2026届高三数学上学期一轮复习专题：圆锥曲线的方程（含答案）

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2026届高三数学上学期一轮复习专题：圆锥曲线的方程
一、选择题
1．纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
4．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（　　）
A．椭圆的焦距为
B．
C．椭圆的离心率
D．的面积的最大值是
5．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（　　）
A． B． C．5 D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知曲线，下列说法正确的有（　　）
A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
10．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点为抛物线上的点，且满足，过作的垂线，垂足为与交于点，则（　　）
A．直线的斜率为定值 B．
C． D．
11．已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（　　）
A．若且，则
B．若，则最大值为
C．是圆的切线
D．若为线段的中点，则
三、填空题
12．若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则　 　.
13．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是　 　.
14．已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是　 　.
四、解答题
15．已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程．
16．已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的值；
（3）若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围.
17．已知双曲线．
（1）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程；
（2）若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，.
（1）求抛物线的方程.
（2）设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：轴平分.
（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围.
19．已知，分别为椭圆：的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，当时，的面积为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知椭圆E与x轴负半轴交于点M，直线与的斜率之积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）设与的面积分别为，，若，求直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】6
14．【答案】
15．【答案】（1）解：轴，，
又点在曲线上，
，
椭圆E的方程为
（2）解：根据题意画如下图：
①当直线l的斜率不存在时，不符合题意
②设直线l的方程为，，
直线I方程与椭圆方程联立得，
，，得或，
，
直线BA所在的直线方程为：，得
直线CA所在的直线方程为：，得
，
或舍去
直线l的方程为
16．【答案】（1）解：由题意，，抛物线的方程为；
（2）解： 由题意，整理得，设，，
则， ，，
，整理可得，
，解得；
（3）解： 设，，
若，则，易得此时不合题意；
若，由于，关于直线对称，故，可得，
中点的纵坐标为，
将其代入中，可得，
又，化简可得，
，且，
化简可得，要使得上述关于的方程有实根，
当时不合题意，
则，故，或，
即的取值范围为或.
17．【答案】（1）解：设，
因为点在双曲线上，所以，作差可得，
即，
又因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即；
（2）解：假设存在定点，使得，
设，焦点，
因为，所以，
即，化简可得，
又点在双曲线上，所以，
代入上式可得，
整理可得，因为对于恒成立，
所以且，解得，
当时，代入双曲线方程可得，
显然，此时为等腰直角三角形，也成立，
综上，.
18．【答案】（1）解：由题意可知，，，
由已知条件得出直线的斜率恒不为0，
可设：.
联立，
可得，
因为直线与相切于点，
所以，
解得，
则，，
因为，所以，
解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）（i）证明：如图：
（i）由已知条件可得直线的斜率恒不为0，
设直线的方程为，，，
由（1）得，，
联立方程组，可得，
则，，
所以
则轴平分.
（ii）解：由（i）可知直线与直线关于轴对称，
所以点和点关于轴对称，
则，
不妨设，因为点在点与点之间，
所以，，
则，，
则，
令，则，
令，则，解得；
由，则，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）解： 根据，
化简可得，
由于，所以，
故椭圆的方程为
（2）解：，设直线方程为，
，化简可得，
设，如图所示：
，
由题意可得，
，代入可得，
故，
，化简可得，
解得或（舍去），
当时，，此时直线恒过点，且该点位于椭圆内，符合题意.
故直线恒过点，
（ii）设的面积为，由于，则的面积为，
因此的面积为，
故，故，
由于，故，
因此，化简可得，
由于，故，所以，
故直线方程为，即
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