中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第4章 三角形
4.3.5 全等三角形的应用
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。
2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。
3.通过观察、分析、操作等活动，经历“实际问题—几何建模—问题解决”的过程，培养数学建模能力和逻辑推理能力。
学习重点：
全等三角形模型的抽象与应用，包括从实际问题中识别全等关系、选择合适的判定定理、运用性质解决问题。
学习难点：
在复杂情境中灵活构建全等三角形模型，尤其是隐含全等关系的挖掘。
学习过程
一、复习回顾
回顾：全等三角形具有哪些性质？全等三角形的判定定理有哪些？
二、探究新知
探究：全等三角形的应用
教材第116页
【思考】如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到 C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么
问题1：CD的长就是河的宽度表明了什么样的等量关系？
问题2：怎么证明两条边相等？
解题过程：
三、例题探究
例8小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？
例9在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示. 已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块．你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？（ ）
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
2.如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ）
A． B． C． D．OA
3.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分线的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
选做题
4.如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小红从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是 ．
5.某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是 米．
6.用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为24cm，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm．
【综合拓展类作业】
7.小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．
（1）求证：；
（2）若，，求池塘的长度．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.如图所示，小刚站在河边的点A处，在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步.如果小刚一步大约50 cm，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为( )
A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m
2.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
4.王强同学用10块高度都是2的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：由图可知，带第4块去，符合“ASA”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：D．
2.【答案】A
【解析】解：∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴若求的长，只需测量下列线段中的．
故答案为：A．
3.【答案】D
【解析】解：∵AB＝AD，BC＝DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，即∠QAE=∠PAE .
故答案为：D.
4.【答案】76.
【解析】解：如图，连接AC、BD，
由题意可得点O是AB于CD的中点，BD=28cm，
∴AO=BO，CO=DO，
在△AOC与△BOD中，
∵AO=BO，∠BOD=∠AOC，CO=DO，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AC=BD=28cm，
∴小明离地面的高度是 48+28=76(cm)，
故答案为：76.
5.【答案】．
【解析】解：，，
，
在和中，
，
，
（米），
故答案为：10.2．
6.【答案】．
【解析】解：∵，
∴FB+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)
∴AB+BC+AC =DE+EF+FD=24，
∴ 制成整个金属框架所需这种材料的长度
故答案为：45.
7.【答案】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴池塘的长为．
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得∠A=∠D=90°，AC=CD=30步，
∴DE=140-60=80步，
∵ 一步大约50cm，
∴DE=80×50=4000cm=40m，
在△ABC与△DEC中，
∵∠A=∠D=90°，AC=DC，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB=DE=40m，即小刚在点A处时他与电线塔的距离为40m.
故答案为：A.
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
3.【答案】A
【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=30（cm），
即两堵木墙之间的距离为30cm；
故答案为：A.
4．【答案】（1）证明：由题意可得，，，，∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由题意可得（），（），∵，
∴，，
∴（），
答：两堵木墙之间的距离为20．
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第4章 三角形
4.3.5 全等三角形的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。
01
能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。
02
通过观察、分析、操作等活动，经历“实际问题—几何建模—问题解决”的过程，培养数学建模能力和逻辑推理能力。
03
02
新知导入
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
回顾
全等三角形具有哪些性质？全等三角形的判定定理有哪些？
全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
02
新知导入
回顾
全等三角形具有哪些性质？全等三角形的判定定理有哪些？
全等三角形的判定定理（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。
03
新知探究
如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到 C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B 恰好在一条直线上. 于是小楠说：“CD 的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么
问题1：CD的长就是河的宽度表明了什么样的等量关系？
CD=AB
问题2：怎么证明两条边相等？
全等三角形的性质
03
新知探究
如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到 C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B 恰好在一条直线上. 于是小楠说：“CD 的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么
问题3：证明哪两个三角形全等可证得CD=AB？
△AEB≌△CED
问题4：你能完成这道习题吗？
03
新知探究
解：∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴∠A=∠C=90°.
∵E是AC的中点,
∴AE=EC.
如图，在△AEB 和△CED 中，
∴
∴△AEB≌△CED (角边角),从而AB = CD.
即CD的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对.
03
新知探究
小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是
例8
尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？
问题1：要求的内径是图中哪条线段(可作辅助线)？
CD（连接CD）
问题2：题目表明只要量出AB的长就可以知道玻璃瓶的内径是多少实际需要我们验证哪个等量关系？
03
新知探究
解：如图，连接AB，CD，
由题意可知，OA=OB=OC=OD.
在△AOB和△COD中，
，
所以△AOB≌△COD（边角边），
从而AB = CD，
即AB的长等于玻璃瓶的内径.
03
新知探究
在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中A灯恰好照到
例9
B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示. 已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么
03
新知探究
问题1： AB与水平线的夹角是哪个角？为什么？
∠BAE，从A点出发，水平线是AE,所以夹角是∠BAE
问题2： BC与水平线的夹角是哪个角？
问题3： 点B不在水平线AE上，如何定义这个夹角？
03
新知探究
解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F，则∠CFB =∠AFB = 90°.
又∠CFB =∠CAE = 90°，
所以 FB//AE，
从而∠ABF =∠BAE.
因为两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，
所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF =∠ABF.
03
新知探究
在△CBF 和△ABF 中，
所以△CBF≌△ABF（角边角），
从而 CF = AF.
又 FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE//FB，
所以 AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段，
故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB.
因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块．你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？（ ）
A．第1块
B．第2块
C．第3块
D．第4块
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，把两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求AB的长，只需测量下列线段中的（ ）
A．A'B'
B．OA'
C．OB'
D．OA
A
04
课堂练习
3.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此
D
角平分线的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是48cm，当小红从水平位置CD下降28cm时，这时小明离地面的高度是 cm．
76
04
课堂练习
5.某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线DM，小明在射线DM上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出DE=10.2米，则AB的长是 米．
10.2
04
课堂练习
6.用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中△ABC的周长为24cm，CF=3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm．
45
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB//DE，∠A=∠D，测得AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE=120m，BF=38m，求池塘FC的长度．
04
课堂练习
（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
04
课堂练习
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴池塘的长为．
05
课堂小结
一、分析图形与已知条件
1.先观察图形，明确题目中给出的边、角的位置关系（如垂直、平行等），标记出已知的相等边、相等角。
2.梳理题目中的隐含条件（如对顶角相等、公共边/公共角相等）。
二、确定目标
明确题目需要证明的结论（如某两边相等、某两角相等），并将结论转化为“证明对应三角形全等”的目标（因为全等三角形的对应边/角相等）。
05
课堂小结
三、寻找全等条件
1.根据全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），从已知条件和隐含条件中，筛选出能证明目标三角形全等的3个条件。
2.若条件不足，可通过“等边对等角”“等角对等边”“平行线的性质”等推导所需的边或角。
四、证明三角形全等
写出完整的全等证明过程（注明所用的判定定理）。
五、推导结论
利用“全等三角形的对应边相等”“对应角相等”，得出题目要求的结论。
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图所示，小刚站在河边的点A处，在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30
A
步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步.如果小刚一步大约50 cm，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为( )
A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m
06
作业布置
2.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面1.5m高的C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m，∠BOC=90°，妈妈在B处接住小丽时，
B
小丽距离地面的高度是（ ）
A．1m
B．1.1m
C．1.2m
D．1.3m
06
作业布置
3.如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC，∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm
B．27cm
C．24cm
D．21cm
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
06
作业布置
（1）证明：由题意可得，，，，∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
06
作业布置
（2）解：由题意可得（），（），∵，
∴，，
∴（），
答：两堵木墙之间的距离为20．
07
板书设计
判定定理：
巧构全等三角形：
注意事项：
4.3.5 全等三角形的应用
习题讲解书写部分
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分课时教学设计
第五课时《4.3.5 全等三角形的应用》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《全等三角形的应用》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第三节第五课时的内容。本节课是全等三角形内容的总结与拓展，旨在引导学生将全等三角形的判定与性质转化为解决实际问题的工具。本节课主要引导学生从题目中抽象出全等三角形模型，渗透数学建模思想，最后通过综合练习，强化全等三角形在证明线段相等、角相等及解决动态问题中的应用，凸显数学与生活的紧密联系，体现“数学源于生活、服务于生活”的教育理念。
学习者分析 八年级学生已掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）和性质，具备基本的几何推理能力，但在实际问题中灵活应用仍存在困难。学生能识别全等三角形，但在复杂图形中易忽略隐含的全等关系（如公共边、对顶角），需通过具体问题训练提取关键信息的能力。同时学生缺乏将实际问题转化为几何模型的经验，对“如何建模”“如何选择判定方法”存在困惑，需通过案例引导逐步培养。
教学目标 1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。 3.通过观察、分析、操作等活动，经历“实际问题—几何建模—问题解决”的过程，培养数学建模能力和逻辑推理能力。
教学重点 全等三角形模型的抽象与应用，包括从实际问题中识别全等关系、选择合适的判定定理、运用性质解决问题。
教学难点 在复杂情境中灵活构建全等三角形模型，尤其是隐含全等关系的挖掘。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：全等三角形具有哪些性质？全等三角形的判定定理有哪些？ 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲，回顾旧知 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究概念教师活动2： 【思考】如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到 C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？ 问题1：CD的长就是河的宽度表明了什么样的等量关系？ 问题2：怎么证明两条边相等？ 问题3：证明哪两个三角形全等可证得CD=AB？ 问题4：你能完成这道习题吗？ 解：∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴∠A=∠C=90°. ∵E是AC的中点， ∴AE=EC. 如图，在△AEB 和△CED 中， ∴ ∴△AEB≌△CED (角边角)，从而AB = CD. 即CD的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对.学生活动2： 认真审题 认真思考 认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：该设计借“测河宽”情境，让学生在实践问题中运用全等三角形判定，既巩固几何知识，又培养用数学解决实际问题的能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例8小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？ 问题1：要求的内径是图中哪条线段(可作辅助线)？ 问题2：题目表明只要量出AB的长就可以知道玻璃瓶的内径是多少实际需要我们验证哪个等量关系？ 解：如图，连接AB，CD， 由题意可知，OA=OB=OC=OD. 在△AOB和△COD中， ， 所以△AOB≌△COD（边角边）， 从而AB = CD， 即AB的长等于玻璃瓶的内径. 例9在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示. 已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么？ 问题1： AB与水平线的夹角是哪个角？为什么？ 问题2： BC与水平线的夹角是哪个角？ 问题3： 点B不在水平线AE上，如何定义这个夹角？ 解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F，则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∠CFB =∠CAE = 90°， 所以 FB//AE， 从而∠ABF =∠BAE. 因为两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等， 所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF =∠ABF. 在△CBF 和△ABF 中， 所以△CBF≌△ABF（角边角）， 从而 CF = AF. 又 FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE//FB， 所以 AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段， 故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB. 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍.学生活动3： 认真审题 学生认真思考，举手回答问题 独立完成习题 认真听讲 认真审题 学生认真思考，举手回答问题 独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 一、分析图形与已知条件 1.先观察图形，明确题目中给出的边、角的位置关系（如垂直、平行等），标记出已知的相等边、相等角。 2.梳理题目中的隐含条件（如对顶角相等、公共边/公共角相等）。 二、确定目标 明确题目需要证明的结论（如某两边相等、某两角相等），并将结论转化为“证明对应三角形全等”的目标（因为全等三角形的对应边/角相等）。 三、寻找全等条件 1.根据全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），从已知条件和隐含条件中，筛选出能证明目标三角形全等的3个条件。 2.若条件不足，可通过“等边对等角”“等角对等边”“平行线的性质”等推导所需的边或角。 四、证明三角形全等 写出完整的全等证明过程（注明所用的判定定理）。 五、推导结论 利用“全等三角形的对应边相等”“对应角相等”，得出题目要求的结论。学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块．你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？（ ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 2.如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ） A． B． C． D．OA 3.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分线的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 选做题： 4.如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小红从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是 ． 5.某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是 米． 6.用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为24cm，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 【综合拓展类作业】 7.小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘的长度．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图所示，小刚站在河边的点A处，在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步.如果小刚一步大约50 cm，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为( ) A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m 2.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 3.如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 4.王强同学用10块高度都是2的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．
教学反思 本节课需改进之处在于：其一，小组合作学习中，部分学生依赖同伴，参与度不足，需通过“任务分工表”明确个体责任；其二，对隐含全等关系的挖掘训练不足，部分学生在复杂图形中仍无法快速识别关键条件，可增加“变式练习”，强化图形分析能力；其三，课堂时间分配需优化，可将跨学科问题调整为课后探究任务，为建模练习预留更多时间。此外，可引入数字化工具（如几何画板动态演示），帮助学生直观理解全等变换过程，提升学习效果。
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