2026届高三数学上学期一轮复习专题：空间向量与立体几何（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026届高三数学上学期一轮复习专题：空间向量与立体几何（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-20 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026届高三数学上学期一轮复习专题：空间向量与立体几何
一、选择题
1．已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．7
2．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
4．已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知二面角的大小为，棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则（ ）
A． B． C． D．4
6．在平行六面体中，，，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
7．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．向量与的夹角是
D．平面
8．如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的正弦值为
10．在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ）
A． B．夹角的余弦值为
C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是
11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．如图，正四面体的长为1，，则 ．
13．在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ．
14．已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则 .
四、解答题
15．已知在三棱锥中，，，，，
（1）证明：平面平面ABC；
（2）求二面角的正弦值．
16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点.
（1）证明：E，F，G，H四点共面；
（2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值；
（3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
19．如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小；
（3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：
取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，
因为为等腰直角三角形，故，故，
在中，，，
在中，，，，，
，，且EO、面ABC，
面ABC，又面BCD，面面
（2）解： 由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面BCD的法向量，
，
设平面ABD的法向量，
，
，
，，
，，
二面角的正弦值为
16．【答案】（1）证明： 因为平面平面，平面平面，，
所以平面，所以；
在中，，，，
所以，
所以，即；
又因为，
所以平面.
（2）解： 由（1）知，平面，，
建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
所以，，
设平面的一个平面法向量，
则，即，所以取；
同理可得，平面的一个法向量；
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）证明：
如图，连接.
∵E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴，∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）解：∵四边形为菱形，，
∴，为等边三角形，.
设菱形的边长为2，则.
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，
∴平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
∴，
故，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
（3）解：设菱形的边长为2，则.
如图，连接.
∵为等边三角形，∴，
∵异面直线，的所成角为，∴，
∵平面，，∴平面，
∵平面，∴，∴.
∵，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角.
∵，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】证明：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，，．
则，，．
设平面的法向量是，则，即
令，则，．于是．
，．
又平面，平面．
（2）设平面的法向量为．则，
即，据此可得平面的一个法向量，
设二面角的平面角大小为，
则，即．
二面角的正弦值为．
（3）假设存在满足题意的点，且：，
设点N的坐标为，据此可得：，
由对应坐标相等可得，
故，由于平面的一个法向量，
由题意可得：
解得：，
据此可得存在满足题意的点，且的值为.
19．【答案】（1）证明：延长交于点Q，连接，如图所示：
因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点，
又因为是圆柱的母线，所以平行且相等，
所以易得相交与点，是的中点，则在中，，
又因因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）解：由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
又因为，所以设，则，
可得点坐标为，，，，
则，
由题意平面在平面内，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则解得，所以，
又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍），
且因为，则，即.
（3）解：因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为）
所以为直角三角形，且，
所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为
所以设点且，又因为点为，所以，
而，所以，
又因为，所以，
且因为，所以，
所以直线AQ与直线所成角的范围为.
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2026届高三数学上学期一轮复习专题：空间向量与立体几何
一、选择题
1．已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．7
2．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
4．已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知二面角的大小为，棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则（ ）
A． B． C． D．4
6．在平行六面体中，，，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
7．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．向量与的夹角是
D．平面
8．如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的正弦值为
10．在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ）
A． B．夹角的余弦值为
C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是
11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．如图，正四面体的长为1，，则 ．
13．在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ．
14．已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则 .
四、解答题
15．已知在三棱锥中，，，，，
（1）证明：平面平面ABC；
（2）求二面角的正弦值．
16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点.
（1）证明：E，F，G，H四点共面；
（2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值；
（3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
19．如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小；
（3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：
取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，
因为为等腰直角三角形，故，故，
在中，，，
在中，，，，，
，，且EO、面ABC，
面ABC，又面BCD，面面
（2）解： 由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面BCD的法向量，
，
设平面ABD的法向量，
，
，
，，
，，
二面角的正弦值为
16．【答案】（1）证明： 因为平面平面，平面平面，，
所以平面，所以；
在中，，，，
所以，
所以，即；
又因为，
所以平面.
（2）解： 由（1）知，平面，，
建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
所以，，
设平面的一个平面法向量，
则，即，所以取；
同理可得，平面的一个法向量；
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）证明：
如图，连接.
∵E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴，∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）解：∵四边形为菱形，，
∴，为等边三角形，.
设菱形的边长为2，则.
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，
∴平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
∴，
故，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
（3）解：设菱形的边长为2，则.
如图，连接.
∵为等边三角形，∴，
∵异面直线，的所成角为，∴，
∵平面，，∴平面，
∵平面，∴，∴.
∵，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角.
∵，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】证明：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，，．
则，，．
设平面的法向量是，则，即
令，则，．于是．
，．
又平面，平面．
（2）设平面的法向量为．则，
即，据此可得平面的一个法向量，
设二面角的平面角大小为，
则，即．
二面角的正弦值为．
（3）假设存在满足题意的点，且：，
设点N的坐标为，据此可得：，
由对应坐标相等可得，
故，由于平面的一个法向量，
由题意可得：
解得：，
据此可得存在满足题意的点，且的值为.
19．【答案】（1）证明：延长交于点Q，连接，如图所示：
因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点，
又因为是圆柱的母线，所以平行且相等，
所以易得相交与点，是的中点，则在中，，
又因因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）解：由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
又因为，所以设，则，
可得点坐标为，，，，
则，
由题意平面在平面内，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则解得，所以，
又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍），
且因为，则，即.
（3）解：因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为）
所以为直角三角形，且，
所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为
所以设点且，又因为点为，所以，
而，所以，
又因为，所以，
且因为，所以，
所以直线AQ与直线所成角的范围为.
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