7.2.2 古典概型的应用 教学设计

7.2.2古典概型的应用
教学目标
（1）理解并进一步掌握古典概型的概念、概率计算公式，提升学生的数学抽象、数学运算素养
（2）掌握互斥事件的概率加法公式
（3）通过对现实生活中具体的概率问题的研究，感知应用概率解决实际问题的方法，体会概率知识在现实世界中的广泛应用
教学重难点
教学重点：
正确理解互斥事件的概率加法公式
教学难点：
能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：
（1）本课时是古典概型的应用的第2课时，在第1课时古典概型的应用的基础上，进一步拓展，探究互斥事件的概率加法公式.
（2）因而本课的重点把握在如何将复杂的概率计算问题转化为较为简单的古典概型，进而进行概率计算.通过对更复杂的古典概型概率计算、古典概型在决策问题中的应用以及古典概型与统计综合，分析讨论解决复杂古典概型计数问题和概率问题的一些方法
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知
1、新课导入
问题1：在使用古典概型的概率公式时，我们需要注意哪些问题？古典概型中的概率具有的性质有哪些？
师生活动：学生思考总结，教师给出答案.
预设的答案：
（1）要判断该概率模型是不是古典概型；
（2）要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则任何随机事件A的概率为：.并且古典概型中的概率满足；
设计意图：复习古典概型的两个特征点，为古典概型的模型归纳与识别及古典概型的应用奠定知识基础.
问题2：课前练习.
抛掷一枚均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数1}，事件B＝{出现的点数2}，事件C＝{出现的点数3}，则P(出现点数不大于3)＝__________.
P(出现点数不大3) P(AC)
（2）抛掷一枚均匀的硬币，设事件A＝{正面朝上}，则P()＝__________.
师生活动：学生自主做题，并给出答案，教师根据学生做的情况讲解.
预设答案：
（1）；=
（2）.
设计意图：通过简单的小问题的导入，让学生体会互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率的计算方法.
2、自主探究
问题3：
（1）在试验E“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，设事件A表示“掷出的点数为偶数”，事件B表示“掷出的点数为5”，试探究P（A），P（B）与P（AUB）的关系.
（2）在试验E“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示“第一次掷出的点数为1”，事件B表示“第一次掷出的点数不是1”，试探究P（A），P（B）与P（AUB）的关系.
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师引导
预设答案：
（1）；;
（2）；;
=1
三、形成定义
在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P（AUB）=P（A）+P（B）.
这一公式称为互斥事件的概率加法公式.
特别地，P（AU）=P（A）+P（），即P（A）+P（）=1，所以
P（）=1P（A）
一般地，如果事件A1，A2…，An，两两互斥，那么有
P（A1UA2 U··…UAn，）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）
互斥事件的概率加法公式和长度、面积、体积、质量等的加法公式本质上是一样的.
追问：
（1）如果A、B不是互斥事件，那么还成立吗？
（2）如果事件A1，A2…，An，两两互斥，那么有P（A1UA2 U··…UAn）<1，成立吗？
（3）互斥事件和对立事件的区别和联系是怎样的呢？
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师引导
预设答案：
不成立
成立
互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥的
设计意图：通过追问思考，进一步深化巩固对互斥事件及其概率计算公式的理解，增强学生数学思维情趣，逐渐养成自主探究能力.
四、初步应用
例1 先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：两次出现的点数均为偶数点，：至少出现一个3点，求，，，.
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解，注意过程步骤的书写.
预设的答案：用数对来表示抛掷结果，则样本空间可记为Ω＝，则样本空间中共包含36个样本点.
A＝，A包含9个样本点.
B＝，B包含11个样本点.
所以；
；
；
因为事件A和事件B是互斥事件，所以
.
设计意图：进一步理解公式，并且能够合理使用公式进行计算概率.
例2、某网站登录密码由四位数字组成.某同学注册时将自己生日的四个数字0，3，2，5重新编排了一个顺序作为密码.由于长时间未登录该网站，他忘记了密码.若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，则该同学不能顺利登录的概率是多少？
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解，注意过程步骤的书写.
预设的答案：
解：用事件A表示“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码”.由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件A，即“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，恰是密码”，显然它只有一种结果.四个数字0，3，2，5随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示如图
从上面的树状图可以看出，将四个数字0，3，2，5随机编排顺序，共有24种可能的结果，即样本空间共含有24个样本点，且24个样本点出现的结果是等可能的，因此可以用古典概型来解决.
由 ，得
设计意图：进一步理解公式，并且能够合理使用公式进行计算概率. 当事件A比较复杂而对立事件比较简单时，我们往往通过计算来求得P（A）
例3、班级联欢时，主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与.把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.
（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率.
（2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片.求：
①独唱和独奏由同一个人表演的概率；
②选出的不全是男生的概率
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解，注意过程步骤的书写.
预设的答案：
解：把抽取2张卡片的结果记为（i，j），其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号.
（1）依题意可知抽取的所有可能结果为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）.
共有20种可能的结果.因为每次都是随机抽取，所以可以认为每个结果出现的可能性相等，从而用古典概型来解决.
用事件A表示“选出的2人不全是男生”.
方法1：
依题意知事件A包含的样本点有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有14种可能的结果.因此，事件A “选出的2人不全是男生”的概率是：
方法2：依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有（1，2），
（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），共有6种可能的结果.因此，
（2）与（1）中的不放回的抽取不同的是，（2）中的抽取是有放回的抽取.抽取的所有可能结果为
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共有25种可能的结果.
因为每次都是随机抽取，所以可以认为每个结果出现的可能性相等，从而用古典概型来解决.
设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”，则事件B所包含的样本点有
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），共有5种可能的结果.
因此，
即独唱和独奏由同一个人表演的概率为 .
②设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”，包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共有9种可能的结果.
因此，
即选出的不全是男生的概率为
设计意图：进一步理解公式，并且能够合理使用公式进行计算概率.
五、课堂小结
1．板书设计：
7.2.2古典概型的应用（第二课时）
1、互斥事件的概率求和公式
2、对立事件概率的计算公式
例1
例2
例3
总结概括：
1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.
3．在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可
4．解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法；对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.
【目标检测】
1．下列说法正确的是（ ）
A．一枚骰子掷一次得到2点的概率为，这说明一枚骰子掷6次会出现一次2点
B．某地气象台预报说，明天本地降水的概率为70%，这说明明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨
C．某中学高二年级有12个班，要从中选2个班参加活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两枚骰子得到的点数是几，就选几班，这是很公平的方法
D．在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币猜正反面来决定谁先打球，这应该说是公平的
设计意图：考查学生对古典概型的性质的理解.
2、在数字，，，，中任取两个数相加，和是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
设计意图：考查学生对古典概型的计算问题.
3、设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为________．
设计意图：考查学生对古典概型的计算.
4、田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，三匹马各比赛一次，胜两场者获胜.若这六匹马的优劣程度可以用以下不等式表示：.
（1）正常情况下，求田忌获胜的概率；
（2）为了得到更大的获胜机会，田忌打探到齐王第一场必出上等马，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率.
设计意图：考查学生对古典概型的计算等综合应用.
5、从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
参考答案：
1、【答案】D
【解析】
选项A，出现2点的概率为，指的是出现概率，不是掷6次会出现一次2点，A错．
选项B降水概率为70%，这说明明天本地有70%可能性降水，不是降水区域面积．
选项C两枚骰子的和，每个数字出现的概率不相等，所以不公平．
选项D硬币两面出现正反的概率相等，因此是公平的．
所以选D
2、【答案】C
【解析】
从数字中任取两个数的所有可能有故所有情况数
其中两个相加其和是偶数的有四种，即，
和为偶数的概率为，应选答案C.
3、解析：由方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a2－8>0，故a＝3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有P＝＝.
答案：
4、（1）比赛配对的所有情况共有6种：
.
经分析：仅有配对为时，田忌获胜，则田忌获胜的概率为.
田忌的策略是首场安排出赛，此时比赛配对的所有情况有2种：，配对为时田忌获胜，则田忌获胜的概率为.
5、解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)和(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=［(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)］，
事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)==.
在上例中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率.
有放回地连续取出两件，其一切可能的结果有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a2)，(b1，b1)，由9个基本事件组成，由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B=［(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)］，
事件B包含4个基本事件，因而，P(B)=.
点评：(1)在连续两次取出过程中，(a1，b1)与(b1，a1)不是同一个基本事件，因为先后顺序不同.
(2)无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错