2025 学年第一学期台州市山海协作体高二期中联考
高二年级数学学科参考答案
选择题部分
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A B C B C D
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．）
9 10 11
AD BCD ACD
非选择题部分
三、填空题：本大题共 3小题，每题 5 分，共 15 分．把答案填在题中的横线上．
12. （3，1，-2） ；
13. x y 1 0 ；
14. 3,63 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知YABCD的顶点 A为 (2,0)，直线 CD的方程为 x y 1 0 .
（1）求直线 AB的方程；
（2）若 B为 (1,1)，求YABCD的面积.
参考答案第 1页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}
【答案】（1） x y 2 0
（2）3
【解析】
【小问 1详解】
由已知 AB//CD,所以 kAB kCD 1，--------------------------------2 分
A 2,0 故直线 AB的方程为 y (x 2)即x y 2 0. --------------------- 6分
【小问 2详解】
2 0 1
点 A到直线 CD的距离为 d
3
2，----------------------9 分
12 12 2
AB (2 1)2 0 1 2 2，-----------------------------------11 分
S 3 ABCD AB d 2 2 3 .-----------------------------------------------------13分2
16. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC AA1， E,F分别为C1C,BC的中点,且
AB AC．
（1）证明： B1F 平面AEF ;
（2）求平面 A1BC与平面 AEF 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
2
（2）
3
【解析】
参考答案第 2页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}
【小问 1详解】
显然 AB, AC, AA1两两垂直，分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 AB=2，
则 A(0,0,0), A1(0,0, 2),B(2,0,0),B1(2,0, 2),E(0, 2,1),F (1,1,0)，--------------------------------2 分
B1F ( 1,1, 2)， AE (0, 2,1)， AF (1,1,0)，则B1F AE 1 0 1 2 ( 2) 1 0，
所以 B1F AE， B1F AE，
又 B1F AF 1 1 1 1 ( 2) 0 0，
所以 B1F AF ， B1F AF ，-------------------------------------------------------------------5分
又因为 AE, AF 平面AEF，AE AF A，
所以 B1F 平面AEF .--------------------------------------------------------------------7 分
【小问 2详解】
由（1）可知， A1B (2,0,-2)，又 A1C (0, 2, 2)，
m A B 2x 2z 0
设平面 A1BC的法向量为m x, y, z
， 1
m
A1C 2y 2z 0
令 x 1，得 y 1，z 1，即m 1,1,1 .----------------------------10 分
又 B1F
平面AEF ，故取平面 AEF的法向量为 n 1, 1,2 ，-----------12分
参考答案第 3页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}
设平面 A1BC与平面 AEF 所成角为θ
cos cos m n m n 1 1 1 1 1 2 2， .
m n 12 （ 1）2 22 12 12 12 3
A1B 2与平面 AEF所成角的余弦值为 .-----------------------------------------------15分
3
17. 已知圆O : x2 y2 1，圆C : x2 y2 6x 8y a 0，O为坐标原点.
(1)过点C作圆O的一条切线，求切线长；
(2)若圆O和圆C有两条公切线，求实数 a的范围.
【答案】（1） 2 6 ;
（2）-11
【解析】
【小问 1详解】
由题可知，圆心C 3,4 ，-------------------------------------------------------------------2分
过点 C作圆 O的切线，则切线长为 |OC |2 1，------------------------------------5 分
又 OC 32 42 5，
所以切线长为 2 6 .-----------------------------------------------------------------------------7 分
【小问 2详解】
圆O : x2 y2 1的圆心坐标为O 0,0 ，半径 r1 1，
圆C的半径r2 25 a , --------------------------------------------------------------------10分
又因为两圆有两条公切线，所以两圆相交，
所以 | 25 a 1| |OC | 25 a 1，----------------------------------------------- -13分
解得-11参考答案第 4页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}
1
18. 已知动点 P与定点F (1,0)的距离和动点 P到定直线m : x 4的距离的比是常数 ，记动点 P的
2
轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C的方程；
(2)设曲线 C与 x轴的交点为 A1、A2 (点A1在点A2的左侧)，直线 l交曲线C于M 、 N 两点（l不过
点 A2 ) .
①若直线 l 过点 F,且倾斜角为 60 °，直线 l 被以线段 A1A2 为直径的圆截得的弦为 GH，求
|MN | |GH |的值.
②设直线MA 92与直线NA2的斜率分别是 k1、 k2，且 k1k2 ，求证：直线 l过定点．4
x2 y2
【答案】（1） 1
4 3
（2）①16 13 ②证明见解析
5
【小问 1详解】
2 2
P(x, y) (x 1) y 1设动点 ，由已知 ，-------------------------------------------3 分
| x 4 | 2
x2 y2
化简得，曲线 C的方程为 1 .-----------------------------------------------------5 分
4 3
【小问 2详解】
x2 y2
①由已知，直线 l的方程为 y 3(x 1)，代入曲线C : 1中，得5x2 8x 0，
4 3
--------------------------------- 7分
设M (x1, y1)，N (x2 , y2 )，则 x1 0, x
8 16
2
2
，所以 |MN | 1 k | x1 x5 2
| ，
5
-----------------------------------9 分
参考答案第 5页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}
以线段 A A 2 2 31 2为直径的圆的方程为 x y 4，圆心 O到直线 l的距离 d ,2
16 13
所以 |GH | 2 r 2 d 2 13, |MN | |GH | . ---------------------------11分
5
②设M (x3, y3)， N (x4 , y4 )，易知直线 l的斜率不为0，
设其方程为 x my t(t 2)，
x my t
联立 x2 y2 ，可得 (3m2 4)y2 6mty 3t2 12 0，
1 4 3
由 36m2t2 4(3m2 4)(3t2 12) 0，得 t 2 3m2 4．
6mt 2
由韦达定理，得 y3 y4 2 ， y3y
3t 12
4 ，----------------13 分3m 4 3m2 4
9 y3 y 9 k1k2
4
，
4 x3 2 x4 2 4
，
可化为 4y3y4 9(my3 t 2)(my4 t 2) 0，
2
整理即得 (4 9m )y3y4 9m(t 2)(y3 y4 ) 9(t 2)
2 0，
3t 2 12
(4 9m2) 2 9m(t 2)(
6mt
2 ) 9（t 2）
2 0 ，------------15 分
3m 4 3m 4
由 t 2 0，
(4 9m2)(t 2) 18m2t
进一步得 2 2 3(t 2) 0，化简可得16t 16 0，解得 t 1，3m 4 3m 4
直线MN 的方程为 x my 1，恒过定点 (1,0) .------------------------------------------17分
19. 在空间直角坐标系中，经过点 P x0 , y0 , z0 ，法向量m a,b,c 的平面的方程为
a x x0 b y y
0 c z z0 0，经过点 P x0 , y0 , z0 且方向向量n A,B,C 的直线方程
参考答案第 6页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}
x x0 y y0 z z为 0 ABC 0 ．有四个平面 1 : x 2y 4z 16 0， 2 : x z 4 0，A B C
3 : 2x y 2z 8 0， 4 : z 0
（1）求证平面 2与 y轴平行；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P x0 , y0 , z0 到平面 Ax By Cz D 0的距
Ax0 By0 Czd 0
D
离为 ；
A2 B2 C 2
（3）若四个平面 1， 2， 3， 4 围成四面体 ABCD，判断该四面体是否有内切球，如果有，求出
其球心O1 .
【小问 1详解】
根据题意，平面 2的法向量 n2 1,0,1 ，y轴的方向向量为u 0,1,0 ，
所以 n2 u 1 0 0 1 1 0 0，故平面 2与 y轴平行.--------------------------5 分
【小问 2详解】
不妨设C 0，在平面 Ax By Cz D 0 Q
D
内取一点 0,0, ，----------7 分
C
QP 则向量 x0 , y0 , z
D
0
，
C
取平面 Ax By Cz D 0的一个法向量 n A,B,C ，----------------9 分
QP n
所以点 P x0 , y0 , z0 到平面 Ax By Cz D 0 Ax0 By0 Cz D的距离为 d 0 .n A2 B2 C 2
--------------------------11分
【小问 3详解】
设内切球球心为O1 a,b,c ，则球心 O1到四个面的距离相等，即
参考答案第 7页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}
a 2b 4c 16 a c 4 2a b 2c 8
| c |，---------------------------13分
21 2 3
球心在四面体的内部， a,b,c 0,
a c 4
则由 c得 a 4 ( 2 1)c,或a 4 ( 2 1)c(舍), -----------------15分
2
2a b 2c 8
代入 c,得 | b 2 2c | 3c， b (3 2 2)c.
3
a 2b 4c 16 12 12
代入 c中，得 c ,或c ，
21 9 3 2 21 9 3 2 21
x 2y 4z 16 0
12
由 2x y 2z 8 0 得交点为(0,8,0),故 b<8,所以 c
9 3 2 21
z 0
24 4 21 36 24 2 12
得内切球球心 , , .----------------17分
9 3 2 21 9 3 2 21 9 3 2 21
参考答案第 8页，共 8页
{#{QQABSQSsxwAwkIRACK66QQHgCUuYkIMSJKgOwVAeOARCgRNABCA=}#}绝密★考试结束前
2025学年第
一学期台州市山海协作体高二期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1,本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.
答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.直线y-1=k(x+2)过定点()
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(-2,1)
D.(1,-2)
2双曲线
y=1的焦点坐标是()
A.(-VZ,0),(2,0)B.(0,-V2),(0,V2)
C.(0,-2),(0,2)
D.（-2,0),(2,0)
3.如图.空间四边形0ABC中，OA=a,O丽=i,OC=c,点M在OA上，且满足MA=O
点N为BC的中点，则MN=()
A.
2-11-
3a+2b+2
1a-26+8
B.20-32
c.
1-,11-
-a+-b--C
-C
222
+6
5a+3b-29
4.已知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A,B两点，则
两圆公共弦所在直线的方程为()
A.3x-3y-4=0
B.3x-3y+4=0
C.x+y-3=0
D.x+y+3=0
5.直线：ax-y+2025=0,l2:(3a-2)x+ay-2a=0,若l11l2,则实数a的值为()
A.0
B.1
C.0或1
D.或1
高二数学学科试题第1页（共4页）
6.如图，在圆锥S0中，AB是底面圆O的直径，D,E分别为S0,SB的中点，OC⊥AB,IS01=IAB1=4,
则直线AD与直线CE所成角的余弦值为()
A
B受
c
7.已知圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,若圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距
离为√2，则b=()
A.3
B.-5
C.3或-5
D.-3或5
&已知椭圆C名+发KQ>b>0的左，有两焦点分别是，乃，其中刊3作2c直线
1:y=k(x+C)(k∈R)与椭圆交于A,B两点则下列说法中正确的有（)
A,当k≠0时，△ABF,的周长为2a+2c
B当k去0时，若4B的中点为随，则友=
Q2
C.若|AB到的最小值为3c,则椭圆的离心率e=】
V51
D.若F·A,=3C2，则椭圆的离心率的取值范围是
52
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)
9.已知椭圆的方程头兰+上-1，双曲线的方程为上亡-1，则()
168
44
1
A.双曲线经过点(2√3,4
B椭圆的离心率e=
2
C.椭圆和双曲线共焦点
D.椭圆和双曲线的图象有4个公共点
10.对于直线l:(m-2)x+y-2m+1=0与圆G:x2+y2-6x-4y+4=0,下列说法正确的是()
A.圆C的半径为9
B.过定点(2,3)
C.l与圆C一定不相切
D.圆心C到直线的最大距离为√2
高二数学学科试题第2页〔共4页)