，－3}，
{1，3，－3}，{－1，3，－3}，{1，－1，3，－3}，共9个．
7.已知函数f（x）＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数.若f（－2）＝2，则f（2）的值为（ ）
A.－2 B.－4
C.－6 D.－10
【答案】D
【解答】∵f(－2)＝a(－2)3＋b·(－2)－4＝2，
∴8a＋2b＝－6，∴f(2)＝8a＋2b－4＝－10.
8.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)≤0的解集为( )21·世纪*教育网
A．[－5，－2]∪[2,5] B．[－2,0]∪[2,5]
C．[－2,2] D．[－5，－2]∪[0,2]
【答案】B
【解答】∵f(x)为奇函数，∴其图象关于坐标原点对称，
∴f(x)≤0的解集为[－2,0]∪[2,5]．
9.已知函数f(x)＝－在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝( )
A. B．－
C．1 D．－1
【答案】A
【解答】由f(x)＝－在[1,2]上单调递增，∴A＝f(2)＝－，B＝f(1)＝－1，
∴A－B＝－＋1＝.
10.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，则f（－1）与f（a2－2a＋3）的大小关系是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.f（－1）≥ f（a2－2a＋3） B.f（－1）≤ f（a2－2a＋3）
C.f（－1）＞f（a2－2a＋3） D.f（－1）＜f（a2－2a＋3）
【答案】D
【解答】∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，且函数f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．又∵函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，
∴f(－1)＝f(1)＜ f(2)≤f(a2－2a＋3)．
11.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e-x B．(ex＋e-x)
C.( e-x－ex) D．(ex－e-x)
【答案】D
【解答】∵f(x)＋g(x)＝ex，∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，
即f(x)－g(x)＝，得g(x)＝.
12.设数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则∈M.则下列结论正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A.集合M中至多有2个元素 B.集合M中至多有3个元素
C.集合M中有且仅有4个元素 D.集合M中有无穷多个元素
【答案】C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设函数f（x）＝若f（a）＝4，则实数a的值为 .
【答案】－4或2
【解答】当a≤0时，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；当a＞0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2.
故a＝－4或a＝2.
14.设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5}，则满足S?A且S∩B≠?的所有集合S有________个．2-1-c-n-j-y
【答案】12
【解答】集合S是集合A的子集，A＝{1，2，3，4}有16个子集，因为B＝{3，4，5}，且S∩B≠?，所以S非空且是A的子集中不只含元素1，2的子集，而只含有1，2的子集是{1}，{2}，{1，2}，所以集合S有12个． 21*cnjy*com
15.若函数f（x）满足，则f（x）＝ .
【答案】－x(x≠0)
【解答】因为. ①
所以以代替x，得.②
由①②，得f(x)＝－x(x≠0)．
16.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，则全班共有________人．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】43
【解答】设参加数、理、化三科竞赛的人组成集合A，B，C，如图所示，
则全班人数为2＋4＋5＋10＋7＋11＋4＝43.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.若A＝{x|－5x＋6＝0}，B＝{x|ax－6＝0}，且A∪B＝A，求由实数a组成的集合C．（10分）【出处：21教育名师】
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】解二次方程－5x＋6＝0可以求出集合A，根据A∪B＝A可得B?A，分B＝{2}、B＝{3}、B＝Φ，三种情况分别求出对应的a值，即可求出实数a组成的集合C
【解答】解：－5x＋6＝0，∴x＝2，x＝3，即A＝{2，3}
∵A∪B＝A故B是单元素集合{2}，{3}或B＝Φ，
当B＝{2}，由2a－6＝0得a＝3；
当B＝{3}，由3a－6＝0得a＝2；
当B＝Φ，由ax－6＝0得a＝0，
所以由实数a形成的集合为C＝{0，2，3}.
18.已知集合A＝{x|－3x＋2＝0}，B＝{x|－ax＋a－1＝0}，C＝{x|－mx＋2＝0}．
若A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围．（12分）
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【分析】求出A中方程的解确定出A，由A∪B＝A，A∩C＝C，得到B?A，C?A，分类讨论B与C，分别求出a，m的范围即可．2·1·c·n·j·y
【解答】解：由A中方程变形得：（x－1）（x－2）＝0，解得：x＝1或x＝2，即A＝{1，2}，∵B＝{x|－ax＋a－1＝0}，C＝{x|－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，∴B?A，C?A，若B?A，显见B中至少有一个元素1，即B≠?，当B为单元素集合时，只需a＝2，此时B＝{1}满足题意；当B为双元素集合时，只需a＝3，此时
B＝{1，2}也满足题意，∴a＝2或a＝3，则a的取值集合为{2，3}；
若C?A，当C是空集时，
，即；当C为单元素集合时，△＝0，，
此时C＝{}或C＝{}，不满足题意；当C为双元素集合时，
C只能为{1，2}，此时m＝3，综上，m的取值集合为{m|m＝3或}．
19.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝＋2x（12分）
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．（12分）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝－＋2（－x）＝－－2x．又
f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）且f（0）＝0．
于是x＜0时f（x）＝＋2x．所以f（x）＝ ．
（Ⅱ）作出函数f（x）＝的图象如图：
则由图象可知函数的单调递增区间为[－1，1]要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
结合f（x）的图象知;，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．
20.已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝ ．（12分
（1）求f（x）在[－1，1]上的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．
【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）＝0，及x∈（－1，0）时f（x）的解析式，x＝－1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．（2）证明单调性可用定义．
21.已知函数．（12分）
（Ⅰ）求函数的定义域和值域；
（Ⅱ）若，试比较 与 的大小．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【分析】（Ⅰ）由即可求出函数定义域，根据二次函数的性质即可求出值域，（Ⅱ）判断函数 在区间（0，1）上是减函数，问题得以解决．
【解答】解：（Ⅰ）由得，∴函数的定义域为[0，2]，
∵，∴函数的值域为[0，1]，
（Ⅱ）当x＞0时，在区间（0，1）上是减函数，
∴时， ．
22.已知函数＝ ，（12分）
（1）求的值；
（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明；
（3）求值：．
【考点】函数的值；数学归纳法．
【分析】（1）f（x）＝，利用函数性质能求出的值．（2）猜想，再利用函数性质进行证明．（3）由，能求出的值．21世纪教育网版权所有
