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第13章 勾股定理 单元综合模拟测试卷
一、单选题
1．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
2．如图，已知正方形B的面积为100，如果正方形C的面积为169，那么正方形A的面积 为（ ）
A．269 B．69 C．169 D．25
3．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果CD= ，那么线段BE的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知，如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6． 如图， 把△ABC沿DE折叠， 使点A落在点A'处， 若∠A=40°， 则∠1+∠2等于( )
A．40° B．60° C．80° D．90°
7．一个直角三角形的三边分别是6cm、8cm、Xcm，则X=（ ）cm
A．100cm B．10cm
C．10cm 或 cm D．100cm 或28cm
8．在中，，，的对应边长分别为，，，若，，满足，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题
11．如图，数轴上点表示的数是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，BC=9，则S△ABD = ．
13．在 中，斜边AB=2，则 .
14．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于
15．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为6，正方形ABCD的边长为10，则l2与l3的距离为 。
16．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接CB1，则点B1到直线AC的距离为 .
三、解答题
17．如图，中，，，．以为折痕进行翻折，使点落在边上的点处，求的长度．
18．如图，15只空油桶(每只油桶底面的直径均为50cm)堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚至少要多高(结果精确到0.1cm)
19．如图，有一直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，AC=8cm，现将直角边AB沿直线BD进行对折，使点A刚好落在斜边BC上，且与A'B重合，求BD的长，
20．如图，一根2.5米长的竹竿AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端为0.7米，如果竹竿的底端沿地面向外滑动0.8米，那么点A将向下移动多少米？
21．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设AB 为最长边，当 时，△ABC 是直角三角形；当 时，通过比较代数式（ 和c2 的大小，探究△ABC 的形状（按角分类）.
（1）当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形.
（2）猜想：当 时，△ABC 为锐角三角形；当 时，△ABC 为钝角三角形.
（3）当a=2，b=4时，探究△ABC 的形状，并求出对应的c2 的取值范围.
22．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且 ，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明.
23．如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？
24．如图，直线a、b、c在同一平面内，以a∥b，a与c相交于点P，试说明b与c也一定相交．
25．四边形，，点在上，连接，点在上，连接，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，点在上，连接，，，，求证：；
（3）如图，在(2)的条件下，过点作的平行线交于点，，，求的值．
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第13章 勾股定理 单元综合模拟测试卷
一、单选题
1．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，即：水池的深度为12尺．
故答案为：C．
【分析】设水深为尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
2．如图，已知正方形B的面积为100，如果正方形C的面积为169，那么正方形A的面积 为（ ）
A．269 B．69 C．169 D．25
【答案】B
【解析】【解答】根据题意知正方形的B面积为100，正方形C的面积为169，
则字母A所代表的正方形的面积=169 100=69.
故答案为：B。
【分析】根据勾股定理和正方形的面积可进行计算。
3．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果CD= ，那么线段BE的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置
∴DE=CD= ，∠ACD=∠ADE=45°
∴∠EDB=90°
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD=
在Rt△BDE中，
故答案为：B．
【分析】根据翻折的性质得出DE=CD= ，∠ACD=∠ADE=45°，根据平角的定义得出∠EDB=90°，根据三角形中线的定义得出BD=CD= 然后利用勾股定理算出BE的长。
4．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【解答】能组成直角三角形的三边一定符合勾股定理：
A ：12+12=2=（）2，符合勾股定理能组成直角三角形，不选；
B ：12+（）2=1+2=（）2，符合勾股定理能组成直角三角形，不选；
C ：）2+22=3+7=10≠（）2，不符合勾股定理，不能组成直角三角形；
D ：72+242=49+576=625=252，符合勾股定理能组成直角三角形，不选；
故答案为：C。
【分析】能组成直角三角形的三边一定符合勾股定理，不符合勾股定理的选项就不能组成直角三角形。
5．已知，如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合，AB＝3，AD＝9，
∴BE＝ED，
设AE＝x，则ED＝9 x，BE＝9 x，
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
即32＋x2＝（9 x）2，
解得x＝4，
∴AE的长是4，
∴△ABE的面积为： AB AE＝ ×3×4＝6．
故答案为：A．
【分析】设AE＝x，则ED＝9 x，BE＝9 x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可以得到AB2＋AE2＝BE2，再将数据代入计算即可。
6． 如图， 把△ABC沿DE折叠， 使点A落在点A'处， 若∠A=40°， 则∠1+∠2等于( )
A．40° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=140°，
∵折叠，
∴∠ADA'=2∠ADE，∠AEA'=2∠AED，
∴∠ADA'+∠AEA'=2×140°=280°，
∴∠1+∠2=180°-∠ADA'+180°-∠AEA'=360°-280°=80°；
故答案为：C .
【分析】根据三角形的内角和定理，折看的性质，推出∠ADA'+∠AEA'的度数，再根据平角的定义，进行求解即可.
7．一个直角三角形的三边分别是6cm、8cm、Xcm，则X=（ ）cm
A．100cm B．10cm
C．10cm 或 cm D．100cm 或28cm
【答案】C
【解析】【解答】当6cm、8cm 两边是直角边时， ，当6cm、xcm 两边是直角边时， ，所以x=10cm 或 cm，故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出当x是斜边的值，和直角边时的值.
8．在中，，，的对应边长分别为，，，若，，满足，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：根据勾股定理的逆定理可知，
∵，
∴为直角三角形，且，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理逆定理证出为直角三角形，且即可。
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DC=DE，
在Rt△ACD中
.
∴点D到AB的距离为5.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质可知DC=DE；再利用勾股定理求出DC的长，即可得到点D到AB的距离.
10．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
二、填空题
11．如图，数轴上点表示的数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由勾股定理得，圆弧半径为，
点表示的实数为．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出圆弧半径为，则点表示的实数为．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，BC=9，则S△ABD = ．
【答案】30
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
Rt△ABC中，由勾股定理得AB= ，
∴△ABD的面积为： ×AB×DE= ×15×4=30，
故答案为：30.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，根据勾股定理算出AB的长，然后滚局三角形的面积计算方法即可算出答案。
13．在 中，斜边AB=2，则 .
【答案】8
【解析】【解答】解：∵BC2+AC2=AB2=22=4，∴AB2+BC2+AC2=4+4=8.
故答案为：8.
【分析】利用勾股定理求出BC2+AC2的值，再求出AB2+BC2+AC2的值。
14．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于
【答案】
【解析】【解答】解：
根据图形可知，AB=BC，△ABC为等腰三角形
∴过点B作BD⊥AC
∴CD=AD
AC==，BC==5
∴在直角三角形CDB中
COS∠ACB==
【分析】根据题意，由勾股定理求出AC和BC的长度，根据三角形ABC为等腰三角形，作BD⊥AC，在直角三角形CDB中，求出答案即可。
15．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为6，正方形ABCD的边长为10，则l2与l3的距离为 。
【答案】8
【解析】【解答】提示：过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F．
∴∠CBF+∠BCF=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°
∴∠ABE+∠CBF=90°
∴∠ABE=∠BCF
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴BF=AE=6．
∵BF2+CF2=BC2
正方形ABCD的边长为10，
∴CF=8
【分析】根据题意，可判断出△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质和勾股定理可得出正边形的边长。
16．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接CB1，则点B1到直线AC的距离为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接CC1，过点B1作B1H⊥AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2 ，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2 ，∠CAC1＝60°，AB1＝AB＝2，BC＝B1C1＝2，
∴△ACC1是等边三角形，
∴C1C＝AC，B1C＝B1C，AB1＝B1C1，
∴△AB1C≌△C1B1C（SSS）
∴ ×（2 ）2＝ ×2×2+2× ×2 ×B1H，
∴B1H＝ ，
故答案为： .
【分析】连接CC1，过点B1作B1H⊥AC，由旋转的性质可得AC=AC1=2 ，∠CAC1=60°，AB1=AB=2，BC=B1C1=2，可得∴△ACC1是等边三角形，由“SSS”可证△AB1C≌△C1B1C，可得S△AB1C=S△C1B1CS，由三角形的面积关系可求解.
三、解答题
17．如图，中，，，．以为折痕进行翻折，使点落在边上的点处，求的长度．
【答案】解：在中，，，
∴．
设．
∵是由折叠得到的，
∴．
∴，BE=4-x，．
∴．
在中，，
即．
解得．
∴．
【解析】【分析】先求出AB的长，再设，则，BE=4-x，，再利用勾股定理列出方程求解即可。
18．如图，15只空油桶(每只油桶底面的直径均为50cm)堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚至少要多高(结果精确到0.1cm)
【答案】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，
它的边长是4×50=200cm，这个等边三角形的高是，
雨棚起码高是：cm.
【解析】【分析】仔细观察图片，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×60=240，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高.
19．如图，有一直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，AC=8cm，现将直角边AB沿直线BD进行对折，使点A刚好落在斜边BC上，且与A'B重合，求BD的长，
【答案】解：∵在Rt△CAB中，AB=6cm，AC=8cm，
∴由勾股定理得CB= =10cm，
∵将直角边AB沿直线BD进行对折，使点A刚好落在斜边BC上，且与A'B重合，
∴AB=A'B=6cm，AD=A'D，∠CA'D=∠A=90°，
∴CA'=10-6=4cm，
设AD=A'D=xcm，则CD=(8-x)cm，
在Rt△CA'D中，由勾股定理得CA'2+A'D2=CD2，
∴16+x2=（8-x）2，
∴解得x=3，
在Rt△DA'B中，由勾股定理得BD= =3 .
【解析】【分析】在Rt△CAB中，由勾股定理求得CB=10cm，再根据折叠性质求得AB=A'B=6cm，AD=A'D，∠CA'D=∠A=90°，进而得CA'=4cm，设AD=A'D=xcm，则CD=(8-x)cm，在Rt△CA'D中，由勾股定理得CA'2+A'D2=CD2，即16+x2=（8-x）2，解出x，即A'D=3cm，最后在Rt△DA'B中，由勾股定理得即可求得BD的长.
20．如图，一根2.5米长的竹竿AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端为0.7米，如果竹竿的底端沿地面向外滑动0.8米，那么点A将向下移动多少米？
【答案】解：由题意得，AB=A1B1=2.5m，BC=0.7m，B1C=1.5m，
在Rt△ABC中，AC==2.4(m)，
在Rt△A1B1C中，A1C==2(m)，
则顶端下移的距离=2.4﹣2=0.4(m).
【解析】【分析】在Rt△ABC中根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AE，在Rt△A1B1C中根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出A1C，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离．
21．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设AB 为最长边，当 时，△ABC 是直角三角形；当 时，通过比较代数式（ 和c2 的大小，探究△ABC 的形状（按角分类）.
（1）当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形.
（2）猜想：当 时，△ABC 为锐角三角形；当 时，△ABC 为钝角三角形.
（3）当a=2，b=4时，探究△ABC 的形状，并求出对应的c2 的取值范围.
【答案】（1）锐角；钝角
（2）>；<
（3）解：因为c为最长边的长，2+4=6，所以4≤c<6.
①当 即 时，△ABC 是锐角三角形，此时
②当 即 时，△ABC是直角三角形；
③当 即 时，△ABC 是钝角三角形，此时
【解析】【解答】解：(1)当一个直角三角形的两直角边长为6，8 时，斜边长为 10，因为9<10，所以当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC 为锐角三角形；因为11>10，所以当△ABC 三边长分别为6，8，11 时，△ABC 为钝角三角形.
故答案为锐角，钝角.
(2)当 时，△ABC为锐角三角形；当 时，△ABC 为钝角三角形
故答案为>，<.
【分析】(1)利用勾股定理的逆定理判断即可.
(2)利用勾股定理判断即可；
(3)分三种情形：①当 时，②当 时，③当 时，分别求解即可.
22．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且 ，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明.
【答案】解：公路 段没有危险不需要暂时封锁
如图，过点C作 于点D.
∵ ， 米， 米，
∴ （米）.
∴ （米）.
∵ ，
∴公路 段没有危险不需要暂时封锁.
【解析】【分析】过点C作 于点D，由勾股定理求出AB的长，再由面积相等求出CD的长，与450米比较即可判断是否要封锁公路.
23．如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？
【答案】解：在 ΔABD中，根据勾股定理，BD= = =240(km），
则台风中心经过240÷25= 小时从B点移到D点，
如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25= （小时），
∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的 小时内撤离才可脱离危险．
【解析】【分析】根据勾股定理求出BD的长，进而解得台风从点B移到D点的时间，即可解得BE的长及从点B到点E的时间，据此解题即可。
24．如图，直线a、b、c在同一平面内，以a∥b，a与c相交于点P，试说明b与c也一定相交．
【答案】解：假设b与c不相交，那么b与c平行．
点P在直线a上，a与b平行，
所以P不在直线b上．
过直线b外的一点P，有两条直线a、c都与b平行．这与平行公理矛盾．
【解析】【分析】本题采用的方法叫做“反证法”．它是数学证明中的常用方法．采用反证法时，首先假设要证明的结论不成立，也就是相反的结论成立．再利用已知条件与假设导出矛盾，从而说明相反的结论不成立，原来的结论成立．
在判定两直线是否平行时，除了一般的判定定理外，我们还经常用到下面两条判定定理：(1)若两条直线同平行于第三条直线，则这两条直线平行．(2)若两条直线同垂直于第三条直线，则这两条直线平行．
25．四边形，，点在上，连接，点在上，连接，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，点在上，连接，，，，求证：；
（3）如图，在(2)的条件下，过点作的平行线交于点，，，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
（3）解：如图，延长于点，使，连接，则，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
作于点，交的延长线于点，则，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，且，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的值为．
【解析】【分析】 （1）根据垂直定义及直角三角形两锐角互余可得∠AED=90°-∠DAE，由已知可得∠FCE=90°-3∠DAE，根据三角形外角性质∠CFE=∠AED-∠FCE，从而代入化简可得结论；
（2）易得∠ABG=∠CFE，根据角的和差及已知可推出∠BAG=90°+∠DAE，根据三角形外角相等得∠FEC=90°+∠DAE，则∠BAG=∠FEC，从而用AAS判断出△BAG≌△FEC，由全等三角形的对应边相等可得AG=EC；
（3） 延长ED至点P，使DP=DE，连接AP，则∠ADP=∠ADE=90°，首先用SAS判断出△ADP≌△ADE，由全等三角形的对应边相等得∠DAP=∠DAE； 作PL⊥AE于点L，CQ⊥AE交AE的延长线于点Q，则∠Q=∠PLE=∠ALP=90°， 利用AAS判断出△CEQ≌△PEL，得CQ=PL，QE=LE；再用AAS判断出△CFQ≌△PAL，得FQ=AL，可推出FQ=AF=6，则QE=LE=3，结合对顶角相等，由等角的余角相等得∠GAH=∠ECQ，由二直线平行，同位角相等得∠AHG=∠ADE=90°=∠Q，从而用AAS判断出△AGH≌△CEQ，得HG=QE=3，此题得解.
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