广东省惠州市泰雅实验高中2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题
1．（2024高一上·惠阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以满足该不等式的整数为，，，，，即.
又因为，所以就是和中共同的元素，即.
故答案为：B.
【分析】首先明确需要先确定集合中的元素，集合是由满足的整数组成的.然后根据交集的定义，即求既属于集合又属于集合的元素，来计算.
2．（2024高一上·惠阳期中）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】 因为，所以.
故答案为：B
【分析】分别根据二次根式和立方根的性质化简式子，再结合的条件计算.
3．（2024高一上·惠阳期中）若幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数（为常数）.
因为幂函数的图象经过点，得.
解得.因此，幂函数的解析式为.
那么.
故答案为：D.
【分析】先设出幂函数的一般形式，再将已知点代入求出幂函数的指数，得到幂函数的解析式，最后将指定的自变量值代入解析式求出函数值.
4．（2024高一上·惠阳期中）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为函数单调递增，所以.
因为函数单调递减，所以，即；
又因为，所以.
综上，.
故答案为：A.
【分析】要比较、、的大小，需分别分析指数函数和的单调性，再根据单调性比较函数值大小.
5．（2024高一上·惠阳期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：选项A：函数的定义域是，定义域不关于原点对称，不满足奇函数定义，该选项错误.
选项B：函数，定义域为，，是偶函数，不是奇函数，该选项错误.
选项C：函数，定义域为，，是偶函数，不是奇函数，该选项错误.
选项D：函数，定义域为，关于原点对称.当时，，；
当时，，；当时，，.
所以对任意，，是奇函数.
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，且处两段函数值都为，所以在上是增函数，该选项错正确.
故答案为：D
【分析】要判断函数是否在定义域内既是奇函数又是增函数，需依据奇函数（定义域关于原点对称且）和增函数（定义域内任意，都有）的定义，对每个选项逐一分析
6．（2024高一上·惠阳期中）已知函数（其中a，b为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得，
则，且该函数为单调递减函数.
故答案为：A.
【分析】由图可得，计算出的值，再结合指数函数的单调性，从而找出函数的图象.
7．（2024高一上·惠阳期中）命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解： 依题意，：，真命题，
所以在上有解，
当时，原不等式，解得，满足题意；
当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意；
当时，若在上有解，则，解得，
综上所述，，
所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是.
故答案为：A
【分析】先求出命题为假命题时的取值范围，再根据充分不必要条件的定义，判断哪个选项是该范围的真子集.
8．（2024高一上·惠阳期中）已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：令.因为，所以，由此可知是奇函数.
对于任意且，由，变形可得，即，也就是，所以在上单调递增.
因为是奇函数，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递增.原不等式可转化为，
即.由于在上单调递增，所以，解得.
综上，不等式的解集为，答案选C.
故答案为：C.
【分析】先构造函数，依据已知条件判断的奇偶性，再分析其在上的单调性，进而得出在上的单调性，最后将原不等式转化为的不等式，利用单调性求解.
9．（2024高一上·惠阳期中）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 对于AB，由，，且，得，当且仅当时取等号，
因此的最大值为，的最大值是，A错误，B正确；
对于C，由，，且，得，
当且仅当时取等号，因此的最大值是，C正确；
对于D，，当且仅当，
即时取等号，因此的最小值是，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据基本不等式，结合（），分别对每个选项分析：选项A、B：利用判断和的最值.选项C：对平方后，利用基本不等式判断最大值.选项D：利用“1”的代换，将乘以后展开，再用基本不等式求最值.
10．（2024高一上·惠阳期中）土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位：与时间(单位：)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（ ）)
A．表示未经处理时土壤中的重金属含量
B．的值为
C．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约
D．函数为减函数
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：选项A：当时，，所以表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确.
选项B：当时，重金属含量减少，则，又，所以，两边约去（），得，所以，即，B错误.
选项C：使重金属含量减少一半，即，则，约去得.由，可得，即.根据对数的定义，.将代入，得，即需要处理约，C错误.
选项D：因为，，函数中，底数，指数随增大而增大，所以单调递增，那么单调递减，D正确.
故答案为：AD.
【分析】首先明确函数中参数的意义，再根据时的条件求出相关表达式，接着通过重金属含量减少一半的条件，结合对数运算求出所需时间，最后分析函数单调性.
11．（2024高一上·惠阳期中）设定义在上的函数，满足，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则当时，
D．，，，
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】选项A：令，则，即，移项可得，A正确.
选项B：令，则，即.
因为，所以，即，所以是奇函数，B正确.
选项C：已知，令，则，即.将代入，得，解得，所以当时，，C错误.
选项D：令，则，两边同时除以，得，即.令，，则.
将，即；，即
代入上式：
则
因为且，所以，，则，即，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于选项A，通过令代入函数关系式，可求出；选项B，令，结合判断函数奇偶性；选项C，令，结合分析的正负；选项D，先令推导函数表达式，再令，，计算并判断其符号.
12．（2024高一上·惠阳期中）若函数是R上的奇函数，则函数的图象必过定点 ．
【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是上的奇函数，所以的图象过定点.
对于函数，它是由的图象向右平移个单位（根据“右减”，变为），再向上平移个单位（根据“上加”，整体加）得到的.
那么图象上的定点，向右平移个单位，横坐标变为；向上平移个单位，纵坐标变为.
所以函数的图象必过定点.
故答案为：
【分析】先利用奇函数的性质确定过的定点，再根据函数图象平移的规律（“左加右减，上加下减”），分析的图象过的定点.
13．（2024高一上·惠阳期中）设，是方程的两根，则 .
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 因为，是方程的两根，
所以由韦达定理可知，.
则
.
故答案为：.
【分析】先将方程看作关于的二次方程，利用韦达定理得到和的值，再利用换底公式将转化为以为底的形式，最后代入计算.
14．（2024高一上·惠阳期中）已知且，且函数在定义域上单调，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解： 函数在定义域上单调，
当在定义域上单调递减时，，解得；
当在定义域上单调递增时，，解得，
所以的取值范围是.
【分析】已知函数是分段函数，要使其在定义域上单调，需分单调递减和单调递增两种情况讨论.根据一次函数和指数函数的单调性，结合分段函数在分段点处的函数值大小关系来确定的取值范围.
15．（2024高一上·惠阳期中）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：.
（2）解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）需要运用指数幂的运算性质，将各项化为同底数幂或进行根式与指数幂的转化后计算；（2）利用对数的运算性质，包括对数恒等式、对数的加减运算法则来求解.
（1）.
（2）.
16．（2024高一上·惠阳期中）已知函数．
（1）求，，的值；
（2）若，求的值；
（3）作出函数的大致图象，并求时，的值域．
【答案】（1）解：因为，所以，，.
（2）解：当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴或（舍）.
综上所述，m的值为或1或.
（3）解：函数的图象，如图所示：
当，，当，，
综上所述：结合图象可得的值域为.
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】（1）是根据分段函数不同区间的表达式，直接代入计算函数值；（2）是已知函数值求自变量，需对自变量所在区间分类讨论，分别代入对应表达式求解；
（3）要先画出函数大致图象，再结合图象和函数表达式分析x > 1时的值域.
（1）因为，
所以，，
.
（2）当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴或（舍）.
综上所述，m的值为或1或.
（3）函数的图象，如图所示：
当，，
当，，
综上所述：结合图象可得的值域为.
17．（2024高一上·惠阳期中）已知函数为奇函数.
（1）求a的值；
（2）利用定义证明在上单调递增；
（3）若存在，使得成立，求k的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数为奇函数，定义域为，所以，即，
此时，则，满足题意，
所以.
（2）证明：由（1）知，，
任取，，且，
则，
因为，则，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）解：由，即，
因为函数在上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则，
令（），则，
由，当时，，即，
所以k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1)利用奇函数在处的函数值为（定义域包含时）求解，再验证奇偶性.
(2)用定义法，任取两个实数，作差比较函数值大小证明单调性.
(3)结合函数的奇偶性和单调性化简不等式，再通过分离参数、换元法求参数范围.
（1）因为函数为奇函数，定义域为，所以，即，
此时，则，满足题意，所以.
（2）证明：由（1）知，，任取，，且，
则，
因为，则，，所以，即，所以在上单调递增.
（3）由，即，
因为函数在上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则，
令（），则，由，
当时，，即，
所以k的取值范围为.
18．（2024高一上·惠阳期中）年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且.
（1）当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；
（2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：依题意，当时，，
每台的平均利润为，
当且仅当时取等号，所以当生产台时，每台的平均利润最大.
（2）解：当时，，当且仅当时取等号；
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，所以当生产该设备为（台）时所获利润最大，最大利润为（万元）.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先写出每台平均利润的表达式，再用基本不等式求最大值.
(2)分两段讨论函数的最大值，一段用二次函数顶点式，一段用基本不等式，最后比较两段的最大值.
（1）依题意，当时，，
每台的平均利润为，当且仅当时取等号，
所以当生产台时，每台的平均利润最大.
（2）当时，，当且仅当时取等号；
当时，，
当且仅当，即时取等号，而，
所以当生产该设备为（台）时所获利润最大，最大利润为（万元）.
19．（2024高一上·惠阳期中）对于一个集合，如果，且，记为去掉后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合.回答下列问题：
（1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；
（2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于的奇数.
【答案】（1）解：或，给集合增加一个元素或得到集合或，由题意可得或均为梦想集合.
（2）解：不是梦想集合，理由如下：设，取，由于为偶数，则，记为集合去掉元素后构成的集合，而，易得，且，故不是梦想集合.
（3）解：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，
则设，且，因为，设为集合去掉元素后构成的集合，所以只能，
考虑这个数均属于，且各不相同，均小于，所以.
再考虑与，因为，所以，即，所以只能；
又因为这个数均属于，且均小于，所以中与其对应，故，
即，而去掉后的集合为，且，故矛盾，所以不为梦想集合.
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】（1）依据梦想集合的定义，尝试添加常数，使新集合满足任意两个不同元素，或在去掉这两个元素后的集合中.
（2）对于给定集合（为正偶数且），通过选取特定元素，验证是否满足梦想集合定义.
（3）用反证法，假设存在满足条件的有限梦想集合，根据元素均为正实数且个数为大于的奇数的特点，推导得出矛盾.
（1）或，给集合增加一个元素或得到集合或，
由题意可得或均为梦想集合.
（2）不是梦想集合，理由如下：
设，取，
由于为偶数，则，
记为集合去掉元素后构成的集合，而，
易得，且，
故不是梦想集合.
（3）假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，
则设，且，
因为，设为集合去掉元素后构成的集合，
所以只能，考虑这个数均属于，
且各不相同，均小于，所以
再考虑与，因为，所以，
即，所以只能；
又因为这个数均属于，且均小于，
所以中与其对应，故，
即，而去掉后的集合为，且，
故矛盾，所以不为梦想集合.
1 / 1广东省惠州市泰雅实验高中2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题
1．（2024高一上·惠阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·惠阳期中）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2024高一上·惠阳期中）若幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．4
4．（2024高一上·惠阳期中）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·惠阳期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·惠阳期中）已知函数（其中a，b为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·惠阳期中）命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·惠阳期中）已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·惠阳期中）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
10．（2024高一上·惠阳期中）土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位：与时间(单位：)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（ ）)
A．表示未经处理时土壤中的重金属含量
B．的值为
C．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约
D．函数为减函数
11．（2024高一上·惠阳期中）设定义在上的函数，满足，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则当时，
D．，，，
12．（2024高一上·惠阳期中）若函数是R上的奇函数，则函数的图象必过定点 ．
13．（2024高一上·惠阳期中）设，是方程的两根，则 .
14．（2024高一上·惠阳期中）已知且，且函数在定义域上单调，则a的取值范围是 ．
15．（2024高一上·惠阳期中）计算：
（1）；
（2）.
16．（2024高一上·惠阳期中）已知函数．
（1）求，，的值；
（2）若，求的值；
（3）作出函数的大致图象，并求时，的值域．
17．（2024高一上·惠阳期中）已知函数为奇函数.
（1）求a的值；
（2）利用定义证明在上单调递增；
（3）若存在，使得成立，求k的取值范围.
18．（2024高一上·惠阳期中）年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且.
（1）当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；
（2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？
19．（2024高一上·惠阳期中）对于一个集合，如果，且，记为去掉后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合.回答下列问题：
（1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；
（2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于的奇数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以满足该不等式的整数为，，，，，即.
又因为，所以就是和中共同的元素，即.
故答案为：B.
【分析】首先明确需要先确定集合中的元素，集合是由满足的整数组成的.然后根据交集的定义，即求既属于集合又属于集合的元素，来计算.
2．【答案】B
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】 因为，所以.
故答案为：B
【分析】分别根据二次根式和立方根的性质化简式子，再结合的条件计算.
3．【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数（为常数）.
因为幂函数的图象经过点，得.
解得.因此，幂函数的解析式为.
那么.
故答案为：D.
【分析】先设出幂函数的一般形式，再将已知点代入求出幂函数的指数，得到幂函数的解析式，最后将指定的自变量值代入解析式求出函数值.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为函数单调递增，所以.
因为函数单调递减，所以，即；
又因为，所以.
综上，.
故答案为：A.
【分析】要比较、、的大小，需分别分析指数函数和的单调性，再根据单调性比较函数值大小.
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：选项A：函数的定义域是，定义域不关于原点对称，不满足奇函数定义，该选项错误.
选项B：函数，定义域为，，是偶函数，不是奇函数，该选项错误.
选项C：函数，定义域为，，是偶函数，不是奇函数，该选项错误.
选项D：函数，定义域为，关于原点对称.当时，，；
当时，，；当时，，.
所以对任意，，是奇函数.
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，且处两段函数值都为，所以在上是增函数，该选项错正确.
故答案为：D
【分析】要判断函数是否在定义域内既是奇函数又是增函数，需依据奇函数（定义域关于原点对称且）和增函数（定义域内任意，都有）的定义，对每个选项逐一分析
6．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得，
则，且该函数为单调递减函数.
故答案为：A.
【分析】由图可得，计算出的值，再结合指数函数的单调性，从而找出函数的图象.
7．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解： 依题意，：，真命题，
所以在上有解，
当时，原不等式，解得，满足题意；
当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意；
当时，若在上有解，则，解得，
综上所述，，
所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是.
故答案为：A
【分析】先求出命题为假命题时的取值范围，再根据充分不必要条件的定义，判断哪个选项是该范围的真子集.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：令.因为，所以，由此可知是奇函数.
对于任意且，由，变形可得，即，也就是，所以在上单调递增.
因为是奇函数，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递增.原不等式可转化为，
即.由于在上单调递增，所以，解得.
综上，不等式的解集为，答案选C.
故答案为：C.
【分析】先构造函数，依据已知条件判断的奇偶性，再分析其在上的单调性，进而得出在上的单调性，最后将原不等式转化为的不等式，利用单调性求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 对于AB，由，，且，得，当且仅当时取等号，
因此的最大值为，的最大值是，A错误，B正确；
对于C，由，，且，得，
当且仅当时取等号，因此的最大值是，C正确；
对于D，，当且仅当，
即时取等号，因此的最小值是，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据基本不等式，结合（），分别对每个选项分析：选项A、B：利用判断和的最值.选项C：对平方后，利用基本不等式判断最大值.选项D：利用“1”的代换，将乘以后展开，再用基本不等式求最值.
10．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：选项A：当时，，所以表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确.
选项B：当时，重金属含量减少，则，又，所以，两边约去（），得，所以，即，B错误.
选项C：使重金属含量减少一半，即，则，约去得.由，可得，即.根据对数的定义，.将代入，得，即需要处理约，C错误.
选项D：因为，，函数中，底数，指数随增大而增大，所以单调递增，那么单调递减，D正确.
故答案为：AD.
【分析】首先明确函数中参数的意义，再根据时的条件求出相关表达式，接着通过重金属含量减少一半的条件，结合对数运算求出所需时间，最后分析函数单调性.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】选项A：令，则，即，移项可得，A正确.
选项B：令，则，即.
因为，所以，即，所以是奇函数，B正确.
选项C：已知，令，则，即.将代入，得，解得，所以当时，，C错误.
选项D：令，则，两边同时除以，得，即.令，，则.
将，即；，即
代入上式：
则
因为且，所以，，则，即，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于选项A，通过令代入函数关系式，可求出；选项B，令，结合判断函数奇偶性；选项C，令，结合分析的正负；选项D，先令推导函数表达式，再令，，计算并判断其符号.
12．【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是上的奇函数，所以的图象过定点.
对于函数，它是由的图象向右平移个单位（根据“右减”，变为），再向上平移个单位（根据“上加”，整体加）得到的.
那么图象上的定点，向右平移个单位，横坐标变为；向上平移个单位，纵坐标变为.
所以函数的图象必过定点.
故答案为：
【分析】先利用奇函数的性质确定过的定点，再根据函数图象平移的规律（“左加右减，上加下减”），分析的图象过的定点.
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 因为，是方程的两根，
所以由韦达定理可知，.
则
.
故答案为：.
【分析】先将方程看作关于的二次方程，利用韦达定理得到和的值，再利用换底公式将转化为以为底的形式，最后代入计算.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解： 函数在定义域上单调，
当在定义域上单调递减时，，解得；
当在定义域上单调递增时，，解得，
所以的取值范围是.
【分析】已知函数是分段函数，要使其在定义域上单调，需分单调递减和单调递增两种情况讨论.根据一次函数和指数函数的单调性，结合分段函数在分段点处的函数值大小关系来确定的取值范围.
15．【答案】（1）解：.
（2）解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）需要运用指数幂的运算性质，将各项化为同底数幂或进行根式与指数幂的转化后计算；（2）利用对数的运算性质，包括对数恒等式、对数的加减运算法则来求解.
（1）.
（2）.
16．【答案】（1）解：因为，所以，，.
（2）解：当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴或（舍）.
综上所述，m的值为或1或.
（3）解：函数的图象，如图所示：
当，，当，，
综上所述：结合图象可得的值域为.
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】（1）是根据分段函数不同区间的表达式，直接代入计算函数值；（2）是已知函数值求自变量，需对自变量所在区间分类讨论，分别代入对应表达式求解；
（3）要先画出函数大致图象，再结合图象和函数表达式分析x > 1时的值域.
（1）因为，
所以，，
.
（2）当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴或（舍）.
综上所述，m的值为或1或.
（3）函数的图象，如图所示：
当，，
当，，
综上所述：结合图象可得的值域为.
17．【答案】（1）解：因为函数为奇函数，定义域为，所以，即，
此时，则，满足题意，
所以.
（2）证明：由（1）知，，
任取，，且，
则，
因为，则，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）解：由，即，
因为函数在上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则，
令（），则，
由，当时，，即，
所以k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1)利用奇函数在处的函数值为（定义域包含时）求解，再验证奇偶性.
(2)用定义法，任取两个实数，作差比较函数值大小证明单调性.
(3)结合函数的奇偶性和单调性化简不等式，再通过分离参数、换元法求参数范围.
（1）因为函数为奇函数，定义域为，所以，即，
此时，则，满足题意，所以.
（2）证明：由（1）知，，任取，，且，
则，
因为，则，，所以，即，所以在上单调递增.
（3）由，即，
因为函数在上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则，
令（），则，由，
当时，，即，
所以k的取值范围为.
18．【答案】（1）解：依题意，当时，，
每台的平均利润为，
当且仅当时取等号，所以当生产台时，每台的平均利润最大.
（2）解：当时，，当且仅当时取等号；
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，所以当生产该设备为（台）时所获利润最大，最大利润为（万元）.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先写出每台平均利润的表达式，再用基本不等式求最大值.
(2)分两段讨论函数的最大值，一段用二次函数顶点式，一段用基本不等式，最后比较两段的最大值.
（1）依题意，当时，，
每台的平均利润为，当且仅当时取等号，
所以当生产台时，每台的平均利润最大.
（2）当时，，当且仅当时取等号；
当时，，
当且仅当，即时取等号，而，
所以当生产该设备为（台）时所获利润最大，最大利润为（万元）.
19．【答案】（1）解：或，给集合增加一个元素或得到集合或，由题意可得或均为梦想集合.
（2）解：不是梦想集合，理由如下：设，取，由于为偶数，则，记为集合去掉元素后构成的集合，而，易得，且，故不是梦想集合.
（3）解：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，
则设，且，因为，设为集合去掉元素后构成的集合，所以只能，
考虑这个数均属于，且各不相同，均小于，所以.
再考虑与，因为，所以，即，所以只能；
又因为这个数均属于，且均小于，所以中与其对应，故，
即，而去掉后的集合为，且，故矛盾，所以不为梦想集合.
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】（1）依据梦想集合的定义，尝试添加常数，使新集合满足任意两个不同元素，或在去掉这两个元素后的集合中.
（2）对于给定集合（为正偶数且），通过选取特定元素，验证是否满足梦想集合定义.
（3）用反证法，假设存在满足条件的有限梦想集合，根据元素均为正实数且个数为大于的奇数的特点，推导得出矛盾.
（1）或，给集合增加一个元素或得到集合或，
由题意可得或均为梦想集合.
（2）不是梦想集合，理由如下：
设，取，
由于为偶数，则，
记为集合去掉元素后构成的集合，而，
易得，且，
故不是梦想集合.
（3）假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，
则设，且，
因为，设为集合去掉元素后构成的集合，
所以只能，考虑这个数均属于，
且各不相同，均小于，所以
再考虑与，因为，所以，
即，所以只能；
又因为这个数均属于，且均小于，
所以中与其对应，故，
即，而去掉后的集合为，且，
故矛盾，所以不为梦想集合.
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