八年级数学上册沪教版 第二十二章《直角三角形》单元测试卷（含答案）

第二十二章《直角三角形》单元测试卷
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．下列各组线段中，能组成一个直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，2
2．已知 ABC是直角三角形，直角边，斜边，则边（ ）
A． B． C． D．或
3．如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（ ）
A． B． C． D．
5．已知：如图，，，分别为边，上的高线，且．
求证： ABC为等边三角形．
证明：，，◎，
（全等的判定方法为★）
⊙
⊙
，即 ABC为．
则回答错误的是（ ）
A．◎代表 B．★代表
C．⊙代表 D．代表等边三角形
6．如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．请写出一组包含12的勾股数： ．
8．如图，，，，则
9．在中，为直角边，c为斜边，若，则 ．
10．如图，平分，，垂足分别为D，E，，则 ．
11．如图，于点D，于点，且．若要根据证明，则还应添加的条件是 ．
12．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ．
13．如图，一木杆高，在离地处折断，则木杆顶端会落在离木杆底端 m处．
14．如图，在中，，，点D是的中点，则 ．
15．如图，是的角平分线，，，，则的面积是 ．
16．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ．
17．如图，在 ABC中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为 ．
18．如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．
三、解答题（7小题，共64分）
19．如图，在 ABC中，，平分，交于点D．若，，求的面积．
20．如图，商场和超市都在笔直的街道上，小明家在街道外的处，已知小明家到商场的距离为1300米，到超市的距离为500米，且，则商场到超市的距离为多少米？
21．如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘旁边有一水房D，在公路上的C处有一棵树，小明从A点出发，沿走到E（A，C，E在一条直线上），并使，连接、，测得，这样就量出E到水房D的距离就是点A到点B的距离（即）．你能说出小明这样做的道理吗？
22．在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法．
第一步：构造角平分线．
如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线．
第二步：利用三角形全等证明她的作法．
已知：，_____，______．
求证：是的角平分线．
请根据小红的作法补全已知并完成证明．
23．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数．
3，4，5
5，12，13
7，24，25
9，40，41
．．． ．．．
15，，
．．． ．．．
(1)写出它们的共同点．（写出两条即可）
(2)当时，求的值．
24．（1）观察发现
如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______．
（2）性质探究
如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由．
（3）问题拓展
如图3，在 ABC中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值．
25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
______，
______，
______，
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C
【详解】解：A、，故选项A中的三条线段不能构成三角形，不合题意；
B、，故选项B中的三条线段不构成直角三角形，不符合题意；
C、，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，符合题意；
D、，故选项D中的三条线段不构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
2．B
【详解】在中，直角边，斜边，
（）．
故选：．
3．B
【详解】解：过点B作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
【详解】解：如图所示，连接、，
由题可得，，，
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴是的平分线（角平分线定义）．
∴作图依据是“”，
故选：D．
5．B
【详解】证明：，，，
（全等的判定方法为）
，即为等边三角形．
即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形，
只有选项B符合；
故选：B．
6．C
【详解】解：由题意，得，，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得
，
在中，由勾股定理，得
，
∴，
即消防车需要从点处向点处移动的距离为．
故选：C．
二、填空题
7．（（答案不唯一）
【详解】解：∵，
∴是一组包含12的勾股数；
故答案为：．
8．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
9．4
【详解】解：根据勾股定理，得，
解得.
故答案为：4.
10．3
【详解】解：∵平分，，
∴，
故答案为：3．
11．
【详解】根据证明，只需要添加斜边相等，
∴需要添加的条件是，
故答案为：．
12．
【详解】解：由图可得，
，
故答案为：
13．4
【详解】解：，，
由勾股定理得：，
即木杆顶端会落在离木杆底端处，
故答案为：4．
14．4
【详解】解：在中，，点D是的中点，
，
故答案为：4．
15．
【详解】解：如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
即的面积是．
故答案为：．
16．150
【详解】解：由图可知：，，
根据勾股定理可得：．
故答案为：150．
17．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即 ABC是直角三角形，，
∴，
故答案为：．
18．
【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接，
∴，
∴小虫的爬行路径为最短．
由对称可得，
∴，
∴在中，，
∴小虫爬行的最短路线长为．
故答案为：
三、解答题
19．解：过点作于点，即为边上的高，如图所示，
∵，
∴，
平分，
，
的面积为．
20．解：连接，
由已知可得，，米，米，
∴，
∴（米），
答：商场P到超市B的距离为1200米．
21．解：在 ADE和中，
∵，，
∴，
∴，
∴E到水房D的距离就是点A到点B的距离．
22．解：已知：，，，
求证：平分．
证明：，，
，
在和中，
，
，
，
平分
故答案为：，，
利用证明三角形全等即可．
23．（1）解：①以上各组数均满足；
②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和．
（写两条即可，合理即可）
（2）设，则．
有，解得，
，．
24．解：（1）∵平分，，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）；理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）如图3，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图3：取的中点F，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即点E与点F重合时也满足题意，
∴．
综上所述，的长为4或2．
25．解：小试牛刀：
，
，
，
则它们满足的关系式为：．
知识运用：
（1）如图2①，连接，作于点E，
，
，
，
有勾股定理得到：
（千米）
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接，作的垂直平分线交于点，

设千米，则千米，
在中， ，
在中，，
∵，
∴，
解得，，
即千米．
知识迁移：
如图3，过作点的对称点，连接交于点，
过作，

根据对称性：，
设，则，有勾股定理得，
，
．
∴代数式的最小值为：
．