苏科版数学（2024）八年级下册期末学情评估卷（含部分解析）

苏科版数学八年级下册期末学情评估卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A．a(a＋b)＝a2＋ab B．a2＋2a＋1＝a(a＋2)＋1
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．2a2－6ab＝2a(a－3b)
2．下列结论中正确的是(　　)
A．为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式
B．神舟二十号飞船发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式
C．“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件
D．“打开电视，正在播放‘苏超’足球比赛”是必然事件
3．分式(a，b均为正数)中字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值(　　)
A．缩小为原来的 B．缩小为原来的
C．不变 D．扩大为原来的2倍
4．下面4个算式中正确的是(　　)
A.÷＝2 B．2＋3＝5
C.＝－6 D．5×5＝5
5．若关于x的分式方程＋＝1有增根，则a的值为(　　)
A．－1 B．5 C．1 D．3
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠ADB＝40°，依据尺规作图的痕迹可判断∠1的度数是(　　)
A．100° B．110° C．120° D．130°
(第6题) (第8题)
7．估计×＋×的值在(　　)
A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间
8. 如图，P是线段AB边上的一动点，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，M，N分别是PC，PD的中点，随着点P的运动，线段MN的长(　　)
A．随着点P的位置变化而变化 B．保持不变，长为
C．保持不变，长为 D．保持不变，长为
二、填空题(每小题3分，共30分)
9.因式分解：3x2－3y2＝______________.
10．为了解2025届本科生的就业状况，今年3月，某网站对2025届本科生的签约状况进行了网络调查．截止4月底，参与网络调查的8 500人中，只有3 000人已与用人单位签约．在这项网络调查中，样本容量是________.
11．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共70个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中的红球大约有________个.
12．已知菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形一边上的高为________ cm.
13．当214．若点Q(x，y)满足＋＝，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标：________.
15．红星中学举办校园科技大赛，有①无人机，②计算机，③3D动画编程，④太空挑战，⑤创意天梯五个项目，向阳班全体学生均参赛，且每人限报五个项目中的一项．收集数据并整理绘制成折线统计图如图所示，则选择无人机的学生人数与全班人数的比值为________.
(第15题)　(第17题) (第18题)
16．已知a＋＝，则a－的值为________.
17．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝8，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处．PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则AF的长为________.
18．将正方形ABCD与正方形BEFG按如图所示的方式放置，点F，B，C在同一直线上．已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是________.
三、解答题(共66分)
19.(8分)计算：
(1)＋3－＋； (2)－×.
20．(8分)(1)解方程：＝＋1；
(2)先化简，再求值：÷，其中a＝－1.
21．(8分)2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解学生参加公益活动的时间(单位：h)，张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)m＝________，扇形统计图中a＝________，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求参加公益活动时间为7 h所对应扇形圆心角的度数；
(3)若育华中学八年级共有学生1 200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10 h的学生有多少人？
22.(8分)某校计划购买A，B两种书架，已知购买1个A种书架比购买1个B种书架的价格高20%，用18 000元购买A种书架的数量比用9 000元购买B种书架的数量多6个．
(1)每个A种书架、每个B种书架的价格分别是多少元？
(2)该校计划购买A，B两种书架共20个，且A种书架的数量不少于B种书架的数量的.设购买A种书架a个，为使购买书架的总费用W(单位：元)最低，应购买A种书架和B种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？
23．(10分)如图，已知在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，AB＝4，求四边形ABCD的面积.
24．(12分) 定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A－B＝AB，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与，因为－＝，×＝，所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式________分式的“友好分式”．(填“是”或“不是”)
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值．
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值.
25．(12分) 综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝10，AD＝12.先将DC边向上翻折，使AB与DC重合，折痕为EF(如图②)，沿EF裁开得到两个矩形．矩形ABFE保持不动，将矩形DCF′E绕点E逆时针旋转，点F的对应点为F′.
(1)如图③，小聪将矩形DCF′E的顶点F′旋转至边AB上，连接DF交EF′于点O.
①BF′的长为________；
②求证：OD＝OF.
(2)如图④，小明继续旋转矩形DCF′E，他发现，当点F′落在FA的延长线上时，点C，A，B在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由．
(3)如图⑤，小红在小明的基础上继续探究，连接CF交AE于点G，延长CF′交EA的延长线于点H，小红说她可以计算出GH的长，则GH＝________.
答案
一、1.D　2.C　3.C　4.A　5.D　6.B　7.A
8．D　点拨：如图，连接CD，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，
则∠E＝90°.
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°＝∠E.
∴四边形ABEC是矩形．
∴BE＝AC＝3，CE＝AB＝4.
∴DE＝BE－BD＝3－2＝1.
在Rt△CED中，CD＝＝.
∵M，N分别是PC，PD的中点，∴MN是△CDP的中位线．∴MN＝CD＝.故选D.
二、9.3(x＋y)(x－y)　10.8 500　11.21　12.
13．2a－5　14.(2，－1)(答案不唯一)　15.
16．±　17.
18.　点拨：如图，延长AM交BC于点H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥FC，
∠ABH＝90°，AD＝AB＝BC＝3.
∴∠ADM＝∠HFM.
∵M是DF的中点，∴FM＝DM.
又∵∠AMD＝∠HMF，∴△ADM≌△HFM.
∴AM＝HM，FH＝AD＝3.
易得BF＝BG＝×＝2，∴BH＝3－2＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝.
∴AM＝AH＝.
三、19.解：(1)原式＝2＋3×－＋＝2＋－＋ ＝＋.
(2)原式＝2－＝.
20．解：(1)化为整式方程，得x(x＋2)＝8＋(x2－4)，
去括号，得x2＋2x＝8＋x2－4，
移项、合并同类项，得2x＝4，
系数化为1，得x＝2，经检验，x＝2是原方程的增根，所以原方程无解．
(2)原式＝÷
＝·＝，
当a＝－1时，
原式＝＝＝.
21．解：(1)200；30
补全条形统计图如图．
(2)360°×＝54°.
答：参加公益活动时间为7 h所对应扇形圆心角的度数为54°.
(3)1 200×＝240(人)．
答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10 h的学生有240人．
22．解：(1)设每个B种书架的价格为x元，则每个A种书架的价格为(1＋20%)x元，根据题意，得
－＝6，解得x＝1 000，
经检验，x＝1 000是原方程的解，且符合题意，
则每个A种书架的价格为(1＋20%)×1 000＝1 200(元)．
答：每个A种书架、每个B种书架的价格分别是1 200元、1 000元．
(2)由题意得购买B种书架(20－a)个，
则a≥(20－a)，解得a≥8.
易得W＝1 200a＋1 000(20－a)＝200a＋20 000，
∵200＞0，∴W随a的增大而增大，
∴当a＝8时，W取得最小值，最小值为21 600.
此时20－a＝12.
答：应购买A种书架8个，B种书架12个，购买书架的总费用最低为21 600元．
23．(1)证明：∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC.
∴EO⊥AC，即BD⊥AC.∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝∠AEC＝60°.
又∵EA＝EC，AO＝OC，∴∠AEO＝∠CEO＝30°.
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°.
∴∠DAC＝∠EAC－∠EAD＝45°.
由(1)知四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC.∴∠DCA＝∠DAC＝45°.
∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠DCA＝90°.
∴四边形ABCD是正方形．
∴四边形ABCD的面积＝AB2＝(4)2＝80.
24．解：(1)是
(2)①∵分式是分式A的“友好分式”，
∴A－＝×A，∴A－×A＝，
∴A＝，∴A×＝，
∴A＝÷＝·＝.
②A的值为1或3或4.　点拨：A＝＝2＋.
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴x＝－2或1或2.
当x＝－2时，A＝2＋＝1；
当x＝1时，A＝2＋＝4；
当x＝2时，A＝2＋＝3.
综上，A的值为1或3或4.
(3)设M是关于x的分式的“友好分式”，
则－M＝×M，
∴M＝÷
＝·
＝.
∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，
∴
整理，得
∴＝＝＝4－＝4－，
∵＋≥，∴≤，
∴4－≥4－，
∴4－≥－，
即的最小值为－.
25．(1)①2
②证明：如图①，连接FF′，过点F作FM⊥EF′于点M.
∵S△EFF′＝EF·BF＝EF′·FM，EF＝EF′，
∴FM＝BF＝6＝DE，
∵∠DEO＝∠FMO＝90°，∠DOE＝∠FOM，
∴△DEO≌△FMO(AAS)，
∴OD＝OF.
　　
(2)解：小明的发现正确．理由如下：
如图②，连接AC，CE，BE.
由折叠得，四边形AEFB和四边形EDCF′是全等的矩形，
∴CF′＝AE＝6，∠CF′E＝∠AEF＝90°，EF′＝EF＝10，
∴△CF′E≌△AEF(SAS)，
∴∠CEF′＝∠AFE，AF＝CE.
∵EF＝EF′＝10，∴∠EF′F＝∠EFF′，
∴∠EF′F＝∠CEF′，∴FF′∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AC＝EF＝AB，
∵易得CE＝BE，AE＝AE，∴△AEC≌△AEB(SSS)，
∴∠EAB＝∠CAE＝90°，
∴∠CAE＋∠EAB＝180°，
∴C，A，B三点共线．
(3)　点拨：如图③，连接AC，CE，
由(2)知C，A，B三点共线，四边形ACEF是平行四边形，∴AC＝EF＝10，AC∥EF，
∴∠ACG＝∠GFE.∵∠AGC＝∠EGF，
∴△ACG≌△EFG(AAS)，∴AG＝EG＝AE＝3.
∵S△CEH＝EH·AC＝CH·EF′，EF′＝AC＝10，
∴EH＝CH，
又∵CF′＝AE＝6，∴F′H＝AH.
设AH＝a，则CH＝a＋6，
在Rt△CHA中，CH2＝AH2＋AC2，
∴(a＋6)2＝a2＋102，
∴a＝，∴GH＝AH＋AG＝＋3＝.