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第二十四章 圆 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．如图，在⊙O中， ，点D在⊙O上，∠CDB＝20°，则∠AOB＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
2．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
3．已知半径为5 的圆，直线l 上一点到圆心的距离是5，则直线l 和圆的位置关系为 ( )
A．相切 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
4．如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（ ）
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在半径为的中，，分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点，连结OG，则OG的长是（ ）.
A． B． C． D．
7．如图，甲、乙两位同学利用无刻度的直尺与圆规作BC边上的高AD，甲、乙两位同学作法正确的是（ ）
A．甲同学正确 B．乙同学正确
C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
8．如图，将一个正八边形和一个正六边形按如图放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连结BD，CE并延长，交于点A，连结OD，OE．若∠A=70° ，则∠DOE的度数为（ ）．
A．35° B．38° C．40° D．42°
10．如图，在 中， ，以 的中点 为圆心分别与 ， 相切于 ， 两点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若正六边形的边长为3，则其面积为 .
12．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A= ．
13．如图，在等边的边长，、分别为、的角平分线，、的垂直平分线交于E、F，则的长为 ．
14．如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是 ．
15．如图，正方形 和 ， ，连接 .若 绕点 旋转，当 最大时， .
16．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=20厘米，BC=15厘米，以直角边AB为直径作半圆，与直角三角形ABC另外两边相交，那么阴影a的面积比阴影b的面积大 平方厘米。
三、解答题
17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求 的度数．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，CA=3，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，求弧AD的长。
19．如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，使△ABC的面积最大，那么点C在的什么位置？
20．实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？
21．如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，且与AC交于点.
（1）求证：E为AC的中点.
（2）若AC=8，DE=3，求AB的长度：
22．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
23． 如图，在△ABC中，AB=AC=6 cm，以AB为直径作半圆，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E.
（1）若E是 的中点，求AE 的长；
（2）若∠BAC=50°，求 的长.
24．如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．
（1）若∠DBC＝α，求∠DCE（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．
①求证：EB＝EG；
②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．
25．如图，在⊙O中，F，G是直径AB上的两点，C，D，E是半圆上的三点，如果弧AC的度数为60°，弧BE的度数为20°，∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB．求∠FDG的大小
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第二十四章 圆 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．如图，在⊙O中， ，点D在⊙O上，∠CDB＝20°，则∠AOB＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】∵在⊙O中， ，
点D在⊙O上，∠CDB＝20°，
∴∠AOB＝2∠CDB＝40°．
故答案为：B．
【分析】由“同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可求得∠AOB=2∠BDC，把∠BDC的度数代入计算即可求解。
2．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵AB为⊙O的切线 ，
∴OA⊥AB ，即∠OAB=90° ，
∵∠ADC=30° ，
∴∠AOB=2∠ADC=60° ，
∴∠ABO=90°-60°=30° .
故答案为：C.
【分析】由切线的性质可得∠OAB=90°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC=60°，接下来根据直角三角形两锐角互余的性质进行求解.
3．已知半径为5 的圆，直线l 上一点到圆心的距离是5，则直线l 和圆的位置关系为 ( )
A．相切 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
【答案】C
【解析】【解答】解：∵圆的半径为5，一条直线上有一点到圆心的距离为5，
∴这条直线与圆的位置关系为相切或相交，
故选：C.
【分析】若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切.
4．如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（ ）
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①若O是△ABC的外心，则有∠BOC=2∠A=100°，故①正确；
②若O是△ABC的内心，则∠BOC=90°+∠A=115°，故②正确；
③若BC=6，AB+AC=10，当AB=AC=5时，△ABC的面积的最大，其最大值是12，故③正确；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是，故④错误.
故答案为：C.
【分析】根据每个选项中的已知条件分别计算出应得结果，然后作出判断。
5．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
是的直径，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AD，根据圆周角定理的推论可得，进而得，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案．
6．如图所示，在半径为的中，，分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点，连结OG，则OG的长是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AG、DG，
∵AD是圆O的直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=r，，
∵ 分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于 点G，
∴AG=DG=AC=，
又∵点O是AD的中点，
∴GO⊥AD，AO=r，
∴在Rt△AOG中，OG=.
故答案为：C.
【分析】如图，连接AG、DG，由直径所对的圆周角是直角得∠ACD=90°，由含30°角直角三角形的性质可得CD的长，进而利用勾股定理算出AC=，由作图过程可得AG=DG=AC=，再根据等腰三角形的三线合一得GO⊥AD，AO=r，最后在Rt△AOG中，由勾股定理算出OG的长即可.
7．如图，甲、乙两位同学利用无刻度的直尺与圆规作BC边上的高AD，甲、乙两位同学作法正确的是（ ）
A．甲同学正确 B．乙同学正确
C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
【答案】C
【解析】【解答】解：甲：由图作图可知直径所对的圆周角是直角，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC边上的高，故甲同学的作法正确；
乙：由作图可知AD⊥BC，
∴AD是BC边上的高，故乙同学的作法正确；
∴甲乙两同学的作法都正确.
故答案为：C.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可对甲同学的作图作出判断；利用作垂线的方法，可对乙同学的作图作出判断.
8．如图，将一个正八边形和一个正六边形按如图放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得∠ABE=(8-2)×180°÷8=135°，∠DCE=(6-2)×180°÷6=120°，
∴∠CBE=180°-135°= 45°，∠BCE=180°-120°=60°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-45°-60°=75°，
故答案为：B.
【分析】根据多边形内角和公式及正多边形性质求得∠ABE，∠DCE的度数，从而求得∠CBE，∠BCE的度数，然后根据三角形内角和为180°计算即可求得答案.
9．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连结BD，CE并延长，交于点A，连结OD，OE．若∠A=70° ，则∠DOE的度数为（ ）．
A．35° B．38° C．40° D．42°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵BC是半圆O的直径
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-70°=20°，
∴∠DOE-2∠ACD=2×20°=40°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°，进而可得∠ADC、∠ACD，再由圆周角定理可得∠DOE-2∠ACD即可求解.
10．如图，在 中， ，以 的中点 为圆心分别与 ， 相切于 ， 两点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】连接OE，OD，OA，∵以 B C 的中点 O 为圆心分别与 A B ， A C 相切于 D ， E 两点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC；又∵ ∠ A = 90 °
∴四边形ADOE为矩形，又∵OE=OD
∴矩形ADOE为正方形；∠OAD=45°，OD⊥AB
∵OA=BC=OB=
∴∠AOB=90° AB==2
∴OD=AB=1
弧E D 的长为=
【分析】由两条切线以及∠A=90°易得四边形ADOE为矩形∠OAD=45°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半易得OA=BC=OB=再由勾股定理，求得AB的长，从而得到OD=AB=1再利用弧长公式可得结果。
二、填空题
11．若正六边形的边长为3，则其面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵此多边形为正六边形，如图：
∴∠AOB＝ ＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝3，
∴OG＝OA cos30°＝3× ＝ ，
∴S△OAB＝ ×AB×OG＝ ×3× ＝ ，
∴S六边形＝6S△OAB＝6× ＝ .
故答案为： ；
【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OG的长，再由△OAB的面积即可求解.
12．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A= ．
【答案】76°
【解析】【解答】解：连接ID、IF；
∵I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥AB，IF⊥AC；
∵∠DIF=2∠DEF=104°，
四边形DIFA中，∠IDA=∠IFA=90°，
∴∠A=180° ∠DIF=76°，
故答案为：76°
【分析】连接ID、IF，在圆 I中，由圆周角定理可求得∠DIF的度数，在四边形EDFA中，由于∠IDA=∠IFA=90°，可证得∠DIF和∠A互补，由此求出∠A的度数。
13．如图，在等边的边长，、分别为、的角平分线，、的垂直平分线交于E、F，则的长为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：连接AO并延长与BC交于点D，连接OE和OF，如下图：
∵三角形ABC是等边三角形，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB
∴BO=CO，∠BAO=∠OBD=30°，AD是BC边上的中线且OD=AD
∴BD=，AD=
∴OD=
∵BO和CO的垂直平分线分别交BC于点E、F
∴BE=EO
设ED为x，则BE=EO=-x；
∴（-x）2=x2+（）2，解得x=；
同理，可得DF=；
∴EF=ED+DF=1
故答案为：1.
【分析】根据等边三角形的性质和三角形内心的性质，可得BO=CO，∠BAO=∠OBD=30°，AD是BC边上的中线且OD=AD；根据勾股定理，可得AD的长；根据勾股定理，列关于x的方程，即可求解.
14．如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是 ．
【答案】65°或115°
【解析】【解答】本题要分两种情况套，如下图，分别连接OC；OB；BP1；BP2；CP1；CP2
；（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：
∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
∵∠A=50°，
∴在四边形ABOC中，∠COB=130°，
∴∠BP1C=65°，（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时
∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，
∵∠BP1C=65°，
∴∠BP2C=115°.
综合（1）、（2）可知，∠BPC的度数为65°或115°.
【分析】根据题意，分情况进行讨论即可，当∠BPC为锐角或∠BPC为钝角时即可得到答案，根据切线定理即可得到答案。
15．如图，正方形 和 ， ，连接 .若 绕点 旋转，当 最大时， .
【答案】6
【解析】【解答】解：作 于 ，如图，
，当 绕点 旋转时，点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
当 为此圆的切线时， 最大，即 ，
在 中， ，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
。
故答案为： 。
【分析】作 于 ，如图， ，当 绕点 旋转时，点 在以 为圆心， 为半径的圆上，当 为此圆的切线时， 最大，即 ；在 中，利用勾股定理算出BF的长，根据同角的余角相等得出，然后利用AAS判断出，根据全等三角形对应边相等得出DH=BF=3，从而即可根据三角形的面积计算公式算出答案。
16．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=20厘米，BC=15厘米，以直角边AB为直径作半圆，与直角三角形ABC另外两边相交，那么阴影a的面积比阴影b的面积大 平方厘米。
【答案】7
【解析】【解答】解：20÷2=10（厘米）
3.14×102÷2-20×15÷2
=3.14×100÷2-300÷2
=314÷2-150
=157-150
=7（平方厘米）。
故答案为：7。
【分析】阴影a比阴影b大的面积=半圆的面积-三角形的面积；其中，半圆的面积=π×半径2÷2，三角形的面积=底×高÷2。
三、解答题
17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求 的度数．
【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°
∴∠A=90°﹣∠B=65度．
∵CA=CD
∴∠CDA=∠CAD=65°
∴∠ACD=50°
即弧AD的度数是50度．
【解析】【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A=90°﹣∠B=65°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，CA=3，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，求弧AD的长。
【答案】解、连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠A= 180 ° -90°-25°= 65 ° ，
∵CD=CA，
∴∠ADC=∠DAC= 65 ° ，
∠ACD= 180 ° - 65 ° - 65 ° = 50 ° ，
∴弧AD=== .
【解析】【分析】连接CD，用三角形内角和定理可求得∠A的度数，再根据等边对等角可求得∠ADC的度数，则圆心角ACD的度数可求解，根据弧长=可求解。
19．如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，使△ABC的面积最大，那么点C在的什么位置？
【答案】解：若△ABC的面积最大，则点C到直径AB的距离最大，
所以点C在的中点位置．
【解析】【分析】根据三角形面积公式得到点C到直径AB的距离最大时，△ABC的面积最大，于是可得点C在的中点位置．
20．实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？
【答案】解：设圆形草坪的半径为r，
则由题意知，2πr=62.8，
解得：r≈10m．
所以选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．
【解析】【分析】具体应选哪一种装置，取决于圆形草坪的半径，周长为62.8米的圆的半径约是10米．
21．如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，且与AC交于点.
（1）求证：E为AC的中点.
（2）若AC=8，DE=3，求AB的长度：
【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
，
，
，
∴E 为 AC 的中点.
（2）解：设圆的半径为 x，则
在 中，
，
，
解得
.
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，然后根据平行得到，然后根据垂径定理即可证明；
（2）在 中，利用勾股定理计算即可解题.
22．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
23． 如图，在△ABC中，AB=AC=6 cm，以AB为直径作半圆，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E.
（1）若E是 的中点，求AE 的长；
（2）若∠BAC=50°，求 的长.
【答案】（1）解：如图，连接OE，OD，
∵ E是 的中点 ，
∴，
∵AB为直径，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∵AB=6cm，
∴OA=OE=3cm，
∴AE=；
故答案为：AE=3c m
（2）解： 如图，连接OE，OD，
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠B=65°，
又∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=65°，
∴∠BOD=50°，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOE=100°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=100°-50°=50°，
∵AB=AC=6cm，
∴OA=OB=3cm，
所以的长为cm.
故答案为：πcm
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理及推论，易得∠AOE=∠BOE=90°，利用勾股定理即可计算出AE的长度；
（2）利用等腰三角形的性质，圆心角定理即可计算出∠DOE的度数，利用弧长公式即可计算出结果.
24．如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E．
（1）若∠DBC＝α，求∠DCE（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．
①求证：EB＝EG；
②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．
【答案】（1）解：如图，连结OD，
∵∠DOC＝2∠DBC＝2α，
又∵OD＝OC，
∴∠DCE＝90°-α；
（2）解：①∵∠ABD＝∠CBF，
∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，
设∠DBC＝α，
由（1）得：∠DCE＝90°-α，
∵BF⊥AC，
∴∠FGC＝∠BGE＝α，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EB＝EG；
②如图，作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，如图：
由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°-α，
∵BF⊥AC
∴∠A＝90°-α，
∴AE＝CE＝5，
∵EN⊥AC，AC＝8，
∴，
∴，
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，
∴EN＝MF＝3，
∵EB＝EG，EM⊥BG，
∴BM＝GM，
∴FG+FB＝FM-MG+FM+BM＝2FM＝6．
【解析】【分析】（1）连结OD，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠DOC＝2α；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等；结合三角形内角和是180°即可求解；
（2）①根结合题意可得∠EBG＝∠DBC，设∠DBC＝α，则∠DCE＝90°-α；根据三角形内角和是180°可求得∠FGC＝∠BGE＝α，推得∠EBG＝∠EGB；根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底角所对的边相等可得EB＝EG；
②作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，根据三角形内角和是180°，求得∠A＝90°-α，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底角所对的边相等可得AE＝CE＝5；根据等腰三角形底边上的中线，顶角的角平分线，底边上的高重合可得CN＝4；根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出EN=3；根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得EN=MF=3；根据等腰三角形的性质可得BM=GM，即可求解.
25．如图，在⊙O中，F，G是直径AB上的两点，C，D，E是半圆上的三点，如果弧AC的度数为60°，弧BE的度数为20°，∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB．求∠FDG的大小
【答案】解：如图：作点C关于AB的对称点M，点E关于AB的对称点N，连结CM、FM，设CM交AB于点Q，
依题可得AB⊥CM，CQ=MQ，
∴∠CFA=∠AFM，
又∵∠CFA=∠DFB，
∴∠AFM=∠DFB，
∴D、F、M三点共线，
同理可得D、G、N三点共线，
又∵弧AC=60°，弧BE=20°，
∴弧AM=弧AC=60°，弧BN=弧BE=20°，
∴弧MN=180°-60°-20°=100°，
∴∠FDG=×100°=50°.
【解析】【分析】作点C关于AB的对称点M，点E关于AB的对称点N，连结CM、FM，设CM交AB于点Q，结合已知条件等量代换可得∠AFM=∠DFB，从而求出D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，由垂径定理可得弧AM=弧AC=60°，弧BN=弧BE=20°，根据圆周角定理可得∠FDG度数.
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