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第24章 解直角三角形 单元达标测评卷
一、单选题
1．如图，在中，，，点D为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．用三根长分别为，，的小木棒首尾相接拼成一个三角形，则的值可以是（ ）
A．5 B．15 C．25 D．35
3．四边形ABCD中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．16或14
5．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m
6．如图，将直角三角形纸片ABC(∠A=90°，AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上折痕为AD，展开纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)。若AC=6，AB=8，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
7．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，．若，则的长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．已知一个三角形的其中一个内角是它另外一个内角的两倍，且它的其中一边长是另外一边长的两倍，若它最短的边长为1，则这个三角形的周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，，则的长为 ．
12．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是 ．
13．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于 米．
14．如图，中，点为边的垂直平分线与边的交点，连接，交于点，若，，则 ．
15．如图，在中，，点G为的重心，过点G作交于点D．已知，那么的长为 ．
16．如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为 ．
三、解答题
17．如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）．
18．如图，线段是南北方向的一段码头，点和点分别是码头的两端，海里，某一时刻在点处测得货船位于其北偏东75°的方向上，同时测得灯塔A位于其南偏东30°方向上，在点处测得灯塔A位于其北偏东75°方向上，已知货船位于灯塔A北偏东30°方向上，求此时货船距灯塔A的距离的长（最终结果精确到0.1海里，参考数据：，，）．
19．如图，小华在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度．（结果精确到0.1米，参考数据 =1.732）
20．五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果保留根号）
21．校车安全是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点P处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO =45°．
（1）求A、B之间的路程；（参考数据：，）
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的限制速度？
22．如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．
23．某通信公司准备逐步在合肥大蜀山上建设5G基站．如图，某处斜坡 的坡度（或坡比）为 ，通讯塔 垂直于水平地面 ，在C处测得塔顶A的仰角 ，在D处测得塔顶A的仰角 ，D到水平地面的距离 米，求基站 的高度．（参考数据： ， ， ）
24．如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．
25．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
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第24章 解直角三角形 单元达标测评卷
一、单选题
1．如图，在中，，，点D为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
故选A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
2．用三根长分别为，，的小木棒首尾相接拼成一个三角形，则的值可以是（ ）
A．5 B．15 C．25 D．35
【答案】B
【解析】【解答】解：由三角形三边关系得：
∴
∴的值可以是15
故答案为：B.
【分析】三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得
3．四边形ABCD中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：延长DC交AB的延长线于点E，如图，
在Rt△ADE中，∵∠D=90°，∠A=60°，
∴∠E=30°，
∴AE=2AD=16，
∴，BE=AE-AB=16-7=9，
在Rt△BCE中，∠CBE=90°，∠E=30°，
∴CE=2BC，
由勾股定理得CB2+BE2=CE2，
∴BC2+92=4BC2，
解得BC=，
∴CE=，
∴CD=DE-CE=，
∴DC+BC= .
故答案为：C.
【分析】延长DC交AB的延长线于点E，由三角形的内角和定理得∠E=30°，由含30°角直角三角形的性质可得AE=2AD=16，再由勾股定理可算出DE的长，由线段的和差算出BE的长；由含30°角直角三角形的性质可得CE=2BC，再由勾股定理可算出BC、CE的长，由线段的和差算出CD的长，从而即可求出答案.
4．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．16或14
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴x-4=0，y-6=0，
∴x=4，y=6，
∵ x，y的值为等腰三角形的两边长，
∴该等腰三角形的三边长为4、4、6或6、6、4，
∵4+4＞6，4+6＞6，
∴这两种情况都能围成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为4+4+6=14或4+6+6=16.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得x=4，y=6，进而根据等腰三角形的性质可得等腰三角形的三边长为4、4、6或6、6、4，然后根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的再根据三角形周长的计算方法算出其周长即可.
5．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ABE=∠DCE， ∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△DCE，
∴ .
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴
故答案为：A.
【分析】利用两角分别相等可证△ABE∽△DCE，利用相似三角形的对应边成比例，即可求出结论.
6．如图，将直角三角形纸片ABC(∠A=90°，AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上折痕为AD，展开纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)。若AC=6，AB=8，则折痕EF的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：连接ED，DF，
∵ 将直角三角形纸片ABC(∠A=90°，AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上折痕为AD，
∴
∵再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，
∴EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠BAD=∠EDA=45°，∠CAD=∠ADF=45°，
∴∠AED=∠AFD=180°-45°-45°=90°，
∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形
∵AE=DE
∴四边形AEDF是正方形，
∴AE=DE=DF=AF
设AE=DE=DF=AF=x，则BE=8-x，
∵∠B=∠B，∠BED=∠BAC=90°，
∴△BED∽△BAC
∴即
解之：
∴
在Rt△DEF中，∠DEF=45°，
∴
∴
解之：
故答案为：A.
【分析】连接ED，DF，利用第一次折叠可求出∠BAD，∠CAD的度数；再根据第二次折叠可证得EF垂直平分AD，利用线段垂直平分线的性质及正方形的判定方法，去证明四边形AEDF是正方形，由此可推出AE=DE=DF=AF；设DE=x，可表示出BE的长，利用相似三角形的判定方法可证得△BED∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例可求出DE的长，然后利用解直角三角形求出EF的长。
7．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作BC的垂线交BC于点D，
据题意可知：，
在中，，
即，解得BD=，
在中，，
即，解得CD=，
.
故答案为：C.
【分析】先点A作BC的垂线交BC于点D，根据题意得，再根据特殊的三角函数值分别计算BD、CD的长，再利用线段的和差即可得到这栋楼的高度.
8．在中，．若，则的长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解： 在 中，
故答案为：D.
【分析】根据三角函数求解。
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，
∴BD平分∠ABC，∴∠ABO＝120°÷2＝60°，
∴OA＝OB，
由B的坐标可知OB＝3
∴OA＝
∴A（-，0）
故答案为：A
【分析】
根据菱形的性质得出∠ABO＝60°，再根据含有60°的直角三角形中的边间关系求出OA，得到点A坐标。
10．已知一个三角形的其中一个内角是它另外一个内角的两倍，且它的其中一边长是另外一边长的两倍，若它最短的边长为1，则这个三角形的周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，在中，，过点A作的角平分线交于D，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，设，则，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴此时三角形的周长为，故B不符合题意；
当时，设，则，
∴，
∴，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当时，设，则，
∴
∴，
∴，
解得，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当时，设，则，
∴
∴，
∴，
解得，
∵，
∴此时不能构成三角形；
同理可得当，即，可得满足题意的，
∴此时三角形的周长为，故A不符合题意；
同理当，即，可得，
∴此时，不符合题意，即三角形的周长不能为，故D符合题意；
同理当，即，可得，
∴此时三角形的周长为，故C不符合题意；
故答案为：D.
【分析】在△ABC中，∠BAC=2∠B，过点A作∠BAC的角平分线交BC于D，则BD=AD，∠ADC=2∠B=∠BAC，证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质可得，①当AC=1、AB=2时，设BC=z，CD=y，则BD=z-y，代入并求解可得z的值，据此可判断B；②当AC=1、BC=2时，设AB=z，CD=y，则BD=AD=2-y，根据相似三角形的性质可得y、z的值，此时不能构成三角形；③当AC=1、BC=2AB时，设AB=z，CD=y，则BD=AD=2z-y，代入求出z的值，此时不能构成三角形；④当AC=1、AB=2BC时，设AB=2z，CD=y，则BD=AD=z-y，同理求出z的值，此时不能构成三角形；⑤当AB=1、BC=2时，设AC=z，CD=y，代入求出AC的值，得到周长，进而判断A；同理判断C、D.
二、填空题
11．如图，在中，，，，则的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可．
12．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为1，x，2，
∴第三边的取值范围为：1＜x＜3
∵x为整数，
∴x=2．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解即可．
13．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于 米．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意知，DE＝4，
∴CE＝2BC，CD＝2AC，
∴CD＝DE+CE＝4+2BC，
∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC+AB＝2+BC，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【分析】先求出CD＝DE+CE＝4+2BC，再求出△BCE∽△ACD，最后计算求解即可。
14．如图，中，点为边的垂直平分线与边的交点，连接，交于点，若，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，过点作，
点为边的垂直平分线与边的交点，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作，根据锐角三角函数求出，再利用线段的和差可得。
15．如图，在中，，点G为的重心，过点G作交于点D．已知，那么的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于O，过点O作于H，
∵点G为的重心，
∴O为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由重心的性质可知，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接并延长交于O，过点O作于H，根据直角三角形的性质可得，，
由重心的性质可知，在中，，可得，根据勾股定理可得，则。
16．如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接FB，EC，
∵∠BAC=120°，∠BAE=∠CAF=90°，AB=AE=AC=AF=，
∴∠EAC=30°，∠BAF=150°，∠ABE=∠AEB=∠AFC=∠ACF=45°，BE=FC=4，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB=15°，
∴∠FBE=∠BFC=60°，
∴△BFM是等边三角形，
∴△EMC是等边三角形，
过点E作ED⊥AC，垂足为D，
则ED=AE=，AD=，
∴DC=AC-AD=，
根据勾股定理，得EC=，
∴BM=BE+EM==．
【分析】
根据旋转的性质可知和是等腰直角三角形，连接FB，EC，证明出△BFM，△EMC是等边三角形，过点E作ED⊥AC，垂足为D，再根据30°直角三角形性质和勾股定理即可求出EC，BE，进而求出BM的长.
三、解答题
17．如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）．
【答案】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
【解析】【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，易得四边形DHMN与四边形EFGH都是矩形，则MH=ND，EF=HG=5cm，BM∥DH，由二直线平行，内错角相等得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的和差求出∠ABM=45°，在Rt△ABM中，由正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出AM的长，在Rt△BDN中，由正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出ND的长，进而根据AG=AM+MH+GH可求出答案.
18．如图，线段是南北方向的一段码头，点和点分别是码头的两端，海里，某一时刻在点处测得货船位于其北偏东75°的方向上，同时测得灯塔A位于其南偏东30°方向上，在点处测得灯塔A位于其北偏东75°方向上，已知货船位于灯塔A北偏东30°方向上，求此时货船距灯塔A的距离的长（最终结果精确到0.1海里，参考数据：，，）．
【答案】解：在中，，
∴，
∴（海里）.
在中，.
∵，
∴，
∴，
∴.
过点作于点.
在中，，
∴海里，
∴海里=3海里
在中，，则海里.
∴（海里）．
答：此时货船距灯塔的距离约为4.7海里．
【解析】【分析】先求出 ， 再结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
19．如图，小华在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度．（结果精确到0.1米，参考数据 =1.732）
【答案】解：∵∠EDG=60°，∠EBG=30°，
∴∠DEB=30°，
∴DE=DB=30米，
在Rt△EDG中，sin∠EDG= ，
∴EG=ED sin∠EDG=15 ≈25.98，
∴EF=25.98+1.5≈27.5，
答：大楼EF的高度约为27.5米．
【解析】【分析】根据三角形的外角的性质求出∠DEB=30°，根据等腰三角形的性质求出DE，根据正弦的概念求出EG，计算即可．
20．五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果保留根号）
【答案】解：过点P作PC⊥AB于C，
则∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．
在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC=30°，AP=100，
∴AC= AP=50，PC= AC=50 ．
在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，
∴BC=PC=50 ．
∴AB=AC+BC=（50+50 ）（米）．
答：景点A与B之间的距离为（50+50 ）米．
【解析】【分析】由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PA=100m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长．
21．校车安全是近几年社会关注的热门话题，其中超载和超速行驶是校车事故的主要原因．小亮和同学尝试用自己所学的三角函数知识检测校车是否超速，如下图，观测点设在到白田路的距离为100米的点P处．这时，一辆校车由西向东匀速行驶，测得此校车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO =45°．
（1）求A、B之间的路程；（参考数据：，）
（2）请判断此校车是否超过了白田路每小时60千米的限制速度？
【答案】（1）解：在Rt△BOP中，∠BOP=90°，
∵∠BPO=45°，OP=100，
∴OB=OP=100.
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
∵∠APO=60°，
∴AO=OP tan∠APO.
∴AO=100，
∴AB=100( 1)(米)；
（2）解：∵此车的速度=100( 1)4=25( 1)≈25×0.73=18.25米/秒
60千米/小时=≈16.67米/秒，
18. 25米/秒>16.67米/秒，
∴此车超过了白田路每小时60千米的限制速度.
【解析】【分析】（1）根据三角形锐角三角函数的计算方法求出 AO=OP tan∠APO.，即可得到AB=100( 1)；
（2）根据（1）的结果求出车的速度，再比较大小即可。
22．如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．
【答案】解：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，
∴CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=30°，
∴sin30°=，
解得：x=5，
答：AB的长度为5米．
【解析】【分析】过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，则CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，根据30°角的正弦值即可求出x，则AB求出．
23．某通信公司准备逐步在合肥大蜀山上建设5G基站．如图，某处斜坡 的坡度（或坡比）为 ，通讯塔 垂直于水平地面 ，在C处测得塔顶A的仰角 ，在D处测得塔顶A的仰角 ，D到水平地面的距离 米，求基站 的高度．（参考数据： ， ， ）
【答案】解：根据题意得：EF=DM=10米，DE=MF，
∵斜坡 的坡度 ，
∴ ，
∴CM=24米，
设AE=x米，则AF=（x+10）米，
∵ ，AF⊥CF，
∴∠CAF=∠ACF=45°，
∴AF=CF=（x+10）米，
∴DE=MF=x+10-24=（x-14）米，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得：x=56，
∴AF=66米，
答：基站 的高度为66米．
【解析】【分析】先利用斜坡CB的坡度（或坡比）为 可得求出CM=24，再设AE=x米，则AF=CF=（x+10）米，然后利用可得，即，求出x的值即可。
24．如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．
【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵tan ，
∴AD= = = = x，
由AD+BD=AB可得 x+x=10，
解得：x=5 ﹣5，
答：飞机飞行的高度为（5 ﹣5）km
【解析】【分析】C作CD⊥AB，由∠CBD=45°知BD=CD=x，由∠ACD=30°知AD= = x，根据AD+BD=AB列方程求解可得．
25．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
【答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD=12米，∠DCE=60°，
∴DE=CD sin60°=12× =6 米，CE=CD cos60°=12× =6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE=D′E′=6 米．
∵∠D′CE′=39°，
∴CE′= ≈ ≈12.8，
∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【解析】【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
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