2.5 一元二次方程的应用教学设计及反思

一元二次方程的应用
教学目标
1、学生会用列一元二次方程的方法解有关面积方面的实际问题.
2、经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在.
3、进一步提高学生把实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力.
学习重点和难点
重点：数形结合，把实际问题转化为数学问题.
难点：审题找出等量关系.
教学过程：
一、回顾方法
1．用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？
（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）验根（6）答
2．用一元二次方程解决问题的关键是什么？
3．常见图形的周长、面积公式：
图形 周长 面积
2(a+b) ab
4a a2


a+b+c

(设计意图：学生回顾解题步骤和常见图形的周长和面积，为更好的学习这节课做准备.)
二、例题解析
例1．如图，在长为40m、宽为22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，道路的宽为多少？
（设计意图：创设问题情境，在直接设未知数表示道路的宽后，可由不同路径找到表示草坪的面积的不同方法，让学生进一步认识到建立方程模型的作用，提高数学的应用意识，并且让不同基础的的学生都得到解决问题的成功体验。找到等量关系时，可以通过对道路模型的平移，让学生直观的感知余下的草坪仍然是一个矩形。）
变式1：如图1，其余条件不变，将其中一条道路改成倾斜的，但倾斜的道路宽度处处相等，并且等于水平的道路宽度。（列出方程即可）
变式2：如图2，其余条件不变，修筑的道路改为水平2条，垂直的3条。（列出方程即可）

图1 图2
（设计意图：变式1，2两问旨在让学生通过例题1得到启发观察发现不管道路倾斜，还是多条道路都可以通过平移将余下草坪面积转化成更直观，容易用未知数表示矩形面积，激发学习的兴趣。）
例2.一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由.
(3)你能求出这根铁丝围成的矩形中，面积最大是多少？要怎样围？
（设计意图：该例题通过让学生自己画图，感受知识的发生发展过程，再次建模，增强学生用数学的意识，该题的3问环环相扣，汇集了该章的学习内容，层层深入的思考、讨论、解决不仅可以让学生经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在，还可以让学生用已学知识解释生活现象，养成学生自我探究的习惯。）
例3. 如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
（设计意图：该例题通过在具体的动点问题的解题过程中，让学生进一步认识到建立方程模型的作用，应用数形结合的思想方法解决实际问题，提高数学的应用意识）

变式1: 把问题改为“几秒后△PDQ的面积等于27cm2？” 该如何解决？
变式2: △PDQ的面积等于43 cm2？
变式3: 在运动中，PQ能否与AC平行？
变式4: 在运动中，△PDQ能否成为等腰三角形？
变式5: 在运动中，△PDQ能否成为直角三角形？
（设计意图：变式1、2、3、4、5在例题3的基础上进一步探索图形的内在联系，运用所学的几何知识准确找到题中的直接的或间接的等量关系，从而突破难点，达到解决问题的最终目的.）
三、课堂小结
如何正确寻找实际问题中的等量关系？
四、布置作业
1.随堂练P94～95
一元二次方程应用教学反思
列一元二次方程解应用题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有应用；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多。因此，本节所学习的内容，不仅是中学数学中的重点，也是难点。
在教学过程中，通过列一元二次方程解应用题提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力。
这节课是“列一元二次方程解应用题（3）”，讲授在几何图形问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能转化为数学问题，最终解决实际问题。
通过本节课的教学,总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，从现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花，具体的我认为有以下几个特点：
一、本节课第一个例题，是面积问题中的一个典型例题，我在引导学生解决此题之后，总结了解这类应用题的一般步骤。不仅关注结果更关注过程，让学生养成良好的解题习惯。
二、注重变式训练，由例1得到的变式1和变式2，由例2的问题（1）、问题（2）拓展得到的问题（3）、由例3得到的变式1、2、3、4、5，层层递进，从各方面训练学生的思维，让学生举一反三， 通过变式训练，让学生由浅入深，由易到难，也让学生解决问题的能力逐级上升，这是这节课中的一大亮点。在讲完例题的基础上，将更多教学时间留给学生，这样学生感到成功机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互交流、相互学习，共同提高。
三、在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想。
四、课堂上多给学生展示的机会，比如我所设计练习题可让学生上黑板去求解，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。同时在这个过程中，更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区，以便指导今后教学。总之，通过各种启发、激励的教学手段，帮助学生形成积极主动求知态度，课堂收效大。
五、需改进的方面：
1.由于怕完不成任务，给学生独立思考的时间安排的有些不太合理，没有留给学生充分的思考时间，这样容易让思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。例如例1后的两个变式没有让学生去尝试列出方程。
2.例2的第（3）问怕时间来不及也没有让学生去独立思考完成.
3.例3的5个变式训练应该是本节课的一个亮点，但是课堂上由于时间关系没有让学生充分的思考，求解。
4．下课后很多学生和老师沟通例3的几道变式训练，发现在解决此类问题时还是存在一些困难。