11.5 因式分解-课时2 公式法【一课一练】华师大版数学八年级上册（含解析）

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第11章 整式的乘除
11.5 因式分解-课时2 公式法
基础题型训练
知识点1 用公式法分解因式
1.分解因式： ( )
A. B.
C. D.
2.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
3.［2025泰安期末］下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是( )
A. B.
C. D.
4.［2024云南中考］分解因式： ( )
A. B.
C. D.
5.分解因式：
（1）［2024临夏州中考］ ________________；
（2） ___________；
（3） _________________；
（4）［2024呼伦贝尔中考］ __________.
6.阅读下列解题过程，并回答问题.
（1）新趋势·过程性学习下面是小明同学对多项式 的分解过程.
解：原式= 2 + 2+ 第一步 = + 第二步 = ( 1)+ .……………………第三步
①以上解答，第一步的依据是__________________________.
②小明的解答过程是否正确？若错误，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解答过程.
（2）把下列多项式分解因式.
① ；
② .
7.新趋势·过程性学习［2025德阳期末］下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解：设 ,
则原式 .
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
知识点2 用公式法简化运算
8.［2024凉山州中考］已知，且，则 ____.
9.用简便方法计算.
（1） ；
（2） .
能力提升训练
10.由公式 ，得.例如：，由 ,，得可分解为 .利用上述方法可把因式分解为_______________，把 因式分解为
_______________.
11.［2025阜阳期末］观察等式：, ,,,
（1） ______.（写成两个数相乘的形式）
（2）根据上面的规律归纳出一个一般的结论.（用含的等式表示， 为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明该结论正确.
12.［2025新乡期末］分解因式 ，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式，再提取公因式就可以完成因式分解了，具体过程如下： .上述分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法，解答下列问题.
（1）分解因式： .
（2）分解因式： .
（3）的三边，，满足，判断 的形状，并说明理由.
13.教材P52习题变式 运算能力［2025遵义期末］形如 的式子叫做完全平方式.若一个多项式不是完全平方式，常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变.利用该方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决一些求多项式最大值或最小值等问题.
例1：分解因式： .
例1解： .
例2：求多项式 的最小值.
解： ，
， .
当时，有最小值，是 .
（1）按照上述方法，分解因式： .
（2）若多项式的最小值为4，求 的值.
（3）若，求 的最值.
参考答案
1.A 【解析】 ．
2.C
3.B 【解析】 ， ，
.
4.A 【解析】 .
5.（1）<；
（2）<；【解析】
（3）<；【解析】 .
（4）< 【解析】 .
6.（1）①多项式乘多项式的运算法则 ②解:小明的解答过程错误，从第三步开始出错.
正确的解答过程如下：<.
（2）①<.
②<．
7.（1）不彻底.因式分解的最后结果是<. （2）设<,则<.
8.< 【解析】 ， ， .
9.（1）解：
<. （2）<
10.< < 【解析】 , ,
,
,, .
11.（1）<
（2）解：<.
（3）<.
12.（1）解：<. （2）<.
（3）<是等边三角形.理由如下：
<，
<，
<，
<，
<且<，<，
<是等边三角形.
13.（1）解：<.
（2），
<，<.
<.
< 原多项式的最小值为4，
<，<.
（3）<可变形为<，
<，<.
<，<，
<，<，
<的最大值为<.