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第一章 解三角形
正弦定理和余弦定理的应用 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】:B
【解析】:由余弦定理cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝120°.
2.如图，B，C，D三点在地面同一直线上，CD＝a，从C，D两点测得A点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A离地面的高度等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】:D
【解析】：在△ACD中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝.
3.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】:C
【解析】：由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
4.(2014·课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )21世纪教育网版权所有
A．5
B.
C．2
D．1
【答案】:B
【解析】:由题意知S△ABC＝AB·BC·sin B，
则＝×1×sin B，解得sin B＝.∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋()2－2×1××＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．
5.已知△ABC，若对任意m∈R，|－m|≥||恒成立，则△ABC必定为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【答案】:C
【解析】：设m＝，则由题意得||≥||，由m的任意性可知，点D可视为是直线AB上的任意一点，即对于直线AB上的任意一点D与点C的距离都不小于A、C两点间的距离，因此AC⊥AB，选C.www.21-cn-jy.com
6.(2016·兰州诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，且bsin A＝ɑcos B．则B＝( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.
B.
C.
D.
【答案】:C
【解析】：根据题意结合正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B.
因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，即＝tan B＝，所以B＝.
7.边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
【答案】:B
【解析】：设中间的角大小为B.
由余弦定理，求得cosB＝＝＝.而0 8.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )21教育网
A. m B. m
C. m D. m
【答案】:A
【解析】：由山顶看塔底的俯角为60°，可知山脚与塔底的水平距离为，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m，则200－x＝×，∴x＝ m.
9.有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )2-1-c-n-j-y
A．5 B．10
C．10 D．10
【答案】:C
【解析】:如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10 m，∠C＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°.由正弦定理得＝.
即BC＝＝＝10(m)．
10.在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为( ) 21*cnjy*com
A.
B．－
C.
D．－
【答案】:A
【解析】:由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，∴sinA＝3sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝.【来源：21cnj*y.co*m】
11.如图，一船从C处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
【答案】:C
【解析】：由题意知AB＝BD＝10，所以CD＝BD＝5.故这只船的速度是10海里/小时．
12.(2016·长春三模)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，若ɑ2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )21cnjy.com
A.
B．1
C.
D．2
【答案】:C
【解析】：∵ɑ2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsin A＝，故选C.【出处：21教育名师】
填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.(2015·高考广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.【版权所有：21教育】
【答案】：1
【解析】：由sin B＝得B＝或，因为C＝，所以B≠，所以B＝，于是A＝.由正弦定理，得＝，所以b＝1.21教育名师原创作品
14.(2015·高考北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
【答案】：1
【解析】:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A＝＝＝，所以＝＝2××cos A＝2××＝1.21*cnjy*com
15.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
【答案】：
【解析】：∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理可得，a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝＝＝－，∴C＝.
16.(2015·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
【答案】:8
【解析】：由cos A＝－得sin A＝，所以△ABC的面积为bcsin A＝bc×＝3，解得bc＝24，又b－c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－2bccos A＝22＋2×24－2×24×＝64，故a＝8.
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.21·cn·jy·com
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
【答案】：（1） （2）1
【解析】：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为1.
18.(2015·高考湖南卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.2·1·c·n·j·y
(1)证明：sin B＝cos A；
(2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
【答案】：(1)证明：由a＝btan A及正弦定理，得＝＝，
所以sin B＝cos A.
（2）A＝30°，B＝120°，C＝30°
【解析】：(1)证明：由a＝btan A及正弦定理，得＝＝，
所以sin B＝cos A.
(2)因为sin C－sin Acos B＝sin[180°－(A＋B)]－sin Acos B＝sin(A＋B)－sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝cos Asin B，
所以cos Asin B＝.
由(1)sin B＝cos A，因此sin2B＝.又B为钝角，所以sin B＝，故B＝120°.21·世纪*教育网
由cos A＝sin B＝知A＝30°，从而C＝180°－(A＋B)＝30°.
综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝30°.
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第一章 解三角形
正弦定理和余弦定理的应用 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，B，C，D三点在地面同一直线上，CD＝a，从C，D两点测得A点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A离地面的高度等于( )
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
4.(2014·课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )21世纪教育网版权所有
A．5
B.
C．2
D．1
5.已知△ABC，若对任意m∈R，|－m|≥||恒成立，则△ABC必定为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
6.(2016·兰州诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，且bsin A＝ɑcos B．则B＝( )21·cn·jy·com
A.
B.
C.
D.
7.边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
8.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )www.21-cn-jy.com
A. m B. m
C. m D. m
9.有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )2·1·c·n·j·y
A．5 B．10
C．10 D．10
10.在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为( )21教育网
A.
B．－
C.
D．－
11.如图，一船从C处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
12.(2016·长春三模)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，若ɑ2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.
B．1
C.
D．2
填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.(2015·高考广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.www-2-1-cnjy-com
14.(2015·高考北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
15.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.2-1-c-n-j-y
16.(2015·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.21·世纪*教育网
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
18.(2015·高考湖南卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.21cnjy.com
(1)证明：sin B＝cos A；
(2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
