2025-2026学年上海七宝中学高三上学期数学周练试卷（含答案）

七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级数学周练
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为________．
2．计算________．
3．已知是1与9的等比中项，则正实数________．
4．在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）
5．在复平面内，复数对应的点位于第________象限．
6．已知，则________．
7．已知集合，其中、可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为________．
8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为________．（从、、、中选择作答）．
9．已知函数．在中，，且，则________．
10．如图，线段，相交于，且，，，长度构成集合，，则的取值个数为________．
11．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是________．
12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上．结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知、、满足，，，则的取值范围为________．
二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都不垂直；
C．存在，使得与重合； D．对任意的，与都有公共点．
15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
16．若，有限数列，，…，的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得，，…，是等差数列；②对于任意的，，，…，都不是等比数列．则（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．
（1）求证：；
（2）若异面直线与所成角为，求的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（，）这种设备的总收入函数为（单位千万元），其总成本函数为（单位千万元）．
（1）求总成本函数的边际函数的最小值；
（2）求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分）
英语学习中学生喜爱用背单词“神器”提升自己的英文水平．为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：
百词斩 扇贝单词 秒词邦 沪江开心词场
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．
（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；
（2）采用分层抽样的方式先从样本中的太学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求的分布列和数学期望；
（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，、、其方差为；，，，，，，，的方差为．写出，，的大小关系．（结论不要求证明）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，，焦点到直线的距离为．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；
（3）如果直线、、的斜率依次成等差数列，求得取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若斜率为的两条平行直线，与曲线满足以下两条性质：（Ⅰ），分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在，之间或两条直线上．则称直线，为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线．
（1）判断，时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；
（2）若，，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．
（3）对于任意的正实数，，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.三; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是________．
【答案】
【解析】由抛物线方程有，抛物线准线方程为
设在抛物线的准线上的投影分别为，
由是中点，在准线上的投影为，
所以，
由抛物线定义可得，
所以，
在中，由余弦定理得
，
因为，
所以
即当且仅当时等号成立.故答案为：1．
12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上．结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知、、满足，，，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，
则，在单位圆上，
则
设，满足，
故，
整理得到，故,
当三点共线时，即在时，有最小值为，
当在时，有最大值为，
因为（4），即，
故，当时等号成立，
综上所述：的取值范围为［］．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.D 15.B 16.C
16．若，有限数列，，…，的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得，，…，是等差数列；②对于任意的，，，…，都不是等比数列．则（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
【答案】C
【解析】根据题意，对于①：举出实例：，，则，
满足是等差数列，且对一切都成立，故①正确；
对于②：若是等比数列，设公比为，显然．
当时，，不合题意；
当时，，不合题意；
当时，因为，所以，，即，
分3种情况讨论：
（i）当时，则，即，解得，不合题意；
（ii）当时，若为偶数，则，
即，解得，不合题意；
（iii）当时，若为偶数，则，
即，整理得，无解，不合题意，
综上，不存在满足题意，即不可能是等比数列，故②正确．故选：．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）（千万元）
19.（1） （2）分布列如下 , （3）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，，焦点到直线的距离为．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；
（3）如果直线、、的斜率依次成等差数列，求得取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由椭圆的方程，知3，故，
所以椭圆的离心率．
（2）若直线经过坐标原点，则关于原点对称，则，
因为点是椭圆上一点，当为椭圆上（下）顶点时，取得最大值，
此时面积取得最大值为．
（3）设直线的方程为，代入椭圆方程
整理得．
由，得4①，
设，则，,
因为，所以，
因为直线的斜率依次成等差数列，
所以，且,
所以，
整理得，
因为直线不过焦点，
所以，所以，从而，即②，
由①②得，化简得，
焦点到直线的距离
令，由知，则，
令，则，
令，解得，令，解得,
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，即的取值范围为.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若斜率为的两条平行直线，与曲线满足以下两条性质：（Ⅰ），分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在，之间或两条直线上．则称直线，为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线．
（1）判断，时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；
（2）若，，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．
（3）对于任意的正实数，，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．
【答案】（1）存在 （2）是， （3）是，
【解析】（1）曲线，由正弦函数的图像可知：:和为曲线的一对＂双夹线＂，故曲线是存在＂双夹线＂；
（2）曲线，，令，即，
时，，点是曲线与的一个切点；
时，，点是曲线与的一个切点；
∴直线与曲线至少存在两个切点，
同理可得时，，点是曲线与的一个切点；
时，，点是曲线与的一个切点；
∴直线与曲线至少存在两个切点，
令，则，
∴和是函数的一对＂双夹线＂，
（3）则
当时，
则过点的切线方程为：
当时，，过点，的切线方程也为：，
∴直线与至少存在两个切点；
同理可得直线与相切于点，
∴直线与至少存在两个切点；
令，
则,
∴在两条直线之间，故对于任意的正实数，函数都存在＂双夹线＂，，故的所有取值构成的集合．