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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第4章 三角形
4.4 尺规作图（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。
01
理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。
02
通过动手操作，培养几何直观能力和严谨的作图习惯，并感受尺规作图的简洁美与理性美，养成严谨作图、耐心检验的良好习惯。
03
02
新知导入
回顾
问题1：什么是尺规作图？
问题2：怎么用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段？
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图。
已知：线段AB．
求作：线段A′B′，使A′ B′＝AB．
A
B
作法与示范：
(1) 作射线A′C′ ；
A’ C’
(2) 以点A′为圆心，
以AB的长为半径
画弧，
交射线A′ C′于点B′，
B’
A’
A′B′ 就是所求作的线段.
示 范
作 法
小试牛刀：尺规法作一条线段等于已知线段
02
新知导入
作一条线段等于已知线段的一般步骤：
1.画射线：用直尺任意画一条射线AC；
2.截取已知线段长度;
3.保持圆规的开合度不变，将圆规的一个脚落在射线AC的端点A上；
以A为圆心，用圆规画一段弧，使弧与射线AC相交于点B；
4.最终结果：线段AB即为所求。
03
新知探究
思考
已知三条线段，你能用没有刻度的直尺和圆规作三角形吗？
任意两条线段之和大于第三条线段时才能作三角形。
例1 已知三边作三角形.
如图，已知线段.
求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c.
03
新知探究
作法
（1）如图，作线段BC=a；
（2）以点B为圆心，以c为半径画圆弧，再以点C为圆心，以b为半径画圆弧，两弧在BC的一侧相交于点A；
（3）连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形.
03
新知探究
说一说
上述方法作出的三角形是唯一的吗？为什么？
由全等三角形的判定定理（边边边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形.
03
新知探究
作一个角等于已知角.
例2
如图，已知∠AOB.
求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB.
O
B
A
分析：以点 O 为顶点，分别在边 OA，OB 上截取 OC，OD，使 OC = OD，连接 CD，则构成∠COD. 然后作一个与△COD 全等的三角形，则该三角形中与∠AOB 相对应的角，就是所求作的角.
C
D
03
新知探究
D'
C'
B'
O'
A'
(1) 作射线 O'A'；
(3) 以 O' 为圆心，以OC (或 OD) 的长为半径画圆弧，交 O'A' 于点 C'；
(4) 以 C' 为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D'；
(5) 过 D' 作射线 O'B'，则∠A'O'B' 为所求作的角.
O
B
A
C
D
(2) 以 O为圆心，以任意长为半径画圆弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
作法
03
新知探究
议一议
为什么∠A'O'B' 就是所求作的角？与同学交流你的理由.
解：连接CD、C D ，
由作图过程可知：O'C' = OC，O'D' = OD，D'C' = DC，
根据“边边边”可得△D'O'C'≌△DOC，
∴∠D'O'C' = ∠DOC，即∠A'O'B' = ∠AOB.
03
新知探究
已知两边及其夹角作三角形.
例3
如图，已知∠α 和线段 a，c.
求作△ABC，使∠B =∠α，BC = a，BA = c.
03
新知探究
(2) 在射线 BM，BN 上分别截取BC =a，BA=c；
(3) 连接 AC，则△ABC 为所求作的三角形.
(1) 作∠MBN =∠α；
B
N
M
C
A
作法
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
D．作角的平分线
C
04
课堂练习
2.尺规作图的作图工具是（ ）
A．直尺、量角器
B．三角板、量角器
C．没有刻度的直尺和圆规
D．量角器
C
3.尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠P'O'Q'=∠POQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△AOB≌△A'O'B'的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
04
课堂练习
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，∠α=35°，观察尺规作图的痕迹，∠AOB的度数为 ．
70°
04
课堂练习
5.如图是用尺规作一个角等于已知角的作法（节选），对于作射线O'B'的依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短，你认为 同学的说法是正确的（选填“甲”或“乙”）．
甲
04
课堂练习
6.如图，已知线段a和∠α，用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.请用直尺（不带刻度）、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，线段a，b．
求作：△ABC，使∠B=∠α，AB=b，BC=2a．
05
课堂小结
尺规作图
已知三边作三角形
作一个角等于已知角
已知两边及其夹角作三角形.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）.
A．已知三角形的三边
B．已知三角形的两边及夹角
C．已知三角形的两角及夹边
D．已知三角形的两角及一角的对边
A
06
作业布置
2.如图，用尺规作图作出∠BCP=∠ABC，则作图痕迹弧GH是（ ）
A．以点C为圆心，以BE长为半径的弧
B．以点C为圆心，以DE长为半径的弧
C．以点F为圆心，以DE长为半径的弧
D．以点F为圆心，以BE长为半径的弧
C
06
作业布置
3.如图，已知∠AOB，用尺规以OB为一边在∠AOB的外部作∠COB=
∠AOB．对于弧PQ，下列说法正确的是（ ）
A．以点M为圆心，OM的长为半径
B．以点N为圆心，MN的长为半径
C．以点O为圆心，OM的长为半径
D．以点N为圆心，ON的长为半径
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4. 已知△中，．
（1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图：
06
作业布置
【综合拓展类作业】
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，；
②以为圆心，的长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点．
④做射线；
请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）.
①SSS ②SAS
③AAS ④ASA
①
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长．
（2）解：∵，
∴
又∵
∴
∴
即
06
作业布置
（2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长．
根据的面积不变可得
又∵，，
∴，
∴．
07
板书设计
已知三边作三角形：
作一个角等于已知角：
已知两边及其夹角作三角形：
4.4 尺规作图（1）
习题讲解书写部分
Thanks!
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第4章 三角形
4.4 尺规作图（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。
2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。
3.通过动手操作，培养几何直观能力和严谨的作图习惯，并感受尺规作图的简洁美与理性美，养成严谨作图、耐心检验的良好习惯。
学习重点：
掌握已知三边作三角形、作一个角等于已知角、已知两边及其夹角作三角形的规范步骤及其正确性依据（SSS、SAS）。
学习难点：
理解作图步骤与三角形全等条件之间的内在逻辑，用精确的几何语言描述并证明作图的正确性。
学习过程
一、复习回顾
问题1：什么是尺规作图？
问题2：怎么用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段？
小试牛刀：尺规法作一条线段等于已知线段
已知：线段AB．
求作：线段A′B′，使A′ B′＝AB．
________________AB
二、新知探究
探究一：已知三边作三角形
教材第124页
【思考】已知三条线段，你能用没有刻度的直尺和圆规作三角形吗？
例1 已知三边作三角形.
如图，已知线段.
求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c.
【说一说】上述方法作出的三角形是唯一的吗？为什么？
三、例题探究
探究二：作一个角等于已知角
例2作一个角等于已知角.
如图，已知∠AOB.
求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB.
【议一议】
为什么∠A'O'B' 就是所求作的角？与同学交流你的理由.
探究三：已知两边及其夹角作三角形.
例3已知两边及其夹角作三角形.
如图，已知∠α 和线段 a，c.
求作△ABC，使∠B =∠α，BC = a，BA = c.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
2.尺规作图的作图工具是（ ）
A．直尺、量角器 B．三角板、量角器
C．没有刻度的直尺和圆规 D．量角器
3.尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ．
5.如图是用尺规作一个角等于已知角的作法（节选），对于作射线O'B'的依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短，你认为 同学的说法是正确的（选填“甲”或“乙”）．
6.如图，已知线段a和∠α，用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
【综合拓展类作业】
7.请用直尺（不带刻度）、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，线段．
求作：，使．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在作图过程中须注意什么
六、作业布置
1.如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）.
A．已知三角形的三边
B．已知三角形的两边及夹角
C．已知三角形的两角及夹边
D．已知三角形的两角及一角的对边
2.如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（ ）
A．以点C为圆心，以长为半径的弧
B．以点C为圆心，以长为半径的弧
C．以点F为圆心，以长为半径的弧
D．以点F为圆心，以长为半径的弧
3.如图，已知，用尺规以为一边在的外部作．对于弧，下列说法正确的是（ ）
A．以点M为圆心，的长为半径 B．以点N为圆心，的长为半径
C．以点O为圆心，的长为半径 D．以点N为圆心，的长为半径
4. 已知△中，．
（1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，；
②以为圆心，的长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点．
④做射线；
请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）.
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
（2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C
选C．
2.【答案】C
【解析】解： 尺规作图的作图工具是没有刻度的直尺和圆规.
故答案为：C.
3.【答案】A
【解析】解：由尺规作图可知：、，
∴
∴．
故答案为：A．
4.【答案】70°．
【解析】解：根据题意，得，
∵，
∴，
故答案为：70°．
5.【答案】甲．
【解析】解：作射线的依据是两点确定一条直线．
故答案为：甲．
6.【答案】【解析】解：如图，
7.【答案】解：如图：
先作出∠MBN=，再在射线M上取一点A，使得AB=b，在射线BN上取一点C，使得BC=2a，再连接AC即可.
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：根据作图痕迹，
由三条弧线，可知已知三角形的三边的长
故答案为：A
2.【答案】C
【解析】解：作图痕迹弧是以点F为圆心，以为半径的弧．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：弧是以N点为圆心，为半径所画的弧．
故答案为：B．
4．【答案】（1）①
（2）解：∵，
∴
又∵
∴
∴
即
根据的面积不变可得
又∵，，
∴，
∴．
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分课时教学设计
第一课时《4.4 尺规作图》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《尺规作图》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第四节第一课时的内容。本节课主要学习三种基本尺规作图方法：已知三边作三角形、作一个角等于已知角、已知两边及其夹角作三角形。这些内容是几何作图的基础，既是对学生逻辑思维和动手能力的培养，也为后续学习全等三角形、相似三角形等知识奠定基础。教材通过清晰的步骤和图示，引导学生掌握尺规作图的基本原理和规范操作，同时渗透几何证明的思想，帮助学生理解作图的合理性。
学习者分析 学生在之前的学习中已经接触过线段、角的基本概念，并具备使用直尺和圆规的初步经验。但由于尺规作图对操作的精确性和逻辑性要求较高，部分学生可能在作图步骤的规范性、作图的合理性分析上存在困难。此外，如何将几何语言转化为实际操作，以及理解“为什么这样作可行”也是学生可能遇到的难点。因此，教学中需结合直观演示和逐步引导，帮助学生建立空间观念，强化逻辑推理能力。
教学目标 1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。 3.通过动手操作，培养几何直观能力和严谨的作图习惯，并感受尺规作图的简洁美与理性美，养成严谨作图、耐心检验的良好习惯。
教学重点 掌握已知三边作三角形、作一个角等于已知角、已知两边及其夹角作三角形的规范步骤及其正确性依据（SSS、SAS）。
教学难点 理解作图步骤与三角形全等条件之间的内在逻辑，用精确的几何语言描述并证明作图的正确性。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 问题1：什么是尺规作图？ 问题2：怎么用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段？ 教师讲授：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图。 作一条线段等于已知线段的一般步骤： 1.画射线：用直尺任意画一条射线AC； 2.截取已知线段长度； 3.保持圆规的开合度不变，将圆规的一个脚落在射线AC的端点A上； 以A为圆心，用圆规画一段弧，使弧与射线AC相交于点B； 4.最终结果：线段AB即为所求。学生活动1： 认真回顾，举手回答问题 认真听讲，回顾旧知活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 探究一：已知三边作三角形 【思考】已知三条线段，你能用没有刻度的直尺和圆规作三角形吗？ 问题1：根据已知条件可先作出三角形的哪部分？ 问题2：作好一边后，怎样作出三角形的另外两边？ 问题3：已知三条线段一定能作出三角形吗？ 教师讲授：任意两条线段之和大于第三条线段时才能作三角形。 例1 已知三边作三角形. 如图，已知线段. 求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c. 作法 （1）如图，作线段BC=a； （2）以点B为圆心，以c为半径画圆弧，再以点C为圆心，以b为半径画圆弧，两弧在BC的一侧相交于点A； （3）连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形. 【说一说】上述方法作出的三角形是唯一的吗？为什么？ 教师讲授：由全等三角形的判定定理（边边边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形.学生活动2： 认真思考 了解限制条件 独立完成习题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：合作探究教师活动3： 探究二：作一个角等于已知角 例2作一个角等于已知角. 如图，已知∠AOB. 求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB. 教师讲授：以点 O 为顶点，分别在边 OA，OB 上截取 OC，OD，使 OC = OD，连接 CD，则构成∠COD. 然后作一个与△COD 全等的三角形，则该三角形中与∠AOB 相对应的角，就是所求作的角. 作法 （1）如图，作射线O'A'； （2）如图，以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，交OA于点C，交OB于点D； （3）如图，以点O'为圆心，以OC（或OD）的长为半径画圆弧，交O'A'于点C'； （4）以点C'为圆心，以CD的长为半径画圆弧，交前弧于点D'； （5）过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'为所求作的角. 【议一议】为什么∠A'O'B' 就是所求作的角？与同学交流你的理由. 解：连接CD、CD， 由作图过程可知：O'C' = OC，O'D' = OD，D'C' = DC， 根据“边边边”可得△D'O'C'≌△DOC， ∴∠D'O'C' = ∠DOC，即∠A'O'B' = ∠AOB. 探究三：已知两边及其夹角作三角形. 例3已知两边及其夹角作三角形. 如图，已知∠α 和线段 a，c. 求作△ABC，使∠B =∠α，BC = a，BA = c. 作法：(1) 作∠MBN =∠α； (2) 在射线 BM，BN 上分别截取BC = a，BA = c； (3) 连接 AC，则△ABC 为所求作的三角形. 学生活动3： 认真思考，探究作一个角等于已知角 认真听讲 学生认真思考，动手画图 认真听讲 认真思考，合作交流 认真听讲 认真观察 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节四：课堂总结教师活动4： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线 2.尺规作图的作图工具是（ ） A．直尺、量角器 B．三角板、量角器 C．没有刻度的直尺和圆规 D．量角器 3.尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 5.如图是用尺规作一个角等于已知角的作法（节选），对于作射线O'B'的依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短，你认为 同学的说法是正确的（选填“甲”或“乙”）． 6.如图，已知线段a和∠α，用直尺和圆规作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α． 【综合拓展类作业】 7.请用直尺（不带刻度）、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：，线段． 求作：，使．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）. A．已知三角形的三边 B．已知三角形的两边及夹角 C．已知三角形的两角及夹边 D．已知三角形的两角及一角的对边 2.如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（ ） A．以点C为圆心，以长为半径的弧 B．以点C为圆心，以长为半径的弧 C．以点F为圆心，以长为半径的弧 D．以点F为圆心，以长为半径的弧 3.如图，已知，用尺规以为一边在的外部作．对于弧，下列说法正确的是（ ） A．以点M为圆心，的长为半径 B．以点N为圆心，的长为半径 C．以点O为圆心，的长为半径 D．以点N为圆心，的长为半径 【综合拓展类作业】 4. 已知△中，． （1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点． ④做射线； 请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）. ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA （2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长．
教学反思 本节课通过学生动手实践和教师示范相结合的方式展开，大部分学生能掌握基本作图步骤，但在“作一个角等于已知角”时，部分学生对“圆弧半径必须一致”的理解不够深刻，导致作图偏差。今后教学中可增加对比错误案例的环节，强化细节要求。此外，对于作图原理的讲解可结合全等三角形的判定进行更深入的引导，帮助学生建立知识与方法之间的联系。整体上，需进一步平衡操作训练与思维培养，确保学生既会画，又懂理。
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