2025-2026学年山东省淄博市临淄区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含简略答案)

2025-2026学年山东省淄博市临淄区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则∠A=（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2.如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘.在此过程中，下列叙述正确的是（　　）
A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变
3.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.4m,则这一杠杆的动力F（N）和动力臂l（m）之间的函数图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
4.小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了100m,其铅垂高度上升了15m,在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.若抛物线y=ax2-2ax+4（a＜0）上有三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y3＜y1
6.下列说法中，正确的是（　　）
A. 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍
B. 若45°＜α＜90°，则sinα＞1
C. cos30°+cos45°=cos（30°+45°）
D. 若α为锐角，tanα=，则sinα=
7.抛物线的函数表达式为y=（x-2）2+1，若将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移1个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A. y=（x-1）2+4 B. y=（x-1）2-2 C. y=（x-3）2-2 D. y=（x-3）2+4
8.一次函数y=ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
9.图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m,高度为200m,则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　）
A. 40m B. 45m C. 50m D. 55m
10.如图，某同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a,b,c的值，得到了它的函数图象，请借助学习函数的经验，推断输入的a,b,c的值满足（　　）
A. a＞0，b＜0，c＞0 B. a＞0，b＜0，c＜0
C. a＜0，b＞0，c＞0 D. a＜0，b＜0，c＜0
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.广场上一个大型艺术字板块在地上的投影如图所示，则该投影属于______．（填写“平行投影”或“中心投影”）
12.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 .
13.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是 （填写其中一个答案即可）.
14.如图，某校组织了一次越野拉练活动.学生从A点出发，经过途中B，C两个检查点，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC=45°，则检查点B和点C之间的距离是 km.
15.如图，点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，连接AB交x轴正半轴于点C，连接OA，OB，若，则△OAB的面积是 .
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
（1）cos45°+3tan30°-2sin60°；
（2）.
17.(本小题10分)
在坐标平面内，A点的坐标为（20，0），OA=2OB，，如图，求：
（1）B点的坐标；
（2）求tan∠OAB.
18.(本小题10分)
炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动轨迹是抛物线，炮弹飞行高度h（单位：米）与炮弹飞行时间t（单位：秒）满足二次函数关系，具体数据如表：
t 0 1 3 5 …
h 2 27 47 27 …
（1）结合表中所给的数据，求炮弹飞行的最大高度；
（2）若炮弹飞行高度为42米时，求炮弹的飞行时间.
19.(本小题10分)
如图，函数y=x-1与函数相交于A，B两点.
（1）求A点，B点的坐标；
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集；
（3）若y轴上存在点C，使S△ABC=6，求点C的坐标.
20.(本小题12分)
已知二次函数y=-mx+m-1（m为常数）.
（1）若点（2，-1）在该函数图象上，则m=______；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p,y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围.
21.(本小题12分)
为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水能否在15天以内达标（即硫化物浓度不超过1.0mg/L）？请说明理由.
22.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-bx-3的图象经过点P（-2，-3）.
（1）求的值；
（2）若该函数在2m-3≤x≤2m+1上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）直线y=t与二次函数y=ax2-bx-3的图象分别相交于点A（x1，t），B（x2，t），且x1＜x2.
①若t=0且x2-x1=1，求a的值；
②若t≠0且a=1，求证：.
23.(本小题13分)
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略.通过前面的学习，我们掌握了30°，45°和60°角的三角函数值，下面一起探究15°角的正切值吧!
方法一：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.
操作步骤 用含30°角的直角三角形构造15°角； 找到含15°角的直角三角形，并表示出15°角的对边与邻边； 计算15°角的正切值.
具体过程 如图，延长CB至点D.使BD=BA，连接AD，可以找到15°的角有2个； 在Rt△ABC中，设AC=m,则，所以； 所以tan15°= ______
方法二：已知在等腰三角形EFG中，EF=EG，∠FEG=30°.
操作步骤 在顶角为30°角的等腰三角形中构造15°角； 找到含15°角的直角三角形，并表示出15°角的对边与邻边； 计算15°角的正切值.
具体过程 如图，过点E作EH⊥FG于点H，过点G作GP⊥EF于点P，可以找到的15°角有______个； 在Rt△EGP中，设PG=m……（请将具体过程补充完整） 所以tan15°= ______
【特例探究】请在表格内填空，并将方法二的具体过程补充完整；
【类比研究】根据15°角正切值的探索学习，请从22.5°角的正切值、36°角的余弦值中，任意选择一个进行求解.
【延伸拓展】进一步探索，已知任意锐角α（0°＜α＜45°）的正切值，请根据前面的探究过程，尝试用含有tanα的式子表示tan2α.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】中心投影
12.【答案】-2＜x＜4
13.【答案】3（答案不唯一）
14.【答案】（3+）
15.【答案】
16.【答案】；

17.【答案】解：（1）作BC⊥OA，
∵A点的坐标为（20，0），
∴OA=20，
∴OA=2OB，
∴OB=10，
∵sin∠AOB==，
∴BC=6，
∴OC==8，
∴B点的坐标为（8，6）；
（2）∵OA=20，OC=8，
∴AC=12，
∴tan∠OAB===．
18.【答案】47米；
2秒或4秒
19.【答案】点A坐标为（2，1）；点B坐标为（-1，-2）；
x＜-1或0＜x＜2；
（0，-5）或（0，3）
20.【答案】2；
由题可知，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+1＞0，
∴Δ＞0，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
p＞1或p＜-1
21.【答案】y=-2.5x+12；
y=；
能，
当x=15时，y==0.9，
∵0.9＜1，
∴该企业所排污水能在15天以内达标
22.【答案】；
m≥1或m≤-1；
①a=-4；②0
23.【答案】2- 2 2-
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