1．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是( )
A. B.
C．1 D.
解析：圆心为(1,0)，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝.
答案：A
2．经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)的圆的标准方程是( )
A．(x＋8)2＋(y＋3)2＝13
B．(x－8)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－8)2＋(y－3)2＝13
D．(x＋8)2＋(y－3)2＝25
答案：B
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4上，则a的值是( )
A．－1 B．1
C．±1 D．0
解析：由题意得(1－a)2＋(1＋a)2＝4，解得a＝±1.
答案：C
4．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________．
解析：圆心是线段AB的中垂线与x轴的交点．
答案：(x－2)2＋y2＝10
5．已知一个圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1和一条直线l：3x－4y＋5＝0，求圆关于直线l对称的圆的方程．
解：圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1的圆心为C(－2,6)，
设所求圆C′的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，半径与圆C半径相等，其圆心为C′(a，b)．
∵点C和点C′关于直线l：3x－4y＋5＝0对称，
∴点C和点C′的中点M在直线l上．
∴3·－4·＋5＝0，即3a－4b－20＝0.①
∵CC′⊥l，∴·＝－1，即4a＋3b－10＝0.②
联立①②，解得a＝4，b＝－2.
故所求圆C′的方程为(x－4)2＋(y＋2)2＝1.
课堂小结
——本课须掌握的三大问题
1.对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上，准确地记忆．
2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．
3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.
课件33张PPT。第四章 圆与方程 4．1 圆的方程 4．1.1 圆的标准方程 温示提馨请 做：课堂达标练经典（点击进入） 温示提馨请 做：课 时 作 业 25（点击进入）
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )
A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆
解析：方程配方为(x＋1)2＋(y－2)2＝11，表示以(－1,2)为圆心，半径为的圆．
答案：D
2．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,3)，半径为3的圆，则a，b，c的值依次是( )
A．2,6,4 B．－2,6,4
C．2，－6,4 D．2，－6，－4
解析：由题意可知－a＝2，＝3，解得a＝－2，b＝6，
∴r＝＝3，解得c＝4.
答案：B
3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为________．
解析：由圆的一般方程x2＋y2－2x＋6y＋8＝0可得D＝－2，E＝6，F＝8，则半径r＝＝
＝，故圆的周长为2π.
答案：2π
4．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________．
解析：方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；点E在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>，所以k的取值范围为(，1)．
答案：(，1)
5．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，求P点的轨迹方程．
解：如图所示，PA是圆C：(x－1)2＋y2＝1的切线，所以AC⊥AP，|PC|＝
＝，所以P的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝2.
课堂小结
——本课须掌握的三大问题
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数相等且不为0(如果x2和y2项的系数是不等于1的非零常数，只需在方程两边除以这个数，就可以变系数为1)；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F>0.
2．圆的一般方程和标准方程的关系：
圆的一般方程和圆的标准方程从本质上讲并无区别，它们只是表达形式不同，它们也可互相转化．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径，或需利用圆心、半径来求解，则用圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程较好．
3．求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．
(2)列出点M满足条件的集合．
(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.
(4)将上述方程化简．
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
课件38张PPT。第四章 圆与方程 4．1 圆的方程 4．1.2 圆的一般方程 温示提馨请 做：课堂达标练经典（点击进入） 温示提馨请 做：课 时 作 业 26（点击进入）
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
解析：圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝
答案：D
2．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2
C. D．无解
解析：由圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.
答案：B
3．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于( )
A．1 B. C. D．2
解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.
答案：D
4．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________．
解析：点P到原点O的距离为|PO|＝，∵r＝3，∴切线长为＝1.
答案：1
5．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)解法1：(几何法)
如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为k＝tan135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，
∴|OC|＝＝.
∵r＝2，∴|BC|＝＝，
∴|AB|＝2|BC|＝.
解法2：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，
得2x2－2x－7＝0.
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，
∵kOP＝－2，∴kAB＝，
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
课堂小结
——本课须掌握的三大问题
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·
＝|x1－x2|.
3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
课件37张PPT。第四章 圆与方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系 温示提馨请 做：课堂达标练经典（点击进入） 温示提馨请 做：课 时 作 业 27（点击进入）
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．内切 D．相交
解析：圆O1的圆心为(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0，－2)，半径r2＝2，|O1O2|＝，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，所以两圆相交．
答案：D
2．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为( )
A．6 cm或14 cm B．10 cm
C．14 cm D．无解
解析：圆A与圆B相切包括内切与外切，
∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14.
答案：A
3．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：令x2＋y2＝r2，则x2＋y2的最小值即为圆x2＋y2＝r2与直线相切时的圆的半径的平方，所以r＝＝2，即x2＋y2的最小值为8.
答案：C
4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．
解析：设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，OB2＝OD2＋BD2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝
，所以拱桥的直径为13米．
答案：13米
5．已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.求过两圆交点且面积最小的圆的方程．
解：设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．
直线AB的方程为x＋y－2＝0.
两圆圆心连线的方程为x－y＝0.
解方程组得圆心坐标为(1,1)．
圆心M(0,0)到直线AB的距离为d＝，
弦AB的长为|AB|＝2＝4，
所以所求圆的半径为2.
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.
课堂小结
——本课须掌握的两大问题
1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作．
2．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
课件38张PPT。第四章 圆与方程 4．1 圆的方程 4．2.2 圆与圆的位置关系
4．2.3 直线与圆的方程的应用温示提馨请 做：课堂达标练经典（点击进入） 温示提馨请 做：课 时 作 业 28（点击进入）
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy面上
C．xOz面上 D．第一象限内
解析：因为该点的y坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上．
答案：C
2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1,0,0)
解析：平面yOz内点的横坐标为0.
答案：B
3．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )
A．(6,0,0) B．(6,0,1)
C．(0,0,6) D．(0,6,0)
解析：设P(x,0,0)，|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得x＝6.
答案：A
4．已知M(5,3，－2)，N(1，－1,0)，则点M关于点N的对称点P的坐标为________．
解析：设P(x0，y0，z0)，由中点坐标公式得
解得即P(－3，－5,2)．
答案：(－3，－5,2)
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．
解：过点M作MM1⊥BC于M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1.
由|BM|＝2|MC1|，
知|MM1|＝|CC1|＝，|M1C|＝|BC|＝.
所以M1.
而M1M∥DD1，则M1M与z轴平行，M1与M的横坐标、纵坐标相同，M的竖坐标为，所以M.
由N1为DM1的中点知N1，
而N1N与z轴平行，且|N1N|＝＝，
所以N.
课堂小结
——本课须掌握的两大问题
1.空间中确定点M坐标的三种方法：
(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标．
(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．
2．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.
课件37张PPT。第四章 圆与方程 4．3 空间直角坐标系 温示提馨请 做：课堂达标练经典（点击进入） 温示提馨请 做：课 时 作 业 29（点击进入） 课时作业25 圆的标准方程
——基础巩固类——
1．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析：方程y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0)，
所以方程y＝表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．
答案：D
2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：由题意得半径r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.
答案：C
3．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
解析：∵|PO|＝>，∴P在圆外．
答案：B
4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )
A．－C．－≤a≤ D．－1≤a≤1
解析：由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.
答案：D
5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)，即圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
答案：D
6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为______________．
解析：设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，
把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：x2＋(y－2)2＝1
7．使圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上的点与点(0，－5)的距离最大的点的坐标是________．
解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在直线的方程为y＝x－5，代入圆的方程化简得(x－2)2＝1，
解得(舍去)或
∴点(3，－2)即为所求．
答案：(3，－2)
8．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解：(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，
PQ中点M，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得：
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
9．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
解：能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一个圆上．
——能力提升类——
10．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：由几何意义可知最小值为14－＝1.
答案：B
11．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：由题意知C1(2,3)，C2(3,4)，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
答案：A
12．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是____________．
解析：y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：
A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，
则kAB＝，kAC＝－，
∴t≤－或t≥.
答案：t≤－或t≥
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解：设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2
＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
课时作业26 圆的一般方程
——基础巩固类——
1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A. B．(－∞，0)
C. D.
解析：由x2＋y2－x＋y＋m＝0，
得2＋2＝－m.
因为该方程表示圆，所以－m>0，即m<，故选A.
答案：A
2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：圆心坐标为(－1,0)，所以所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
答案：C
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
解析：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线是圆，要想圆关于直线y＝x对称，只需圆心在直线y＝x上，即D＝E即可．
答案：A
4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
解析：由题意，知两圆的圆心分别为O(0,0)，C(－2,2)．由于直线l为线段OC的垂直平分线，故直线l过线段OC的中点(－1，1)，斜率为1，所以直线l的方程是x－y＋2＝0.
答案：D
5．方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是( )
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一个圆 D．一条直线
解析：由题意，(x2＋y2－2x)＝0可化为x＋y－3＝0或x2＋y2－2x＝0(x＋y－3≥0)．∵x＋y－3＝0在x2＋y2－2x＝0的上方，∴x2＋y2－2x＝0(x＋y－3≥0)不成立，∴x＋y－3＝0，∴方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是一条直线．
答案：D
6．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析：圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，其圆心为(1,2)，半径为1，则圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝3.
答案：3
7．一动点M到A(－4,0)的距离是它到B(2,0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是________．
解析：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|，
即＝2，
整理得x2＋y2－8x＝0.
∴所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
答案：x2＋y2－8x＝0
8．已知方程x2＋y2＋2(m＋3)x－2(2m－1)y＋5m2＋2＝0(m∈R)表示一个圆．
(1)求m的取值范围．
(2)若m≥0，求该圆半径r的取值范围．
解：(1)依题意：4(m＋3)2＋4(2m－1)2－4(5m2＋2)>0，
即8m＋32>0，解得m>－4，
所以m的取值范围是(－4，＋∞)．
(2)r＝
＝，
因为m∈[0，＋∞)，所以r≥2，
所以r的取值范围是[2，＋∞)．
9．求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P、Q点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1、x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
——能力提升类——
10．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0
解析：设圆心M的坐标为(x，y)，由题意知|x|＝|y|，所以圆心M的轨迹方程为x2－y2＝0.
答案：D
11．圆x2＋y2－4x＋2y＋F＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C，若∠ACB＝，则F的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：将原方程x2＋y2－4x＋2y＋F＝0化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－F.因为∠ACB＝，CA＝CB，所以△ACB是等腰直角三角形．又因为C(2，－1)，点A，B在y轴上，易得AB＝4，CB＝2，所以5－F＝(2)2，解得F＝－3.
答案：D
12．已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：
(1)b＝________；(2)λ＝________.
解析：设M(x，y)，则有|MB|＝λ|MA|，∴(x－b)2＋y2＝λ2(x＋2)2＋λy2，由题意，取(1,0)，(－1,0)分别代入可得(1－b)2＝λ2(1＋2)2，(－1－b)2＝λ2(－1＋2)2，∴b＝－，λ＝.
答案：(1)－ (2)
13．已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)，
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9，②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
课时作业27 直线与圆的位置关系
——基础巩固类——
1．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交过圆心 D．相交不过圆心
解析：圆心(1，－2)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝，圆的半径r＝4.所以d又圆心(1，－2)不在直线4x－3y－2＝0上，故选D.
答案：D
2．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为( )
A．2＋ B．2－
C. D．0
解析：圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝，∴所求最大距离为2＋.
答案：A
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，
圆心为(－1,1)，半径r＝.
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为
d＝＝.
由r2＝d2＋()2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
答案：B
4．经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦最短时的直线l方程为( )
A．2x－y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
解析：圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心C(3,1)．
所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短．
又kCP＝＝2.∴kl＝－.
∴直线l的方程为y＋1＝－(x－2)，
即x＋2y＝0.
答案：C
5．圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝8到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：圆的半径为2，圆心C(－1,2)到直线l的距离为d＝＝，如图所示，圆上有3个点到直线l的距离等于.
答案：C
6．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝________.
解析：圆心到直线的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2＝2.
答案：2
7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于点A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圆心C(－1，2)，半径r＝3.∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d＝×3＝，即d＝＝＝，即|a－3|＝3，解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
8．实数a(a>0)取什么值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆(x－a)2＋(y＋1)2＝a.
(1)相离；(2)相切；(3)相交．
解：圆(x－a)2＋(y＋1)2＝a的圆心为(a，－1)，半径为，则圆心(a，－1)到直线x＋y－2a＋1＝0的距离为
d＝＝，
(1)当>，即a>2时，直线和圆相离；
(2)当＝，即a＝2时，直线和圆相切；
(3)当<，即09．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴＝，③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)，
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
——能力提升类——
10．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
解析：设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C.
答案：C
11．已知直线l：y＝x＋b，曲线C：y＝，它们有两个公共点，则b的取值范围是________．
解析：
方程y＝x＋b表示斜率为1的平行直线系；方程y＝表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示．
当l通过A(－1,0)，B(0,1)时，l与C有两交点，此时b＝1，记为l1；
当l与半圆相切时，此时b＝，切线记为l2；
当l夹在l1与l2之间时，l和C有两个不同的公共点．
因此1≤b<.
答案：[1，)
12．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
13．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.
(1)证明不论a取何实数，曲线C必过定点；
(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．
解：(1)证明：曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.
由解得
点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．
(2)证明：配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，
∵当a≠2时，5(a－2)2>0，
∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是|a－2|的圆．
设圆心坐标为(x，y)，则有
消去a得y＝－x，
故圆心必在直线y＝－x上．
(3)由题意知|a－2|＝|a|，解得a＝.
课时作业28
——基础巩固类——
1．圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为( )
A．外切 B．内切
C．相离 D．内含
解析：方程x2＋y2－6y＋5＝0化为x2＋(y－3)2＝4，所以两圆的圆心为C1(0,0)，C2(0,3)，半径为r1＝1，r2＝2，而
|C1C2|＝3＝r1＋r2.则两圆相外切，故选A.
答案：A
2．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( )
A．2 B．2－2
C．2－4 D．2
解析：两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆相离，所以A、B两点之间的最短距离为2－4，故选C.
答案：C
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线．故选A.
答案：A
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，
设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b＝6，
再由＝5，可以解得a＝±4，
故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.故选D.
答案：D
5．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )
A．2.4米 B．3米
C．3.6米 D．2.0米
解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示坐标系．
由半圆的半径为可知，
半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝10(y≥0)，
由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高．
此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，
得y＝3(负值舍去)．故选B.
答案：B
6．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
7．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
解析：由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
且kAB＝＝－1，即m＝5，
又点在该直线上，
所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.
答案：3
8．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则当m为何值时，
(1)圆C1与圆C2相切；
(2)圆C1与圆C2内含．
解：对于圆C1，圆C2的方程，经配方后有
圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)①若圆C1与圆C2外切，则有
＝3＋2＝5.
即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
②若圆C1与圆C2内切，
则有＝3－2＝1，
即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.
综上所述，当m＝－1或m＝－2或m＝－5或m＝2时，两圆相切．
(2)若圆C1与圆C2内含，则有
<3－2＝1.
即m2＋3m＋2<0，解得－2故当－29．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.
问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
解：
如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，
则A(40,0)，B(0,30)，
圆O方程为x2＋y2＝252，
直线AB方程：＋＝1，
即3x＋4y－120＝0，
设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，则t＝＝(h)．
答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.
——能力提升类——
10．已知M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(0,1]
C．(0,2－] D．(0,2]
解析：因为M∩N＝N，所以两个圆内含或内切，则2－r≥
，得r∈(0,2－]，故选C.
答案：C
11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝±1.
答案：1
12．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根据题意，得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
课时作业29 空间直角坐标系
——基础巩固类——
1．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2,3) D．(－1,2，－3)
解析：关于x轴对称，横坐标不变．
答案：B
2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
解析：关于yOz平面对称，y，z不变．
答案：A
3．如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为( )
A．(2,2,1)
B．(2,2，)
C．(2,2，)
D．(2,2，)
解析：∵EB⊥xOy面，而B(2,2,0)，故设E(2,2，z)，
又因|EB|＝2|EB1|，
所以|BE|＝|BB1|＝，
故E(2,2，)．
答案：D
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B.
C．5 D．2
解析：由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝.
答案：B
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)则|AB|的最小值是( )
A．3 B．3
C．2 D．2
解析：|AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2
＝5a2＋10a＋59＝5(a＋1)2＋54.
∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54.
∴|AB|min＝＝3.
答案：B
6．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝
________.
解析：∵点B的坐标为B(2，－3，－5)，
∴|AB|＝＝10.
答案：10
7．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
解析：设P(0,0，c)，由题意得
＝
解之得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3)．
答案：(0,0,3)
8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．
解：点A在x轴上，且OA＝1，
∴A(1,0,0)．
同理，O(0,0,0)，C(0,2,0)，
O1(0,0,3)．
B在xOy平面内，且OA＝1，OC＝2，
∴B(1,2,0)．
同理，C1(0,2,3)，A1(1,0,3)，B1(1,2,3)．
∴O1B1的中点P的坐标为(，1,3)．
9．(1)已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，
①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
解：(1)①设P(a,0,0)，则由已知得
＝，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，
所以P点坐标为(1,0,0)．
②设M(x,0，z)，则有
＝，
整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.
故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．
(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，则
|MN|＝
＝.
所以当x＝1时，|MN|min＝，此时点M(1,0,0)．
——能力提升类——
10．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
解析：设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝.∴＝.
答案：A
11．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．
解析：设正方体的棱长为a，由|AM|＝＝可知，正方体的体对角线长为a＝2，故a＝＝.
答案：
12．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a(0(1)求MN的长度；
(2)当a为何值时，MN的长度最短？
解：因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．
因为|BC|＝1，|CM|＝a，点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点M(a,0,1－a)．
因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|＝a，所以点N(a，a,0)．
(1)由空间两点间的距离公式，
得|MN|
＝
＝，即MN的长度为.
(2)由(1)，得|MN|＝
＝.当a＝(满足0 