吉林省长春市榆树市2025-2026学年度九年级上学期开学考试五校联考数学试题
1．（2025九上·榆树开学考）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： A、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
B、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
C、是分式，故此选项正确，符合题意；
D、是多项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用分式的概念，分母中含有字母的式子是分式，再对各选项逐一判断即可.
2．（2025九上·榆树开学考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】选项A：b=0，此时图象为y=x，经过一、三象限，故选项A不符合条件；
选项B：b=1，此时图象为y=x+1，与y轴交于正半轴，满足经过一、二、三象限，故选项B正确；
选项C：b=－1，图象为y=x－1，与y轴交于负半轴，经过一、三、四象限，故选项C不符合条件；
选项D：b=－2，与y轴交于负半轴，经过一、三、四象限，故选项D不符合条件，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合一次函数的性质，图象经过一、二、三象限，结合选项确定.
3．（2025九上·榆树开学考）下列各数中，能使有意义的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若有意义，则x-5≥0，所以x≥5，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
4．（2025九上·榆树开学考）某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】根据题意可知，老师想了解他数学成绩的波动情况，应该关注反映数据的离散程度的统计量：
选项A： 平均数表示数据的平均水平，无法反映波动，故选项A不符合题意；
选项B：中位数表示数据中间位置的数值，属于集中趋势指标，不反映波动，故选项B不符合题意；
选项C： 众数出现次数最多的数，与波动无关，故选项C不符合题意；
选项D： 衡量数据与平均数的偏离程度，方差越大，波动越大，选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】本题考查选择合适的统计量来反映数据的波动情况，老师需要了解成绩的波动，应选择反映数据离散程度的统计量，结合选项进行判断即可.
5．（2025九上·榆树开学考）如图，平行四边形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
以为圆心，的长为半径画弧，交于点，
，
即，
故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质，即可得，，然后再根据题意可得：，由此可得，代入数据即可求解。
6．（2025九上·榆树开学考）点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．5
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵点P(a，b)在函数y=3x-2的图象上，
∴b=3a-2，
∴6a-2b+1=6a-2(3a-2)+1=6a-6a+4+1=0+5=5，
故答案为：D.
【分析】已知点P在函数图象上，可将点坐标代入函数解析式得到关于a和b的关系式，再通过代入或变形代数式求解即可.
7．（2025九上·榆树开学考）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm，∠D'＝30°，则四边形的面积减少了（ ）
A．50cm2 B． C．100cm2 D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵原正方形的边长为10cm，
∴正方形的面积为100cm2，
过点A'作A'E⊥BC于点E，如图
∵∠D'=30°，四边形A'BCD'是平行四边形，
∴∠A'BC=30°，
在Rt△A'BE中，A'B=10cm，
∴A'E=5cm，
∴四边形A'BCD'的面积为50cm2，
∴减少的面积为100-50=50cm2，
故答案为：A.
【分析】首先根据正方形的面积公式求出原正方形的面积，然后过点A'作BC垂线，构建直角三角形，然后得到平行四形的面积，再计算两者的差即可得到结果.
8．（2025九上·榆树开学考）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2），若点P是矩形OABC内部一点，连结PO、PA、PB、PC，则△POC与△PAB的面积的和为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：已知点B的坐标为(3，2)，四边形OABC为矩形，
所以AB=OC=2，BC=OA=3，
故答案为：C
【分析】首先根据点B的坐标可以确定矩形的长和宽，然后过点P作OA的平行线，进而得到两个阴影部分的高，然后计算即可.
9．（2025九上·榆树开学考）一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为mkg，箱子的质量为nkg，则每千克苹果的售价是 元．
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵总质量m千克包含箱子和苹果的总质量，
∴苹果的质量为总质量减去箱子的质量为(m n)kg，
∵一箱苹果售价a元，
∴每千克苹果的售价为：元.
故答案为： .
【分析】首先求出苹果的实际质量，再用总售价除以苹果质量得到单价即可.
10．（2025九上·榆树开学考）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x 1≥0 ，解得：x ≥ 1，
故答案为：x≥1.
【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，需要满足被开方数x 1≥0 ，从而求解x的取值范围即可.
11．（2025九上·榆树开学考）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】<
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点A(-2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∵ 0＜m＜1，
∴，
∵k<0，
∴-k>0，
∴，
故答案为：<.
【分析】首先将A，B两点代入反比例函数中，得到y1与y2的值，然后结合012．（2025九上·榆树开学考）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为P'，若点P的坐标为（1，﹣2），则点P'的坐标为 ．
【答案】（﹣1，﹣2）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 关于y轴对称的点的坐标变换规律为：原点的横坐标取相反数，纵坐标不变 ，
结合题意，点P与点P'关于y轴对称，点P的坐标为(1，-2)，
所以点P'的坐标为：(-1，-2)，
故答案为：(-1，-2).
【分析】 根据对称点的坐标规律，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，只需将点P的横坐标取相反数，纵坐标不变即可得到P'的坐标.
13．（2025九上·榆树开学考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝5，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 5＝ ×6×8，
∴DH＝ ．
故答案为：
【分析】先利用菱形的性质对角线互相垂直且平分求出菱形的边长，再根据S菱形ABCD＝ AC BD＝DH AB，将数据代入计算即可。
14．（2025九上·榆树开学考）如图，点P在函数的图象上，且横坐标为2．将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得点P'．若点P'在函数的图象上，则k的值为 ．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点P在函数的图象上，且横坐标为2．
∴将x=2代入解析式，得，即点P的坐标为，
将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得点P'，
∴点P'的坐标为，
将点P'代入函数，
得到k=6，
故答案为：6.
【分析】首先根据点P的横坐标为2，代入函数 ，得到点P的坐标，然后根据点的平移规律，得到点P'的坐标，接着将其代入，即可得出k的值.
15．（2025九上·榆树开学考）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）x（x﹣5）＝2x﹣10．
【答案】（1）解：原方程移项得：
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
，
解得：，；
（2）解：原方程移项得x（x﹣5）﹣（2x﹣10）＝0，
因式分解得（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得x1＝2，x2＝5．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)通过配方法转化为完全平方形式求解即可；
(2)首先移项后提取公因式，利用因式分解法求解即可.
16．（2025九上·榆树开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式＝﹣1+1+2
＝0+2
＝2；
（2）解：原式＝323
3．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据乘方的法则，零指数幂，负整数指数幂的计算方法进行运算即可；
(2)根据二次根式的运算法则，先化简，后合并同类项即可.
17．（2025九上·榆树开学考）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
【答案】解：原式
；
当a＝﹣2时，
原式2．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式的分母因式分解，然后将分式进行化简，接着代入求值即可.
18．（2025九上·榆树开学考）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．
（1）求h与ρ之间的函数关系式；
（2）当液体密度ρ≥1g/cm3时，直接写出浸在液体中的高度h的取值范围．
【答案】（1）解：设h与ρ之间的函数关系式为h（k为常数，且k≠0），
将坐标（1，20）代入h，
得20，
解得k＝20，
∴h与ρ之间的函数关系式为h．
（2）解：0＜h≤20．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（2）由（1）知h，∴ρ，
∵液体密度ρ≥1g/cm3
即1，
解得h≤20，
又∵h>0，
∴浸在液体中的高度h的取值范围为0＜h≤20．
【分析】（1）设h与 ρ 的函数关系式为，利用图象上的已知点，用待定系数法代入求解k的值即可；
（2）根据反比例函数的增减性，结合的条件和实际问题的意义确定h的取值范围即可.
19．（2025九上·榆树开学考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD；
（2）在图②中以线段AB为边画一个面积为12的菱形ABEF；
（3）在图③中以线段AB为边画一个正方形ABGH．
【答案】（1）解：如图①中，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图②中，四边形ABEF即为所求；
（3）解：如图③中，四边形ABGH即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）以AB为边的平行四边形面积为6，需确定底边AB的长度及对应的高，若AB的长度为，则高需为2，通过平移AB或构造对边找到格点C、D；
(2)菱形ABEF面积为12，需满足四边相等且面积为12，若AB长度为4，则高需为3，或利用对角线乘积为24，构造菱形顶点；
(3) 正方形ABGH需四边相等且邻边垂直，若AB长度为，则邻边需为垂直方向且长度相同，通过网格格点确定G、H位置.
20．（2025九上·榆树开学考）某数学课外小组开展数学“闯关”游戏（游戏一共10关），根据活动结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图．
（1）数学课外小组的总人数为 人，a＝ ，请补充完整条形统计图；
（2）写出闯关结果的众数；
（3）再加入n名同学闯关，已知这n名同学的闯关结果均大于7关，若这n名同学加入后闯关结果的中位数与原闯关结果的中位数相等，则n最多是 名．
【答案】（1）解：20，15，
9关的人数为20×20%＝4（人），补全条形统计图如下：
（2）解：闯关结果数最多的是7关，共6人，
故闯关结果的众数为7关；
（3）5
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）2÷10%＝20（人），
即数学课外小组的总人数为20人，
，
即a＝15，
（3）原闯关成绩分别为：5，5，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，
∴中位数为，
再新加入n名同学闯关后，若中位数仍然为7，需最右侧的7排第13位，
，
解得n＝5，
这时n取最大值为5．
【分析】(1)根据条形图中的关数除以其在扇形图中占的百分比即可得到总人数，然后用8关人数除总人数乘100%，即可得到a的值，接着用总人数乘20%，即可算出9关人数；
(2)观察条形图即可确定闯关最多的人数；
(3)列举出闯关成绩，即可确定中位数，再加入n名同学，中位数均大于7，可列出关于n的方程，进而可以确定n的值.
21．（2025九上·榆树开学考）如图，在 ABCD中，E、F是BD上的两点且BE＝DF，连结AE、CF．求证：∠AED＝∠CFB．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴DF+EF＝BE+EF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠BFC．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先利用平行四边形的对边相等、平行性质，结合已知条件BE=DF，推导出DE=BF，进而通过三角形全等（SAS）证明对应角相等.
22．（2025九上·榆树开学考） 已知：在四边形中，是边的中点，、互相平分并交于点O，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，
∵、互相平分并交于点O，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，，由此可推出，然后利用平行四边形的判定定理可证得结论.
23．（2025九上·榆树开学考）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【答案】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米．
根据题意得：22，
解得 x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
答：引进新设备前工程队每天改造道路30米．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 结合题意，设引进新设备前工程队每天改造道路 x 米，根据总天数等于22天建立分式方程，求解即可.
24．（2025九上·榆树开学考）如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．求证：AB＝CF．
【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DF．
∴∠BAF＝∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE．
在△AEB和△FEC中．
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】首先利用平行四边形的性质，得到对边平行，然后利用平行线的性质，结合中点，可证明三角形全等，然后得到对应边相等.
25．（2025九上·榆树开学考）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点Q（x，y）．给出如下定义：若，则称点Q为点P的伴随点．例如：点（1，2）的伴随点为点（5，0）．
（1）若点P（﹣2，4）的伴随点Q在双曲线上，则k的值为 ．
（2）已知点P（m，n）在直线y＝x+b上，点Q（﹣1，﹣2）是点P的伴随点，求b的值．
（3）若点P（m，n）在直线y＝2x+3上，则点P的伴随点Q也在直线上，求点Q所在直线对应的函数表达式．
（4）已知点A、B的坐标分别为（2，3）、（6，3），连结AB，若点P（m，m）在直线上，直接写出点P的伴随点Q在线段AB上时k的取值范围．
【答案】（1）4
（2）解：∵点Q（﹣1，﹣2）是点P的伴随点，
∴P（﹣5，0），
∵点P（﹣5，0）在直线y＝x+b上，
∴b＝5；
（3）解：∵点P（m，n）在直线y＝2x+3上，
∴n＝2m+3，
由新定义可知Q（m+4，n﹣2），即Q（m+4，2m+1），
设Q所在直线解析式为y＝kx+d，代入点Q（m+4，2m+1）坐标得：
2m+1＝k（m+4）+d，
∴k＝2，4k+d＝1，
∴k＝2，d＝﹣7，
∴Q所在直线解析式为y＝2x﹣7；
（4）解：﹣1≤k≤1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）根据新定义可知点P（﹣2，4）的伴随点Q（2，2），
∵点Q在双曲线上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4；
（4）∵A（2，3）、B（6，3），
∴线段AB解析式为y＝3（2≤x≤6），
由新定义可知Q（m+4，n﹣2），
∵点Q在线段AB上，
∴2≤m+4≤6，n﹣2＝3，
解得﹣2≤m≤2，n＝5，
∵点P（m，m）在直线上，
∴5，
∴m＝2，即m＝2k，
∴﹣2≤2k≤2，
解得﹣1≤k≤1．
【分析】(1)将点P坐标代入解析式，即可求出k的值；
(2)根据伴随点的定义，求出点P的坐标，然后将点P的坐标代入一次函数解析即可求出b的值；
(3)根据点P在直线上，得到m，n之间的关系和点Q的坐标，然后设点Q所在直线的解析式，代入即可得到直线解析式；
(4)根据点A，B的坐标，求出直线AB的解析，然后得到点Q的坐标，然后得到m的范围，接着根据点P在直线 上，得到m与k的关系，进而确定k的值.
1 / 1吉林省长春市榆树市2025-2026学年度九年级上学期开学考试五校联考数学试题
1．（2025九上·榆树开学考）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·榆树开学考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
3．（2025九上·榆树开学考）下列各数中，能使有意义的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（2025九上·榆树开学考）某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（2025九上·榆树开学考）如图，平行四边形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025九上·榆树开学考）点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．5
7．（2025九上·榆树开学考）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm，∠D'＝30°，则四边形的面积减少了（ ）
A．50cm2 B． C．100cm2 D．
8．（2025九上·榆树开学考）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2），若点P是矩形OABC内部一点，连结PO、PA、PB、PC，则△POC与△PAB的面积的和为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定
9．（2025九上·榆树开学考）一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为mkg，箱子的质量为nkg，则每千克苹果的售价是 元．
10．（2025九上·榆树开学考）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（2025九上·榆树开学考）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
12．（2025九上·榆树开学考）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为P'，若点P的坐标为（1，﹣2），则点P'的坐标为 ．
13．（2025九上·榆树开学考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ．
14．（2025九上·榆树开学考）如图，点P在函数的图象上，且横坐标为2．将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得点P'．若点P'在函数的图象上，则k的值为 ．
15．（2025九上·榆树开学考）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）x（x﹣5）＝2x﹣10．
16．（2025九上·榆树开学考）计算：
（1）；
（2）．
17．（2025九上·榆树开学考）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
18．（2025九上·榆树开学考）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．
（1）求h与ρ之间的函数关系式；
（2）当液体密度ρ≥1g/cm3时，直接写出浸在液体中的高度h的取值范围．
19．（2025九上·榆树开学考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD；
（2）在图②中以线段AB为边画一个面积为12的菱形ABEF；
（3）在图③中以线段AB为边画一个正方形ABGH．
20．（2025九上·榆树开学考）某数学课外小组开展数学“闯关”游戏（游戏一共10关），根据活动结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图．
（1）数学课外小组的总人数为 人，a＝ ，请补充完整条形统计图；
（2）写出闯关结果的众数；
（3）再加入n名同学闯关，已知这n名同学的闯关结果均大于7关，若这n名同学加入后闯关结果的中位数与原闯关结果的中位数相等，则n最多是 名．
21．（2025九上·榆树开学考）如图，在 ABCD中，E、F是BD上的两点且BE＝DF，连结AE、CF．求证：∠AED＝∠CFB．
22．（2025九上·榆树开学考） 已知：在四边形中，是边的中点，、互相平分并交于点O，求证：四边形是平行四边形．
23．（2025九上·榆树开学考）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
24．（2025九上·榆树开学考）如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．求证：AB＝CF．
25．（2025九上·榆树开学考）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点Q（x，y）．给出如下定义：若，则称点Q为点P的伴随点．例如：点（1，2）的伴随点为点（5，0）．
（1）若点P（﹣2，4）的伴随点Q在双曲线上，则k的值为 ．
（2）已知点P（m，n）在直线y＝x+b上，点Q（﹣1，﹣2）是点P的伴随点，求b的值．
（3）若点P（m，n）在直线y＝2x+3上，则点P的伴随点Q也在直线上，求点Q所在直线对应的函数表达式．
（4）已知点A、B的坐标分别为（2，3）、（6，3），连结AB，若点P（m，m）在直线上，直接写出点P的伴随点Q在线段AB上时k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： A、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
B、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
C、是分式，故此选项正确，符合题意；
D、是多项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用分式的概念，分母中含有字母的式子是分式，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】选项A：b=0，此时图象为y=x，经过一、三象限，故选项A不符合条件；
选项B：b=1，此时图象为y=x+1，与y轴交于正半轴，满足经过一、二、三象限，故选项B正确；
选项C：b=－1，图象为y=x－1，与y轴交于负半轴，经过一、三、四象限，故选项C不符合条件；
选项D：b=－2，与y轴交于负半轴，经过一、三、四象限，故选项D不符合条件，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合一次函数的性质，图象经过一、二、三象限，结合选项确定.
3．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若有意义，则x-5≥0，所以x≥5，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
4．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】根据题意可知，老师想了解他数学成绩的波动情况，应该关注反映数据的离散程度的统计量：
选项A： 平均数表示数据的平均水平，无法反映波动，故选项A不符合题意；
选项B：中位数表示数据中间位置的数值，属于集中趋势指标，不反映波动，故选项B不符合题意；
选项C： 众数出现次数最多的数，与波动无关，故选项C不符合题意；
选项D： 衡量数据与平均数的偏离程度，方差越大，波动越大，选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】本题考查选择合适的统计量来反映数据的波动情况，老师需要了解成绩的波动，应选择反映数据离散程度的统计量，结合选项进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
以为圆心，的长为半径画弧，交于点，
，
即，
故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质，即可得，，然后再根据题意可得：，由此可得，代入数据即可求解。
6．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵点P(a，b)在函数y=3x-2的图象上，
∴b=3a-2，
∴6a-2b+1=6a-2(3a-2)+1=6a-6a+4+1=0+5=5，
故答案为：D.
【分析】已知点P在函数图象上，可将点坐标代入函数解析式得到关于a和b的关系式，再通过代入或变形代数式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵原正方形的边长为10cm，
∴正方形的面积为100cm2，
过点A'作A'E⊥BC于点E，如图
∵∠D'=30°，四边形A'BCD'是平行四边形，
∴∠A'BC=30°，
在Rt△A'BE中，A'B=10cm，
∴A'E=5cm，
∴四边形A'BCD'的面积为50cm2，
∴减少的面积为100-50=50cm2，
故答案为：A.
【分析】首先根据正方形的面积公式求出原正方形的面积，然后过点A'作BC垂线，构建直角三角形，然后得到平行四形的面积，再计算两者的差即可得到结果.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：已知点B的坐标为(3，2)，四边形OABC为矩形，
所以AB=OC=2，BC=OA=3，
故答案为：C
【分析】首先根据点B的坐标可以确定矩形的长和宽，然后过点P作OA的平行线，进而得到两个阴影部分的高，然后计算即可.
9．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵总质量m千克包含箱子和苹果的总质量，
∴苹果的质量为总质量减去箱子的质量为(m n)kg，
∵一箱苹果售价a元，
∴每千克苹果的售价为：元.
故答案为： .
【分析】首先求出苹果的实际质量，再用总售价除以苹果质量得到单价即可.
10．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x 1≥0 ，解得：x ≥ 1，
故答案为：x≥1.
【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，需要满足被开方数x 1≥0 ，从而求解x的取值范围即可.
11．【答案】<
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点A(-2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∵ 0＜m＜1，
∴，
∵k<0，
∴-k>0，
∴，
故答案为：<.
【分析】首先将A，B两点代入反比例函数中，得到y1与y2的值，然后结合012．【答案】（﹣1，﹣2）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 关于y轴对称的点的坐标变换规律为：原点的横坐标取相反数，纵坐标不变 ，
结合题意，点P与点P'关于y轴对称，点P的坐标为(1，-2)，
所以点P'的坐标为：(-1，-2)，
故答案为：(-1，-2).
【分析】 根据对称点的坐标规律，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，只需将点P的横坐标取相反数，纵坐标不变即可得到P'的坐标.
13．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝5，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 5＝ ×6×8，
∴DH＝ ．
故答案为：
【分析】先利用菱形的性质对角线互相垂直且平分求出菱形的边长，再根据S菱形ABCD＝ AC BD＝DH AB，将数据代入计算即可。
14．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点P在函数的图象上，且横坐标为2．
∴将x=2代入解析式，得，即点P的坐标为，
将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得点P'，
∴点P'的坐标为，
将点P'代入函数，
得到k=6，
故答案为：6.
【分析】首先根据点P的横坐标为2，代入函数 ，得到点P的坐标，然后根据点的平移规律，得到点P'的坐标，接着将其代入，即可得出k的值.
15．【答案】（1）解：原方程移项得：
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
，
解得：，；
（2）解：原方程移项得x（x﹣5）﹣（2x﹣10）＝0，
因式分解得（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得x1＝2，x2＝5．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)通过配方法转化为完全平方形式求解即可；
(2)首先移项后提取公因式，利用因式分解法求解即可.
16．【答案】（1）解：原式＝﹣1+1+2
＝0+2
＝2；
（2）解：原式＝323
3．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据乘方的法则，零指数幂，负整数指数幂的计算方法进行运算即可；
(2)根据二次根式的运算法则，先化简，后合并同类项即可.
17．【答案】解：原式
；
当a＝﹣2时，
原式2．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式的分母因式分解，然后将分式进行化简，接着代入求值即可.
18．【答案】（1）解：设h与ρ之间的函数关系式为h（k为常数，且k≠0），
将坐标（1，20）代入h，
得20，
解得k＝20，
∴h与ρ之间的函数关系式为h．
（2）解：0＜h≤20．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（2）由（1）知h，∴ρ，
∵液体密度ρ≥1g/cm3
即1，
解得h≤20，
又∵h>0，
∴浸在液体中的高度h的取值范围为0＜h≤20．
【分析】（1）设h与 ρ 的函数关系式为，利用图象上的已知点，用待定系数法代入求解k的值即可；
（2）根据反比例函数的增减性，结合的条件和实际问题的意义确定h的取值范围即可.
19．【答案】（1）解：如图①中，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图②中，四边形ABEF即为所求；
（3）解：如图③中，四边形ABGH即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）以AB为边的平行四边形面积为6，需确定底边AB的长度及对应的高，若AB的长度为，则高需为2，通过平移AB或构造对边找到格点C、D；
(2)菱形ABEF面积为12，需满足四边相等且面积为12，若AB长度为4，则高需为3，或利用对角线乘积为24，构造菱形顶点；
(3) 正方形ABGH需四边相等且邻边垂直，若AB长度为，则邻边需为垂直方向且长度相同，通过网格格点确定G、H位置.
20．【答案】（1）解：20，15，
9关的人数为20×20%＝4（人），补全条形统计图如下：
（2）解：闯关结果数最多的是7关，共6人，
故闯关结果的众数为7关；
（3）5
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）2÷10%＝20（人），
即数学课外小组的总人数为20人，
，
即a＝15，
（3）原闯关成绩分别为：5，5，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，
∴中位数为，
再新加入n名同学闯关后，若中位数仍然为7，需最右侧的7排第13位，
，
解得n＝5，
这时n取最大值为5．
【分析】(1)根据条形图中的关数除以其在扇形图中占的百分比即可得到总人数，然后用8关人数除总人数乘100%，即可得到a的值，接着用总人数乘20%，即可算出9关人数；
(2)观察条形图即可确定闯关最多的人数；
(3)列举出闯关成绩，即可确定中位数，再加入n名同学，中位数均大于7，可列出关于n的方程，进而可以确定n的值.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴DF+EF＝BE+EF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠BFC．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先利用平行四边形的对边相等、平行性质，结合已知条件BE=DF，推导出DE=BF，进而通过三角形全等（SAS）证明对应角相等.
22．【答案】证明：连接，
∵、互相平分并交于点O，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，，由此可推出，然后利用平行四边形的判定定理可证得结论.
23．【答案】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米．
根据题意得：22，
解得 x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
答：引进新设备前工程队每天改造道路30米．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 结合题意，设引进新设备前工程队每天改造道路 x 米，根据总天数等于22天建立分式方程，求解即可.
24．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DF．
∴∠BAF＝∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE．
在△AEB和△FEC中．
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】首先利用平行四边形的性质，得到对边平行，然后利用平行线的性质，结合中点，可证明三角形全等，然后得到对应边相等.
25．【答案】（1）4
（2）解：∵点Q（﹣1，﹣2）是点P的伴随点，
∴P（﹣5，0），
∵点P（﹣5，0）在直线y＝x+b上，
∴b＝5；
（3）解：∵点P（m，n）在直线y＝2x+3上，
∴n＝2m+3，
由新定义可知Q（m+4，n﹣2），即Q（m+4，2m+1），
设Q所在直线解析式为y＝kx+d，代入点Q（m+4，2m+1）坐标得：
2m+1＝k（m+4）+d，
∴k＝2，4k+d＝1，
∴k＝2，d＝﹣7，
∴Q所在直线解析式为y＝2x﹣7；
（4）解：﹣1≤k≤1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）根据新定义可知点P（﹣2，4）的伴随点Q（2，2），
∵点Q在双曲线上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4；
（4）∵A（2，3）、B（6，3），
∴线段AB解析式为y＝3（2≤x≤6），
由新定义可知Q（m+4，n﹣2），
∵点Q在线段AB上，
∴2≤m+4≤6，n﹣2＝3，
解得﹣2≤m≤2，n＝5，
∵点P（m，m）在直线上，
∴5，
∴m＝2，即m＝2k，
∴﹣2≤2k≤2，
解得﹣1≤k≤1．
【分析】(1)将点P坐标代入解析式，即可求出k的值；
(2)根据伴随点的定义，求出点P的坐标，然后将点P的坐标代入一次函数解析即可求出b的值；
(3)根据点P在直线上，得到m，n之间的关系和点Q的坐标，然后设点Q所在直线的解析式，代入即可得到直线解析式；
(4)根据点A，B的坐标，求出直线AB的解析，然后得到点Q的坐标，然后得到m的范围，接着根据点P在直线 上，得到m与k的关系，进而确定k的值.
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