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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
第二课时《4.4 尺规作图》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《尺规作图》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第四节第二课时的内容。本节课是在学生掌握基本尺规作图方法后的进一步拓展，主要内容包括已知两角及其夹边作三角形和过直线外一点作这条直线的平行线。这两类作图不仅是几何作图的典型问题，也是全等三角形和平行线性质的重要应用。教材通过清晰的步骤和逻辑推理，帮助学生理解作图的数学依据，如ASA全等判定和平行线的判定方法（同位角相等），从而提升学生的几何思维能力和严谨的作图习惯。
学习者分析 学生在上一课时已学习了“已知三边的三角形”、“一个角等于已知角”、“已知两边及其夹角的三角形”，具备一定的尺规作图基础。但对于“已知两角及其夹边作三角形”，部分学生可能对如何确定第三个角的顶点存在困惑；而在作平行线时，如何保证所作角度的精确性（如确保同位角相等）可能成为操作难点。此外，部分学生容易忽略作图痕迹的保留，影响后续几何证明。因此，教学中需强化步骤规范性，并通过动态演示或小组互评提升学生的理解与操作能力。
教学目标 1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。 3.通过动手操作，培养几何直观能力和严谨的作图习惯，并感受尺规作图的简洁美与理性美，养成严谨作图、耐心检验的良好习惯。
教学重点 掌握已知两角及其夹边作三角形、过直线外一点作已知直线平行线的规范步骤及其几何依据。
教学难点 用尺规精确复制角并确保顶点、边对应无误；理解“作平行线”本质上是“构造一个与已知角相等的同位角”。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 问题1：上节课我们学习了哪些基本的尺规作图？ 问题2：它们的依据是什么？ 问题3：除了边边边和边角边，我们还学过哪些三角形全等的判定定理？ 教师讲授： 除了边边边和边角边，我们还学习了角边角和角角边。学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 探究一：已知两角及其夹边作三角形 例4已知两角及其夹边作三角形. 如图，已知∠α，∠β 和线段 a . 求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC= a. 教师提问：我们已经有了BC= a，也有了两个角的顶点位置，我们的关键是如何确定第三个顶点，应该如何确定呢？ 作法：(1)作线段BC=a； (2)在BC的同侧，分别作∠DBC=∠α，∠ECB=∠β，BD与CE相交于点A. 则△ABC为所求作的三角形. 【议一议】上述例4中作出的△ABC唯一吗？试说明理由. 教师讲授：由全等三角形的判定定理（角边角)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形. 【做一做】(1)如图，已知∠α，∠β 和线段 a.求作△ABC，使∠ABC =∠a，∠ACB =∠β，AB = a. (2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？ 作法： (1)作线段BA=a； (2)在BF的同侧，作∠DBF=∠α，∠EAF=∠α+∠β,射线BD与AE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形. 教师讲授：能完全重合. 理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边. 在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等. 所以△ABC 是唯一的.学生活动2： 认真审题 认真思考 认真思考 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真听讲活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：例题精讲教师活动3： 探究二：过直线外一点作直线的平行线 例5过直线外一点作这条直线的平行线.如图，已知直线AB，点P不在AB上.求作过点P且与直线AB平行的直线. 分析：受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点 P 画一条直线与直线 AB 相交，构造出∠α，再以点 P 为顶点作∠α 的同位角，使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”. 可知：在点 P 处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线. 作法： （1）如图，过点 P 作直线 EF，与直线AB相交于点M； （2）以点 M 为圆心，以小于 MP的长度为半径画圆弧，交 MB于点 G，交MF于点H； （3）以点P为圆心，以MG（或MH）的长为半径画圆弧，交PF于点C； （4）以点C为圆心，以HG的长为半径画圆弧，与前弧交于点D； （5）连接PD，则直线PD为所求作的平行线.学生活动3： 学生认真思考，合作交流 认真听讲 学生动手操作 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（ ） A．已知两角及夹边 B．已知三边 C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角 2.课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知，请利用尺规作．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（ ） A．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误 C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误 3.利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知两边及其中一边的对角 B．已知三边 C．已知两边及其夹角 D．已知两角及其夹边 4.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：、，线段．求作：，使，，． 5.如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，． 【综合拓展类作业】 6.如图，已知，，延长至点D． （1）过点C作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A． B． C． D． 2.如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（ ） A．作的依据为ASA B．弧是以长为半径画的 C．弧是以点为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 3.如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【综合拓展类作业】 4.如图， 是 边上一点， 按下列要求作图， 并回答问题：
（1） 过点 画直线 ，垂足为 ； （2） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （3） 过点 画直线 ， 交 于点 ； （4） 过点 画直线 ， 猜想 与 有什么位置关系？
教学反思 本节课通过任务驱动和示范讲解，学生能基本完成两类作图，但在“作平行线”环节，部分学生因圆规使用不当导致角度偏移，需加强“作等角”的专项练习。对于“已知两角及夹边作三角形”，少数学生未意识到第三个角可间接确定，需结合三角形内角和定理强化理解。后续教学中可引入几何画板动态演示，直观展示作图原理，同时设计分层练习，兼顾不同能力学生的需求。总体而言，需进一步将操作技能与几何证明相结合，提升学生的综合应用能力。
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第4章 三角形
4.4 尺规作图（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。
2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。
3.通过动手操作，培养几何直观能力和严谨的作图习惯，并感受尺规作图的简洁美与理性美，养成严谨作图、耐心检验的良好习惯。
学习重点：
掌握已知两角及其夹边作三角形、过直线外一点作已知直线平行线的规范步骤及其几何依据。
学习难点：
用尺规精确复制角并确保顶点、边对应无误，理解“作平行线”本质上是“构造一个与已知角相等的同位角”。
学习过程
一、复习回顾
问题1：上节课我们学习了哪些基本的尺规作图？
问题2：它们的依据是什么？
问题3：除了边边边和边角边，我们还学过哪些三角形全等的判定定理？
二、探究新知
探究一：已知两角及其夹边作三角形
教材第126页
例4已知两角及其夹边作三角形.
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
【议一议】上述例4中作出的△ABC唯一吗？试说明理由.
【做一做】(1)如图，已知∠α，∠β 和线段 a.求作△ABC，使∠ABC =∠a，∠ACB =∠β，AB = a.
(2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？
三、例题精讲
探究二：过直线外一点作直线的平行线
例5过直线外一点作这条直线的平行线.如图，已知直线AB，点P不在AB上.求作过点P且与直线AB平行的直线.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（ ）
A．已知两角及夹边 B．已知三边
C．已知两边及夹角 D．已知两边及一边夹角
2.课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知，请利用尺规作．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误
3.利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其中一边的对角 B．已知三边
C．已知两边及其夹角 D．已知两角及其夹边
4.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：、，线段．求作：，使，，．
5.如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，．
6.如图，已知，，延长至点D．
（1）过点C作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求的度数．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在作图过程中须注意什么？
六、作业布置
1.根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为ASA
B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点为圆心，为半径画的
D．弧是以长为半径画的
3.如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）
4.如图， 是 边上一点， 按下列要求作图， 并回答问题：
（1） 过点 画直线 ，垂足为 ；
（2） 过点 画直线 ， 交 于点 ；
（3） 过点 画直线 ， 交 于点 ；
（4） 过点 画直线 ， 猜想 与 有什么位置关系？
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】由图象可得：已知线段AB，∠CAB=∠，∠CBA=∠，
故答案为：A，
2.【答案】A
【解析】解：由作图痕迹知甲过点P作与∠PAB相等的角，有∠CPA=135°；
而乙画了菱形，由菱形的性质知∠CPA=180°-∠PAB=180°-45°=135°
故甲、乙均正确.
故答案为：A.
3.【答案】A
【解析】解：由题意得已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，
故答案为：A
4.【答案】解：如图，△ABC即为所作；
5.【答案】解：如图，即为所求作的三角形；
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴即为所求作的三角形．
6.【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，，，∴，
∴．
答：的度数为105度.
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：A、根据AB=3，BC=4，∠C=50°，不能画出唯一三角形，故此选项不符合题意；
B、根据AB=4，BC=3，∠A=30°，不能画出唯一三角形，故此选项不符合题意；
C、根据AB=6，BC=4，∠C=90°，不能画出唯一三角形，故此选项不符合题意；
D、根据∠A=60°，∠B=45°，AB=4，能画出唯一三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
2.【答案】A
【解析】解：根据作图可得：
作△ABC的依据为ASA，A正确；
弧EF是以B为圆心，BF长为半径画的，B错误；
弧MN是以B为圆心，a为半径画的，C错误；
弧GH是以Q为圆心，QP长为半径画的，D错误.
故答案为：A
3.【答案】解：如图，即为所求．
4．【答案】解：如图，（1）PG即为所求，
（2）PD即为所求，
（3）PE即为所求，
（4）∵PE//AB，CF//AB
∴PE//CF
故答案为PE//CF.
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第4章 三角形
4.4 尺规作图（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。
01
理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。
02
通过动手操作，培养几何直观能力和严谨的作图习惯，并感受尺规作图的简洁美与理性美，养成严谨作图、耐心检验的良好习惯。
03
02
新知导入
问题1：上节课我们学习了哪些基本的尺规作图？
问题2：它们的依据是什么？
尺规作图
已知三边作三角形
作一个角等于已知角
已知两边及其夹角作三角形
边边边
边边边
边角边
02
新知导入
问题3：除了边边边和边角边，我们还学过哪些三角形全等的判定定理？
角边角和角角边
03
新知探究
例4
已知两角及其夹边作三角形.
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
03
新知探究
A
(1) 作线段 BC = a；
α
β
E
D
C
B
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 BC 的同侧，分别作∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A.
作法
03
新知探究
议一议
上述例4中作出的△ABC唯一吗？试说明理由.
由全等三角形的判定定理（角边角)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形.
03
新知探究
做一做
(1)如图，已知∠α，∠β 和线段 a.求作△ABC，使∠ABC =∠a，∠ACB =∠β，AB = a.
(2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？
03
新知探究
(1) 作线段 BA=a；
(2) 在BF的同侧，作∠DBF=∠α，∠EAF=∠α+∠β,射线BD与AE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形.
作法
03
新知探究
做一做
(2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？
理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边.
在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等.
所以△ABC 是唯一的.
能完全重合.
03
新知探究
过直线外一点作这条直线的平行线.如图，已知直线AB，点P不在AB上.求作过点P且与直线AB平行的直线.
例5
分析：受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点 P 画一条直线与直线 AB 相交，构造出∠α，再以点 P 为顶点作∠α 的同位角，使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”.
可知：在点 P 处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线.
03
新知探究
（1） 如图，过点 P 作直线 EF，与直线AB相交于点M；
（2） 以点 M 为圆心，以小于 MP的长度为半径画圆弧，交 MB于点 G，交MF于点H；
（3） 以点P为圆心，以MG（或MH）的长为半径画圆弧，交PF于点C；
（4） 以点C为圆心，以HG的长为半径画圆弧，与前弧交于点D；
（5） 连接PD，则直线PD为所求作的平行线.
作法
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件为（ ）
A．已知两角及夹边
B．已知三边
C．已知两边及夹角
D．已知两边及一边夹角
A
04
课堂练习
2.课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知∠PAB=45°，请利用尺规作∠CPA=135°．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误
A
04
课堂练习
3.利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其中一边的对角
B．已知三边
C．已知两边及其夹角
D．已知两角及其夹边
A
04
课堂练习
4.尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：∠α、∠β，线段a．求作：△ABC，使∠ABC=∠α，∠BAC=∠β，AB=a．
04
课堂练习
5.如图，已知△ABC，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作△DEF，使AB=DE，∠A=∠E，∠C=∠F．
解：如图，△DEF即为所求作的三角形；
理由如下：
∵∠B=∠EDF，∠A=∠E，
∴∠C=∠DFE，
∵AB=DE，
∴△DEF即为所求作的三角形．
04
课堂练习
6.如图，已知∠A=60°，∠B=45°，延长BC至点D．
（1）过点C作CE//AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求∠ACD的度数．
（2）解：∵CE//AB，∠A=60°，∠B=45°，
∴∠ACE=∠A=60°，∠DCE=∠B=45°，
∴∠ACD=∠ACE+∠DCE=105°．
答：∠ACD的度数为105度.
05
课堂小结
尺规作图
已知两角及其夹边作三角形
作一个角等于已知角
过直线外一点作直线的平行线
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，∠C=50°
B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠C=90°，AB=6
D．∠A=60°，∠B=45°，AB=4
D
06
作业布置
2.如图（1）所示，已知线段a，∠1，求作△ABC，使BC=a，∠ABC=∠BCA=∠1，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（ ）
A
A．作△ABC的依据为ASA
B．弧EF是以AC长为半径画的
C．弧MN是以点A为圆心，a为半径画的
D．弧GH是以CP长为半径画的
06
作业布置
3.如图，已知△ABC，请用尺规作△DEF，使∠DEF=∠B，∠DFE=∠C，EF=BC．（不写作法，保留作图痕迹）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图， P 是 BC 边上一点， 按下列要求作图， 并回答问题：
（1） 过点 P 画直线 PG⊥AB，垂足为 G；
（2） 过点 P 画直线 PD//AC， 交 AB 于点 D；
（3） 过点 P 画直线 PE//AB， 交 AC 于点 E；
（4） 过点 C 画直线 CF//AB， 猜想 PE 与 CF 有什么位置关系？
（4）解∵PE//AB，CF//AB
∴PE//CF
故答案为PE//CF.
07
板书设计
已知两角及其夹边作三角形：
过直线外一点作这条直线的平行线：
4.4 尺规作图（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
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