上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学摸底考试卷及答案（2025.9）

交大附中2025-2026学年第一学期高二年级数学摸底考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设集合，则可用列举法表示为 ．
2．若直线的方程为，则直线的倾斜角大小为 ．
3．若，则 ．
4．设i为虚数单位，若复数满足，则 ．
5．设在方向上的数量投影为 ．
6．在中，分别为角的对边，若，则 ．
7．设可用含的代数式表示为 ．
8．记椭圆的右焦点为，直线过点交椭圆于两点，其中在第二象限．若关于轴的对称点为，且，则直线的方程为 ．
＊9．已知是奇函数，且，若，则 ．
10．已知函数的表达式为（常数），若，且函数在区间上有最小值无最大值，则实数的值为 ．
11．若关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是 ．
12．平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）.
13．设，下列不等式中，恒成立的是（ ）．
A． B． C． D．
＊14．下列函数中，既是偶函数，又是上的严格减函数的是（ ）．
A． B． C． D．
15．设是平面向量的一个基.已知非零向量，其中，给出下列四个命题：
（1）；
（2）当且仅当且；
（3）当且仅当；
（4）当且仅当；其中真命题的序号是（ ）．
A．（1）（3） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
16．已知平面直角坐标系中，设点（常数），其中无穷数列是公差为的等差数列。向量是一个取定的非零向量，满足：对于任意点，曲线上存在唯一的点，使得，则＂存在正整数，使得＂的一个必要条件是（ ）．
A． B．
C．（其中） D．且
解答题（本大题共有5题，满分76分）．
＊17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设（常数均为实数），关于的不等式的解集为.
（1）若，实数的值；
（2）设．记不等式的解集为，记（常数为实数），若＂＂是＂＂的充分条件，求实数的取值范围．
＊18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设．
（1）若，求的取值范围；
（2）设函数是定义域为的偶函数，当时，.若关于的方程（常数）在上有实数解，求实数的取值范围。
19．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差。
（1）求该地第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量
（单位：辆）。设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点．
（1）写出圆的圆心的坐标以及半径；
（2）设，当直线与圆交于两点时，求弦的中点的轨迹；
（3）设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为），求非负实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围．
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于定义域为的周期函数，若它同时满足以下三个条件：（1）存在最小正周期；（2）值域为；（3）存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数；则称函数为＂－类余弦函数＂．设函数是类余弦函数．
（1）若是偶函数，求该函数的最小正周期；
（2）若对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，求证：函数在区间上的值域为；
（3）设常数的最小正周期为4，求实数的值；进而，若关于的方程（常数）在上恰有3个实数解，求实数的值（无需说明理由）。
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.; 12.
12．平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】设，点在单位圆上，则，
由．，可得：，作矩形，则，
下证：，
设交于点，连接，因，则，
同理可得：，两式左右分别相加得：
即
又
故的最小值是．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.C 15.B 16.B
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）第42个月底
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点．
（1）写出圆的圆心的坐标以及半径；
（2）设，当直线与圆交于两点时，求弦的中点的轨迹；
（3）设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为），求非负实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）圆心的坐标为，半径.
（2）轨迹是以为圆心，为半径的圆 （3）
【解析】（1）已知圆的方程为，
根据完全平方公式，
对圆的方程进行配方：，即。
根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径），
可得圆的圆心的坐标为，半径.
因此，圆心的坐标为，半径为.
（2）当时，圆的方程为，圆心，半径
设弦的中点为，根据圆的性质，弦中点与圆心连线垂直于弦，所以
根据向量垂直的性质，若两向量垂直，贝
，则．
展开可得，配方得
因此，弦的中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于定义域为的周期函数，若它同时满足以下三个条件：（1）存在最小正周期；（2）值域为；（3）存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数；则称函数为＂－类余弦函数＂．设函数是类余弦函数．
（1）若是偶函数，求该函数的最小正周期；
（2）若对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，求证：函数在区间上的值域为；
（3）设常数的最小正周期为4，求实数的值；进而，若关于的方程（常数）在上恰有3个实数解，求实数的值（无需说明理由）。
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）3或4或7
【解析】（1）因为是偶函数，所以，且是1－类余弦函数，
存在，使得在［上为严格减函数，在上为严格增函数
由于是偶函数，其图象关于轴对称，那么在上为严格增函数，在上为严格减函数
设为的最小正周期，根据周期函数的定义
因为在上递减，在上递增，且是偶函数，所以
又因为的周期为，所以
由于在上递减，在上递增，且是偶函数，
所以
由此可得，即函数的最小正周期
（2）因为是1－类余弦函数，存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数
对于任意，方程在区间均有且仅有两个实数解
由于是周期函数，设为最小正周期，则
因为在上递减，在上递增，且方程在有两个解，
所以为最小值
由于在上递减，在上递增，且为最小值，
所以在上的值域为
又因为是周期函数，所以在上的值域也为