2025-2026学年上海南洋模范高二上学期数学摸底考试卷（含解析）

南模中学2025-2026学年第一学期高二年级数学月考
一、填空题
1．设集合，，则________．
2．已知角的两边和角的两边分别平行，且，则________．
3．已知，，则的取值范围是________．
4．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积________．
5．函数的部分图像，如右图所示，则________．
6．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________．
7．若数列的前项和为，则数列的通项公式是________．
8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差为________．
9．已知，，，，五个点，满足：，，则的最小值为________．
10．已知与两异面直线，都垂直且都相交，，且与成角，在直线上取，在直线上取，则，两点的距离是________．
11．函数的值域为________．
12．正方体棱长为2，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为________．
二、选择题
13．设，是不同的直线，，在平面内，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知，则的“优美点”个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
15．如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为4 B．的最大值为
C．的最大值为2 D．的最大值为
16．已知四边形，对四条边、、、依次进行如下操作：随机抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则擦除该边，若反面朝上，则不擦除．在操作完成后，从点出发，沿着未擦除的边移动，则能到达点的概率是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
（1）设函数，试求的互生向量；
（2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；
19．在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是线段、边上的点，且．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）若四面体为所有棱长都为6，求四边形的周长；
20．已知数列、均为各项都不相等的数列，为的前项和，（）．
（1）若，，求的值；
（2）若是公比为的等比数列．求证：数列为等比数列；
（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：、、…、、…成等差数列的充要条件是．
21．对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数．
（1）若，，，则是否分别为，的生成函数？并说明理由：
（2）设，，，，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）设，，取，，生成函数图像的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数，且．试问：是否存在最大的常数．使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．正方体棱长为2，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】如图，若点的位置确定，
则当点满足时，最短，此时点是的中点，
将平面转到位置，使其与平面共面，
故
故答案为：．
二、选择题
13.B 14.C 15.C 16.B
15．如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为4 B．的最大值为
C．的最大值为2 D．的最大值为
【答案】C
【解析】以为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则，
内切圆的方程为，可设，
则，，
所以，当，即为的中点时取等号，
所以的最大值为正确；
因为，
所以，
当，即时等号成立，
所以的最大值为错误，
由，可得，
得，,
当，即时，所以所以的最大值为，B正确，
当，即时，所以所以的最大值为正确．故选C.
16．已知四边形，对四条边、、、依次进行如下操作：随机抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则擦除该边，若反面朝上，则不擦除．在操作完成后，从点出发，沿着未擦除的边移动，则能到达点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一（相互独立事件的概率）：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率均为，且是否擦除相互独立．
记沿着路线移动到达点（即同时保留）为事件，
沿路线移动到达点（即同时保留）为事件，
则，
因为事件和事件相互独立，则，
所以从点出发，沿着末擦除的边移动到达点的概率为
．故选B．
解法二（古典概型）：由题意知，样本空间共有个样本点，从点出发，能到达点有以下三种情况：
①四条边均未擦除，共有1种情况；
②仅擦除1条边，共有4种情况；
③擦除2条边，只有擦除与或与这2种情况
故从点出发，沿着未擦除的边移动，到达点的概率为．故选B．
解法三（间接法）：考虑从反面入手，路线不通的概率为；
同理路线不通的概率为，
故从点出发，沿着未擦除的边移动到达点的概率为．故选B．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20．已知数列、均为各项都不相等的数列，为的前项和，（）．
（1）若，，求的值；
（2）若是公比为的等比数列．求证：数列为等比数列；
（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：、、…、、…成等差数列的充要条件是．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）
证明：（2）设，则
（为常数）
所以数列为等比数列.
（3）：数列是公差为的等差数列，
所以当时，即
∵数列的各项都不为零，
所以当时，当时，，
两式相减得：当时，
先证充分性：
由轲知，当时，
又∵，即成等差数列；
再证必要性：
∵成等差数列，当时，
综上所述，成等差数列的充要条件是
21．对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数．
（1）若，，，则是否分别为，的生成函数？并说明理由：
（2）设，，，，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）设，，取，，生成函数图像的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数，且．试问：是否存在最大的常数．使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）是 （2） （3）存在，最大值的常数．
【解析】（1）因为，
又因为
所以是的生成函数；
（2）因为，生成函数，
所以，
由于不等式在上有解，即，
化简得，因为，令，
所以，则有，得，
由题意可得，由于函数在上单调递增，
所以当时，，所以，
所以实数的取值范围是；
（3）因为，取，生成函数，
所以，又因为函数图象的最低点坐标为，
由基本不等式得，当且仅当时，
即时，等号成立，即，解得，
所以，任意正实数且
所以
令，由基本不等式得，
由双勾函数的单调性知，函数在上单调递减，
则，所以．所以存在最大值的常数．