高 三 年 级 考 试
数学试题参考答案及评分标准 2025.11
一、单项选择题：
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D B C D A B A
二、多项选择题：
题 号 9 10 11
答 案 AC ACD ABD
三、填空题：
12. -2 13. [ 8 - 4 2 ,8 + 4 2 ] 14. 506
四、解答题：
15.（ 13 分）
解：（1）函数 f ( x ) 的定义域为 (0,+∞)
f 2'( x ) = x - a = x - a ……………………………………………………… 1 分
x x
当a ≤ 0 时，f '( x ) > 0 , f ( x )在 (0,+∞) 上单调递增………………………… 3 分
当a > 0 时，令 f '( x ) = 0，解得 x = a ……………………………………… 4 分
当 x ∈ (0, a )时, f '( x ) < 0, f ( x ) 单调递减
当 x ∈ ( a ,+∞)时, f '( x ) > 0, f ( x ) 单调递增 ……………………………… 6 分
（ 2）由（1）知，当a ≤ 0 时, f '( x ) 在 (0,1 ]上单调递增，无极值 …………………… 8 分
当 a ≥ 1 即a ≥ 1 时，f ( x ) 在 (0,1 ]上单调递减，无极值 ………………… 10 分
当 0 < a < 1 即 0 < a < 1 时，f ( x ) 在 (0, a ) 单调递减，在 ( a ,1 ] 单调递增
…………………………………………………………………………… 11 分
f ( x ) 1所 以 有 极 小 值 f ( a ) = 2 a - a ln a + 3a = a (
7
2 - ln a )，无 极 大 值
……………………………………………………………………………… 13 分
16.（ 15 分）
解：（1）∵ f ( x ) 为奇函数
∴定义域关于原点对称
而 f ( x ) 定义域为{ x | x ≠ -a }
∴-a = 0 即a = 0 …………………………………………………………… 3 分
x2 + 2bx + c c
则 f ( x ) = = x + + 2b
x x
高三数学试题参考答案 第 1 页 （共 6 页）
∵ f (-x ) = -f ( x )
∴ b = 0 ……………………………………………………………………… 6 分
（2）∵ f ( x ) 图象过 (1,4) 且点 (a,b) 在直线 y = 2x + 1 上
ì4 = 1 + 2b + c
∴ í 1 + a , 解得 c = 1 ………………………………………… 8 分
b = 2a + 1
∴ f ( x ) = x2 + (4a + 2) x + 1 + x a
又∵ f ( x )在 (-4,0) 上有两个不同零点等价于 g ( x ) = x2 + (4a + 2) x + 1 在 (-4,0)
有两个不同零点且零点不为-a
ì -4 < -(2a + 1) < 0
∴ í △ = (4a + 2) 2 - 4 > 0
g (-4) = (-4) 2 - 4(4a + 2) + 1 > 0
0 < a < 9解得 16 ……………………………………………………………… 12 分
又 x ≠ -a
∴(-a )2 + (4a + 2) (-a ) + 1 ≠ 0
∴ a ≠ 13 ……………………………………………………………………… 14 分
综上，a的取值范围为 (0, 13 ) (
1
3 ,
9
16 ) …………………………………… 15 分
17.（ 15 分）
解：（1）∵ a (cosC - cosB ) = (b + c ) cos A
∴ sin A cosC - cos A sin C = sin B cos A + cosB sin A ……………………… 2 分
∴ sin ( A - C ) = sin ( A + B ) = sin C ………………………………………… 3 分
∴ A - C = C或A - C = π - C（舍去） ……………………………………… 4 分
∴ A = 2C……………………………………………………………………… 6 分
（2）∵ S△ABC = S△ABD + S△ACD，AD是 ∠BAC的平分线，且AD = 2 ………………… 8分
∴ 1 1 12 bc sin 2C = 2 × c × AD sin C + 2 × b × AD × sin C
∴ bc sin 2C = 2 sin C (b + c )
∴ bc cosC = b + c
又 cosC = 35
∴ 3 5 bc = b + c ……………………………………………… 11分
高三数学试题参考答案 第 2 页 （共 6 页）
∴ 3 = 1 1 5 + (b > 0,c > 0)c b
∴ 2b + c = 53 (2b + c ) (
1 + 1 )
b c …………………………………………… 13分
= 5 (3 + 2b + c3 )c b
∵ b > 0, c > 0, 2b + c ≥ 2
c b ………………………………………………… 14分
当且仅 c = 2 b时等号成立
15分
∴(2b + c ) min = 5 + 10 2
……………………………………………………
3
18.（ 17 分）
解：（1）∵ Sn = n
2 + 3n
2
∴ ≥ 2 = - = n2当n 时，an S S + 3nn n - 1 2 -
(n - 1) 2 + 3(n - 1)
2 = n + 1
当n = 1 时，a1 = S1 = 2 适合上式
∴ an = n + 1,n ∈ N ………………………………………………………… 2 分
∵ 2b2n - (bn + 1 - 2)bn - bn + 1 = 0
∴ (bn + 1) (2bn - bn + 1 ) = 0
∵ bn > 0
∴ bn + 1 = 2bn
又 b1 = 2
∴ b = 2nn , n ∈ N …………………………………………………………… 4 分
（2）当n为奇数时，cn = anbn = (n + 1)2n
记An = c1 + c3 + c5 + …… + c2n - 1，则
An = 2 × 21 + 4 × 23 + 6 × 25 + …… + 2n × 22n - 1
4An = 2 × 23 + 4 × 25 + 6 × 27 + …… + 2n × 22n + 1
∴-3A 1 3 5 2n - 1 2n + 1n = 2 × (2 + 2 + 2 + …… + 2 ) - 2n × 2
= 2 × 21 - 22n + 11 - 4 - 2n × 22n + 1
= ( 13 - n ) × 22n + 2 -
4
3
∴ An = ( n3 -
1 4
9 ) × 22n + 2 + 9 ………………………………………………… 7 分
当n为偶数时，cn = (2 - 3n )2
n = 2n - 2n + 2
n (n + 2) n n + 2
高三数学试题参考答案 第 3 页 （共 6 页）
* *
记Bn = c2 + c4 + …… + c2n，则
B = ( 22 24 24 26 22n 22n + 2 n 2 - 4 ) + ( 4 - 6 ) + …… + ( 2 -n 2n + 2 )
22n + 2 22n + 1
= 2 - 2 + 2 = 2 - + 1 ……………………………………………… 11 分n n
∴ T2 = A n 1
2n + 1
2n + 2 2 22
n n + Bn = ( 3 - 9 ) × 2 - + 1 + 9 ……………………… 12 分n
（3）由nan - λ(an - 1) (n + 2) - 6 < 0 恒成立
可得n (n + 1) - λn (n + 2) - 6 < 0 恒成立
即λ > n2 + n - 62 + 2 恒成立 ………………………………………………… 14 分n n
f (n ) = n2 + n - 6设 2 + 2 = 1 -
n + 6
n n n (n + 2)
2f (n + 1) - f (n ) = - n + 7 + n + 6 n + 13n + 18(n + 1) (n + 3) n (n + 2) = n ( > 0n + 1) (n + 2) (n + 3)
∴ f (n ) 单调递增 …………………………………………………………… 16 分
n + 6
又 > 0
n (n + 2)
∴ f (n ) < 1
∴ λ ≥ 1 …………………………………………………………………… 17 分
19.（ 17 分）
解：f ( x ) = a sin x - x cos x + sin x = (a + 1) sin x - x cos x ………………………… 1 分
（1） ∵ a = 0
∴ f ( x ) = sin x - x cos x
∴ f '( x ) = cos x - cos x + x sin x = x sin x , x ∈ [ 0, π2 ] …………………… 2 分
∴ f '( x ) ≥ 0 在 [ 0, π2 ]上恒成立
∴ f ( x ) 在 [ 0, π2 ]上单调递增
又 f (0 ) = 0, f ( π2 ) = 1
∴ f ( x ) 值域为 [ 0,1 ] ………………………………………………………… 3 分
（2）i） f '( x ) = a cos x + x sin x, x ∈ [ 0, π2 ]
当a ≥ 0 时，f '( x ) ≥ 0 恒成立
∴ f ( x ) 在 [ 0, π2 ]上单调递增，不合题意 …………………………………… 5 分
高三数学试题参考答案 第 4 页 （共 6 页）
当a < 0 时，设g ( x ) = f '( x ) = a cos x + x sin x，则
g'( x ) = -a sin x + sin x + x cos x ……………………………………………… 6 分
∵ x ∈ [ 0, π2 ]
∴-a sin x ≥ 0, sin x ≥ 0, x cos x ≥ 0
∴ g′( x ) ≥ 0 恒成立
π
∴ g ( x ) 在 [ 0, 2 ]上单调递增 ………………………………………………… 7 分
又g (0 ) = a < 0, g ( π2 ) =
π
2 > 0
∴ x π0 ∈ [ 0, 2 ] ，使得g ( x0 ) = 0
当 x ∈ [ 0,x0 )时，f '( x ) < 0 π，当 x ∈ ( x0, 2 ]时，f '( x ) > 0
∴ f ( x ) 存在唯一的极小值
∴ a的取值范围为 (-∞,0) …………………………………………………… 9 分
ii）∵ a，使a ≤ 2( f ( x ) + t ) ( t ∈ R ) 恒成立，由 i）知 x0，使得 f ( x ) ≥ f ( x0 )
∴ a ≤ 2( f ( x0 ) + t ) = 2 [ (a + 1) sinx0 - x0 cosx0 + t ]
∴ t ≥ a ( 12 - sinx0 ) - sinx0 + x0 cosx0 ……………………………………… 10 分
∵ f '( x0 ) = a cosx0 + x0 sinx0 = 0
∴ a = - x0 sinx cos 0 ……………………………………………………………… 11 分x0
x sinx 1
∴ t ≥ - c0 os 0 ( 2 - sinx0 ) - sinx0 + x0 cosxx 00
2
= x0 sin x0 -
1 x0 sinx0
cos 2 - sinx0 + x0 cosxx 0 0
x - 1= 0 2 x0 sinx0 cos - sin x …………………………………………………… 13 分x 00
1
( ) = x - 2 x sin x设φ x cos - sin x，则x
1
( ) = (1 - 2 x cos x -
1
2 sin x ) cos x + sin x ( x -
1 x sin x )
φ' x cos 22 - cos xx
= (sin x -
1
2 ) (sin x cos x + x ) cos2 ………………………………………… 15 分x
高三数学试题参考答案 第 5 页 （共 6 页）
∵ x ∈ [ 0, π 2 ]
∴当 x ∈ [ 0, π6 ]时，φ'( x ) < 0 , φ ( x ) 单调递减
当 x ∈ [ π π6 , 2 ]时，φ'( x ) > 0 , φ ( x ) 单调递增
∴ φ ( x ) π 3 π 1 3 πmin = φ ( 6 ) = 12 - 2，此时a = - 18 ………………………… 16 分
∴ t ≥ 3 π 112 - 2
∴ t 3 π 1的最小值为 12 - 2 …………………………………………………… 17 分
高三数学试题参考答案 第 6 页 （共 6 页）试卷类型：A
高三年级考试
数学试题
2025.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、芳生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1已知为虚数单位，复数：=3,2，则：的走部为
A.-2
B.-3
C.-2i
D.-3i
2E知A=任t2≥0，B={p=-可则C利nB=
A.[1,2)
B.[1,2]
C.[0,2)
D.[0,21
3.函数)=n的图象大致为
x2+2
0.15
0.15
B
0.
0.15t
高三数学试题第1页（共4页）
4.已知正项等差数列{an}满足a,a4+a2a6+a4ag+6g=25,则as=
A.5
B.5
c
4
5.已知函数f(=imx-im(e-写)，则f)在[0，平]止的最小值为
A要
B号
C.-y3
D
6.已知函数f(x)的定义域为1，值域为D,则“(0，+∞)CD”是“对任意M>0,存在x。∈1，使
f(x)>M”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知a=6=派-1，c=n5-21h2,则
A.a
B.cC.bD.a8.已知定义在R上的函数f(x),g(x),其导函数分别为f'(x),g(x),f(x)+g(x)=2,
f(x)-g'(2-x)=2,且g(x+2)为奇函数，则f(2024)+f(2025)+f(2026)=
A.6
B.4
C.2
D.0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A.若a+b<0,则a3+b<0
B.若a>b,则ac2>bc2
C.若a>6>0,m>0,则白<6+m
a m
D当xe(0,m)时，sinx+s的最小值为4
10.已知函数f(x)=4sin(ax+p)(w>0,p<7)的图象如图所示，点A(0,-2),B(a,2)
在f(x)的图象上，若AB|=5,则下列说法正确的是
A.0=
3
B(a,2)
B.f(x)在[4,7]上单调递减
C.f(x)图象关于x=-1对称
D.若将f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的mT(m>0)倍
得函数g(x),g(x)在(0,2m)上恰有一个最大值，一个最小值，
A(0,-2)
12
则me[4,）
1.已知三次函数f)=号+-
2(a+1)x2+x-1,则下列说法正确的是
A.若f(x)有两个极值，则a≠1
B.若x∈R,3f(x)+3f(2-x)+4=0,则a=1
C若函数（有3个零点，，且%=，则a=6
D.当函数8(x)=对(x)的图象经过的象限最多时，a的取值范围是(-∞，-3)
高三数学试题第2页（共4页）
