四川省成都市新津区成外学校2025-2026学年八年级上学期期初超越杯素养体验数学试题
1．（2025八上·新津开学考）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．随意翻开一本书，这页的页码是奇数
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．足球运动员射门一次，球射进球门
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：选项A：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为 无 论三角形形状如何，此结论必然成立，属于必然事件，符合题意.
选项B：书的页码可能是奇数或偶数，结果具有随机性，属于随机事件，不符合题意.
选项C：交通信号灯可能显示红、黄、绿三种颜色，遇到绿灯是随机事件，不符合题意.
选项D：足球射门可能进球或未进球，结果不确定，属于随机事件，不符合题意.
故选： A.
【分析】根据必然事件的定义，即在一定条件下必然会发生的事件，对各选项逐一判断.
2．（2025八上·新津开学考）计算的结果是（ ）
A． 1 B． 3 C． D．3
【答案】D
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】按照积的乘方的逆运算解答即可.
3．（2025八上·新津开学考）已知m+n=2，mn= 2，则(1 m)(1 n)的值为（ ）
A． 1 B．1 C． 3 D．5
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
2-2=-3；
故选： C.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，然后整体代入计算即可.
4．（2025八上·新津开学考）若关于x的多项式(x2+2x+4)(x+k)展开后不含有一次项，则实数k的值为（ ）
A． 1 B．2 C．3 D．-2
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
∵展开后不含有一次项，
解得：k=-2.
故答案为：D.
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可.
5．（2025八上·新津开学考）下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
D．由能推出或，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】根据等式的性质“等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的两边都乘（除）同一个不为零的数，等式仍成立；”逐项判断即可．
6．（2025八上·新津开学考）下列说法中，正确的是（ ）
① 64的立方根是4；②49的算术平方根是±7；③的立方根是；④的平方根是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： 的立方根是-4，∴①错误；
∵49的算术平方根是7，∴②错误；
的立方根是 ，∴③正确；
的平方根是 ④错误，
即正确的有1个，
故选： A.
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义求出每个的值，再根据结果判断即可.
7．（2025八上·新津开学考）如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE//AB，求∠DOC的度数为（ ）
A．124° B．102° C．92° D．88°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC =∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B =∠ACB=∠ACE = 60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE =∠BAC = 60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠BAD=28°，
∴∠OAD=60°-28°= 32°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B =∠ACE， 再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°， 然后证明△ABC是等边三角形， △ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题.
8．（2025八上·新津开学考）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，则y=x+4.5，
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则
故选B.
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决.
9．（2025八上·新津开学考）若代数式5 4x与值相等，则x的值是 ．
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
去分母得，
去括号得10-8x=2x-1，
移项得-8x-2x=-1-10
合并同类项得-10x=-11
系数化为1得x=，
故答案为：.
【分析】根据题意建立方程，然后利用 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解x的值即可.
10．（2025八上·新津开学考）若3m=6，3n=2，则32m 3n+1= ．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：因为
所以
故答案为：.
【分析】先根据幂的乘方求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法的逆运算解答即可.
11．（2025八上·新津开学考）等腰三角形一外角为110°，则其顶角的度数为 ．
【答案】70°或40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个的外角是顶角的外角，则等腰三角形的顶角是
当这个的外角是底角的外角，则等腰三角形的底角是
所以等腰三角形的顶角为
故答案为：70°或40°
【分析】分两种情况讨论：当这个的外角是顶角的外角，当这个的外角是底角的外角，根据外角的性质和等边对等角解答即可.
12．（2025八上·新津开学考）小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的关系式为 ．
【答案】h=3x+80
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：h=3x+80，
故答案为：h=3x+80.
【分析】苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，可知树苗高度为80加上3x解答即可.
13．（2025八上·新津开学考）如图，在等边三角形ABC中，AD是角平分线，P为线段AD上一动点，M为AC的中点，连接PM，PC，若PM+PC的最小值为15cm，则AD＝ cm.
【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PB，BM，
∵在等边三角形ABC中，AD是角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PM+PC＝PM+PB，
由两点之间线段最短可知，当点B，P，M在一条直线上时，PM+PC取值最小，最小值为BM＝15cm，
∵△ABC为等边三角形，M为AC的中点，
∴AD＝BM＝15cm.
故答案为：15.
【分析】连接PB，BM，由等边三角形的三线合一得AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PB=PC，则PM+PC＝PM+PB，由两点之间线段最短可知，当点B，P，M在一条直线上时，PM+PC取值最小，最小值为BM＝15cm，进而由等边三角形的性质得AD=BM，据此即可得出答案.
14．（2025八上·新津开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】单项式乘单项式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先计算乘方与开方，再计算绝对值，最后计算加减即可；
(2)根据单项式的乘法、除法法则计算即可.
15．（2025八上·新津开学考）先化简，再求值：(2x+3y)2 (2x+y)(2x y)，其中x= ，y=1.
【答案】解：
当 时，
原式
=-6+10
=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可.
16．（2025八上·新津开学考）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB//DE，BE=CF．
（1）求证：AC//DF；
（2）若∠B=65°，∠F=35°，求∠EOC的度数．
【答案】（1）证明： ∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由 (1) 得∠B =∠DEF， ∠ACB=∠F，∴∠DEF =∠B=65°， ∠ACB=∠F =35°，
在△EOC中， ∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180°-∠DEF-∠ACB=180°-65°-35°= 80°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)由AB∥DE得∠B=∠DEF， 根据BE=CF得BC= EF， 可证明△ABC≌△DEF(SAS)， 根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论；
(2)由全等三角形的性质得到∠DEF =65°， ∠ACB=35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC.
17．（2025八上·新津开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
（1）在网格中作△ABC关于直线l对称的△DEF．
（2）结合所画图形，在直线l上作出点P，使PA+PC的值最小，若这个最小值为a，求a2的值．
【答案】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质即可在网格中作 关于直线l对称的
(2)连接AF交直线l于点P，根据两点之间线段最短得PA+PC的最小值为AF的长，进而可以求 的值.
18．（2025八上·新津开学考）如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE=45 .
（1）求证：△AEF≌△CEB．
（2）若G在BC的延长线上，连接GA，若GA=GB，求证：AC平分∠DAG．
（3）如图2，在（2）的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC=4，∠BAD=15°，求AM的长.
【答案】（1）证明： ∵CE⊥AB，
∴∠AEC =∠BEC = 90°，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE = 45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC =90°，
∴∠ECB+∠CFD=90°，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠ECB+∠AFE=90°，
∵∠EAF+∠AFE=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)；
（2）证明；∵△AEF≌△CEB，
∴∠AFE=∠B，
∵∠AFE=∠ACE+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠B=45°+∠CAD，
∵AG= BG，
∴∠B=∠BAG，
∴∠BAG=45°+∠CAD，
∵∠BAG=∠CAE+∠CAG=45°+∠CAG，
∴∠CAD=∠CAG，
∴AC平分∠DAG；
（3）解：∵∠BAD=15°， ∠CAE = 45°，
∴∠CAD =∠CAE-∠BAD =30°，
∵∠CAD=∠CAG，
∴∠DAG=2∠CAD = 60°，在Rt△ADG中， 点H是AG的中点，
∴DH=AH，
∴△ADH是等边三角形，
∴∠ADH = 60°， AD = AH，
∵∠CAD=∠CAG，
∴AC⊥DH，
即： ∠AMD =∠DMC = 90°∵∠ADC =90°，
∴∠CDM =30°，
在Rt△DMC中， 在Rt△AMD中， M=3CM，
∵∠AEC=90°， AE =CE，
∴AM+CM=8，
∵AM =3CM，
∴3CM+CM =8，
∴CM=2，
∴AM=3CM=6.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)先判断出AE=CE，再利用等角的余角相等判断出∠EAF =∠ECB， 进而判断出△AEF≌△CEB，即可得出结论；
(2)先利用三角形外角的性质得出∠AEF =45°+∠CAD， 进而得出∠B=45°+∠CAD， 而∠B=∠BAG， 得出∠BAG=45°+∠CAD， 而∠BAG = 45°+∠CAG， 即可得出结论；
(3)先判断出△ADH是等边三角形，进而利用含30度角的直角三角形的性质判断出AM =3CM，进而求出△ACM的面积，即可求出AE，进而求出AC，即可得出结论.
19．（2025八上·新津开学考）已知，，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
，即，
，
，
故答案为：8．
【分析】
先根据幂的乘方得出的值，再利用同底数幂的除法的逆运算即可．
20．（2025八上·新津开学考）在直角△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是 ．
【答案】7.2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：如图，设点C到斜边AB的距离是h，
在 中， 9，BC=12，
故答案为： 7.2.
【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论.
21．（2025八上·新津开学考）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC=5，动点P从点C出发，沿C A D C运动.设点P的运动路程为xcm，△BCP的面积为ycm2.若y与x的对应关系如图所示，则图中a b= ．
【答案】3
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P在CA上运动且到达点A处时，
当点P运动到点D处时，点P的运动路程为AC+CD=9，
故答案为： 3.
【分析】根据点P运动到点A及点D处时的运动路程与运动时间的关系，判断出所求坐标即可解答.
22．（2025八上·新津开学考）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如右图，已知电梯的长、宽、高分别是1.2m，0.9m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 m.
【答案】2.5
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由勾股定理知：
即电梯内能放入这些木条的最大长度是2.5m.
故答案为： 2.5.【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出AC即可.
23．（2025八上·新津开学考）如果一个四位自然数M=abcd满足a+d=3(b+c)，那么称这个四位数为“和雅数”.例如：四位数8031，因为8+1=3(0+3)，所以8031是“和雅数”；又如：四位数9132，因为9+2≠3(1+3)，所以9132不是“和雅数”．
若M=是“和雅数”，则M的最大值是 ；
若M=是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数M1=，记F(M)=|b c|，若M1=是11的倍数，则F(M)的最大值与最小值的和为 ．
【答案】9609；5
【知识点】整式的加减运算；枚举法
【解析】【解答】解： 是“和雅数”， 则a+d=3(b+c)，个位数字最大是9，千位数字最大也是9，
∴18=3(b+c)，
∴b+c=6，
当b=6， c=0时最大，
∴M的最大值是9609；
故答案为： 9609；
(2)根据题意， 是一个“和雅数”，
则a+d=3(b+c)，去掉其十位数字得到一个三位数. 10b+3b+3c-a=99a+11b+2b+3c， 又∵
是11的倍数，
∴c一定是奇数，
当c=1时，
当c=3时，
当c=5时， 舍去，
当b=4， c=1时， F(M)最大， 且为F(M)=|b-c|=3， 当b=1， c=3时， F(M)最小， 且为F(M)=|b-c|=2，
∴3+2=5，
故答案为：5.
【分析】(1)根据个位数字最大是9，千位数字最大也是9，故18=3(b+c)， 故b+c=6， 当b=6， c=0时最大，故M的最大值是9609；
(2)根据题意2b+3c=11即3c=11-2b.代入解答即可.
24．（2025八上·新津开学考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形.用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积.
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式，(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系： ；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知，a+b=6，a2+b2=20，求ab的值；
②已知(2024 a)2+(a 2025)2=7，求(2024 a)(a 2025)的值
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
又·.
②设2024-a=x，a-2025=y，则x+y=-1
即(2024-a)(a-2025)=4.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】(1)方法1：图2是边长为((a+b))的正方形，
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
故答案为：
(2)由 (1) 可得：
故答案为： ；
【分析】(1)方法1：图2是边长为(a+b)的正方形，利用正方形的面积公式可得出 方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出 ；
(2)由图2中的图形面积不变得到等式即可
(3)①由(a+b=2可得出 将其和 代入 中即可求出ab的值；
②设2024-a=x，a-2025=y，则x+y=-1，由 可得出 将其和 代入 中即可求出 xy的值，即((2024-a)(a-2025)的值.
25．（2025八上·新津开学考）已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地.如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S(千米)与该日下午时间t(时)之间的关系.根据图象回答下列问题：
（1）直接写出：甲出发 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 千米/时.
（2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？
（3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米.若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长.
【答案】（1）1；50；12.5
（2）解：EF段的速度为( )(千米/时)，则对应的函数关系式为，S=20+10(t-2)=10t，
MN段对应的函数关系式为，S=50(t-2)=50t-100，
当二人相遇时，得10t+50t-100=50，解得t=2.5，
2.5-1=1.5(小时)。
答：甲出发1.5小时后与乙在途中相遇.
（3）解：乙到达A地后休息半小时原路返回B地的图象(对应线段PQ)如图所示：
二人第一次相遇前，相距5千米时，得10t+50t-100+5=50，
解得
二人第一次相遇后至乙到达A地前，相距5千米时，得60(t-2.5)=5，
解得
由题意可知，当 时，二人之间的距离不超过5千米，
(小时)；
当t=3+0.5=3.5时乙休息结束并开始返回A地，当t=3.5+1=4.5时乙返回到A地，乙返回B地过程中离A地距离为50(t-3.5)=50t-175，这个过程中当二人之间的距离不超过5千米时，得
解得
由题意可知，当 时，二人之间的距离不超过5千米，
(小时)；
(小时)。
答：甲乙两人能够通讯的最大时长为 小时.
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】(1)解：甲出发2-1=1(小时)后，乙才开始出发；
乙的速度为 (千米/时)；
甲骑自行车在全程的平均速度为 (千米/时)。
故答案为： 1， 50， 12.5.
【分析】(1)观察图象并根据速度=路程÷时间计算即可；
(2)分别写出EF段、MN段对应的函数关系式，根据二人相遇时行驶的路程之和为A、B两地之间的距离列关于t的一元一次方程并求解即可；
(3)将二人之间的距离不超过5千米的时间段加起来即可.
26．（2025八上·新津开学考）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BD、CE．
（1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD=CE；
（2）如图2，∠BAC=∠DAE=120°，BC=10，且点E落在BC边上.若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE=60°，求△BDM的周长；
（3）如图3，∠BAC=∠DAE=120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF(点F在直线BC下方)，连接CF．当∠ACF=∠CBD时，求∠EAF的度数
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC， AE=AD，
∴△ABD≌△AEC (SAS) .
∴BD=CE.
（2）解：∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE.
即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC， AE=AD，
∴△ABD≌△AEC (SAS) .
∴BD=CE.
∵∠BAM+∠CAE=60°，
∴∠EAM=∠BAC - (∠BAM+∠CAE) =60°.
∴∠DAM=∠DAE-∠EAM=60°.
∴∠DAM=∠EAM.
∴AM垂直平分DE.
∴DM=EM.
∴△BDM的周长为
BM+DM+BD=BM+EM+CE=BC=10.
（3）解：延长DH到点I， 使IH=DH， 连接FD， FI， FE，Cl.
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE.
即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC， AE=AD，
∴△ABD≌△AEC (SAS)
∴∠ABD=∠ACE， BD=CE.
∵点H为底边BC的中点，
∴BH=CH.
∵∠BHD=∠CHI，
∴△BHD≌△CHI (SAS)
∴BD= Cl， ∠HBD=∠HCl.
∵∠ACF=∠CBD，
∴∠ACF=∠HCl.∴∠ACF-∠HCF=∠HCl-∠HCF.
即∠ACB=∠FCI.
°，
∴∠FCI=30°.
∵∠ACF-∠ACE=∠CBD-∠ABD
即∠ECF=∠CBA=30°.
∴∠ECF=∠ICF=30°.
∵CE= Cl， CF=CF，
∴△CEF≌△CIF (SAS) ，
∴FI=FE，
∵FH⊥DH，
∴FI=FD，
∴FD=FE，
∵AF=AF， AD=AE，
∴△AFD≌△AFE (SSS) ，
60°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1) 先证明∠BAC=∠DAE， 证明△ABD≌△AEC(SAS)即可得出结论；
(2) 先证明△ABD≌△AEC (SAS) ， 得出BD=CE， ∠BAD=∠CAE， 再证明AM垂直平分DE， 即可求出结论；
(3) 延长DH到点I， 使IH=DH， 连接FD， FI， FE，Cl， 证明△ABD≌△AEC (SAS) ， 得∠ABD=∠ACE，BD=CE， 再证明△CEF≌△CIF (SAS) ， 从而证明△AFD≌△AFE (SSS) ， 可得出∠EAF=∠DAF 求出结论.
1 / 1四川省成都市新津区成外学校2025-2026学年八年级上学期期初超越杯素养体验数学试题
1．（2025八上·新津开学考）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．随意翻开一本书，这页的页码是奇数
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．足球运动员射门一次，球射进球门
2．（2025八上·新津开学考）计算的结果是（ ）
A． 1 B． 3 C． D．3
3．（2025八上·新津开学考）已知m+n=2，mn= 2，则(1 m)(1 n)的值为（ ）
A． 1 B．1 C． 3 D．5
4．（2025八上·新津开学考）若关于x的多项式(x2+2x+4)(x+k)展开后不含有一次项，则实数k的值为（ ）
A． 1 B．2 C．3 D．-2
5．（2025八上·新津开学考）下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2025八上·新津开学考）下列说法中，正确的是（ ）
① 64的立方根是4；②49的算术平方根是±7；③的立方根是；④的平方根是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025八上·新津开学考）如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE//AB，求∠DOC的度数为（ ）
A．124° B．102° C．92° D．88°
8．（2025八上·新津开学考）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·新津开学考）若代数式5 4x与值相等，则x的值是 ．
10．（2025八上·新津开学考）若3m=6，3n=2，则32m 3n+1= ．
11．（2025八上·新津开学考）等腰三角形一外角为110°，则其顶角的度数为 ．
12．（2025八上·新津开学考）小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的关系式为 ．
13．（2025八上·新津开学考）如图，在等边三角形ABC中，AD是角平分线，P为线段AD上一动点，M为AC的中点，连接PM，PC，若PM+PC的最小值为15cm，则AD＝ cm.
14．（2025八上·新津开学考）计算：
（1）
（2）
15．（2025八上·新津开学考）先化简，再求值：(2x+3y)2 (2x+y)(2x y)，其中x= ，y=1.
16．（2025八上·新津开学考）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB//DE，BE=CF．
（1）求证：AC//DF；
（2）若∠B=65°，∠F=35°，求∠EOC的度数．
17．（2025八上·新津开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
（1）在网格中作△ABC关于直线l对称的△DEF．
（2）结合所画图形，在直线l上作出点P，使PA+PC的值最小，若这个最小值为a，求a2的值．
18．（2025八上·新津开学考）如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE=45 .
（1）求证：△AEF≌△CEB．
（2）若G在BC的延长线上，连接GA，若GA=GB，求证：AC平分∠DAG．
（3）如图2，在（2）的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC=4，∠BAD=15°，求AM的长.
19．（2025八上·新津开学考）已知，，则的值为 ．
20．（2025八上·新津开学考）在直角△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是 ．
21．（2025八上·新津开学考）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC=5，动点P从点C出发，沿C A D C运动.设点P的运动路程为xcm，△BCP的面积为ycm2.若y与x的对应关系如图所示，则图中a b= ．
22．（2025八上·新津开学考）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如右图，已知电梯的长、宽、高分别是1.2m，0.9m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 m.
23．（2025八上·新津开学考）如果一个四位自然数M=abcd满足a+d=3(b+c)，那么称这个四位数为“和雅数”.例如：四位数8031，因为8+1=3(0+3)，所以8031是“和雅数”；又如：四位数9132，因为9+2≠3(1+3)，所以9132不是“和雅数”．
若M=是“和雅数”，则M的最大值是 ；
若M=是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数M1=，记F(M)=|b c|，若M1=是11的倍数，则F(M)的最大值与最小值的和为 ．
24．（2025八上·新津开学考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形.用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积.
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式，(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系： ；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知，a+b=6，a2+b2=20，求ab的值；
②已知(2024 a)2+(a 2025)2=7，求(2024 a)(a 2025)的值
25．（2025八上·新津开学考）已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地.如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S(千米)与该日下午时间t(时)之间的关系.根据图象回答下列问题：
（1）直接写出：甲出发 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 千米/时.
（2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？
（3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米.若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长.
26．（2025八上·新津开学考）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BD、CE．
（1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD=CE；
（2）如图2，∠BAC=∠DAE=120°，BC=10，且点E落在BC边上.若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE=60°，求△BDM的周长；
（3）如图3，∠BAC=∠DAE=120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF(点F在直线BC下方)，连接CF．当∠ACF=∠CBD时，求∠EAF的度数
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：选项A：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为 无 论三角形形状如何，此结论必然成立，属于必然事件，符合题意.
选项B：书的页码可能是奇数或偶数，结果具有随机性，属于随机事件，不符合题意.
选项C：交通信号灯可能显示红、黄、绿三种颜色，遇到绿灯是随机事件，不符合题意.
选项D：足球射门可能进球或未进球，结果不确定，属于随机事件，不符合题意.
故选： A.
【分析】根据必然事件的定义，即在一定条件下必然会发生的事件，对各选项逐一判断.
2．【答案】D
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】按照积的乘方的逆运算解答即可.
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
2-2=-3；
故选： C.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，然后整体代入计算即可.
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
∵展开后不含有一次项，
解得：k=-2.
故答案为：D.
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可.
5．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
D．由能推出或，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】根据等式的性质“等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的两边都乘（除）同一个不为零的数，等式仍成立；”逐项判断即可．
6．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： 的立方根是-4，∴①错误；
∵49的算术平方根是7，∴②错误；
的立方根是 ，∴③正确；
的平方根是 ④错误，
即正确的有1个，
故选： A.
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义求出每个的值，再根据结果判断即可.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC =∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B =∠ACB=∠ACE = 60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE =∠BAC = 60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠BAD=28°，
∴∠OAD=60°-28°= 32°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B =∠ACE， 再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°， 然后证明△ABC是等边三角形， △ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，则y=x+4.5，
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则
故选B.
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决.
9．【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
去分母得，
去括号得10-8x=2x-1，
移项得-8x-2x=-1-10
合并同类项得-10x=-11
系数化为1得x=，
故答案为：.
【分析】根据题意建立方程，然后利用 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解x的值即可.
10．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：因为
所以
故答案为：.
【分析】先根据幂的乘方求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法的逆运算解答即可.
11．【答案】70°或40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个的外角是顶角的外角，则等腰三角形的顶角是
当这个的外角是底角的外角，则等腰三角形的底角是
所以等腰三角形的顶角为
故答案为：70°或40°
【分析】分两种情况讨论：当这个的外角是顶角的外角，当这个的外角是底角的外角，根据外角的性质和等边对等角解答即可.
12．【答案】h=3x+80
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：h=3x+80，
故答案为：h=3x+80.
【分析】苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，可知树苗高度为80加上3x解答即可.
13．【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PB，BM，
∵在等边三角形ABC中，AD是角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PM+PC＝PM+PB，
由两点之间线段最短可知，当点B，P，M在一条直线上时，PM+PC取值最小，最小值为BM＝15cm，
∵△ABC为等边三角形，M为AC的中点，
∴AD＝BM＝15cm.
故答案为：15.
【分析】连接PB，BM，由等边三角形的三线合一得AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PB=PC，则PM+PC＝PM+PB，由两点之间线段最短可知，当点B，P，M在一条直线上时，PM+PC取值最小，最小值为BM＝15cm，进而由等边三角形的性质得AD=BM，据此即可得出答案.
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】单项式乘单项式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先计算乘方与开方，再计算绝对值，最后计算加减即可；
(2)根据单项式的乘法、除法法则计算即可.
15．【答案】解：
当 时，
原式
=-6+10
=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可.
16．【答案】（1）证明： ∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由 (1) 得∠B =∠DEF， ∠ACB=∠F，∴∠DEF =∠B=65°， ∠ACB=∠F =35°，
在△EOC中， ∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180°-∠DEF-∠ACB=180°-65°-35°= 80°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)由AB∥DE得∠B=∠DEF， 根据BE=CF得BC= EF， 可证明△ABC≌△DEF(SAS)， 根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论；
(2)由全等三角形的性质得到∠DEF =65°， ∠ACB=35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC.
17．【答案】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质即可在网格中作 关于直线l对称的
(2)连接AF交直线l于点P，根据两点之间线段最短得PA+PC的最小值为AF的长，进而可以求 的值.
18．【答案】（1）证明： ∵CE⊥AB，
∴∠AEC =∠BEC = 90°，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE = 45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC =90°，
∴∠ECB+∠CFD=90°，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠ECB+∠AFE=90°，
∵∠EAF+∠AFE=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)；
（2）证明；∵△AEF≌△CEB，
∴∠AFE=∠B，
∵∠AFE=∠ACE+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠B=45°+∠CAD，
∵AG= BG，
∴∠B=∠BAG，
∴∠BAG=45°+∠CAD，
∵∠BAG=∠CAE+∠CAG=45°+∠CAG，
∴∠CAD=∠CAG，
∴AC平分∠DAG；
（3）解：∵∠BAD=15°， ∠CAE = 45°，
∴∠CAD =∠CAE-∠BAD =30°，
∵∠CAD=∠CAG，
∴∠DAG=2∠CAD = 60°，在Rt△ADG中， 点H是AG的中点，
∴DH=AH，
∴△ADH是等边三角形，
∴∠ADH = 60°， AD = AH，
∵∠CAD=∠CAG，
∴AC⊥DH，
即： ∠AMD =∠DMC = 90°∵∠ADC =90°，
∴∠CDM =30°，
在Rt△DMC中， 在Rt△AMD中， M=3CM，
∵∠AEC=90°， AE =CE，
∴AM+CM=8，
∵AM =3CM，
∴3CM+CM =8，
∴CM=2，
∴AM=3CM=6.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)先判断出AE=CE，再利用等角的余角相等判断出∠EAF =∠ECB， 进而判断出△AEF≌△CEB，即可得出结论；
(2)先利用三角形外角的性质得出∠AEF =45°+∠CAD， 进而得出∠B=45°+∠CAD， 而∠B=∠BAG， 得出∠BAG=45°+∠CAD， 而∠BAG = 45°+∠CAG， 即可得出结论；
(3)先判断出△ADH是等边三角形，进而利用含30度角的直角三角形的性质判断出AM =3CM，进而求出△ACM的面积，即可求出AE，进而求出AC，即可得出结论.
19．【答案】8
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
，即，
，
，
故答案为：8．
【分析】
先根据幂的乘方得出的值，再利用同底数幂的除法的逆运算即可．
20．【答案】7.2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：如图，设点C到斜边AB的距离是h，
在 中， 9，BC=12，
故答案为： 7.2.
【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论.
21．【答案】3
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P在CA上运动且到达点A处时，
当点P运动到点D处时，点P的运动路程为AC+CD=9，
故答案为： 3.
【分析】根据点P运动到点A及点D处时的运动路程与运动时间的关系，判断出所求坐标即可解答.
22．【答案】2.5
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由勾股定理知：
即电梯内能放入这些木条的最大长度是2.5m.
故答案为： 2.5.【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出AC即可.
23．【答案】9609；5
【知识点】整式的加减运算；枚举法
【解析】【解答】解： 是“和雅数”， 则a+d=3(b+c)，个位数字最大是9，千位数字最大也是9，
∴18=3(b+c)，
∴b+c=6，
当b=6， c=0时最大，
∴M的最大值是9609；
故答案为： 9609；
(2)根据题意， 是一个“和雅数”，
则a+d=3(b+c)，去掉其十位数字得到一个三位数. 10b+3b+3c-a=99a+11b+2b+3c， 又∵
是11的倍数，
∴c一定是奇数，
当c=1时，
当c=3时，
当c=5时， 舍去，
当b=4， c=1时， F(M)最大， 且为F(M)=|b-c|=3， 当b=1， c=3时， F(M)最小， 且为F(M)=|b-c|=2，
∴3+2=5，
故答案为：5.
【分析】(1)根据个位数字最大是9，千位数字最大也是9，故18=3(b+c)， 故b+c=6， 当b=6， c=0时最大，故M的最大值是9609；
(2)根据题意2b+3c=11即3c=11-2b.代入解答即可.
24．【答案】（1）；
（2）
（3）解：
又·.
②设2024-a=x，a-2025=y，则x+y=-1
即(2024-a)(a-2025)=4.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】(1)方法1：图2是边长为((a+b))的正方形，
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
故答案为：
(2)由 (1) 可得：
故答案为： ；
【分析】(1)方法1：图2是边长为(a+b)的正方形，利用正方形的面积公式可得出 方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出 ；
(2)由图2中的图形面积不变得到等式即可
(3)①由(a+b=2可得出 将其和 代入 中即可求出ab的值；
②设2024-a=x，a-2025=y，则x+y=-1，由 可得出 将其和 代入 中即可求出 xy的值，即((2024-a)(a-2025)的值.
25．【答案】（1）1；50；12.5
（2）解：EF段的速度为( )(千米/时)，则对应的函数关系式为，S=20+10(t-2)=10t，
MN段对应的函数关系式为，S=50(t-2)=50t-100，
当二人相遇时，得10t+50t-100=50，解得t=2.5，
2.5-1=1.5(小时)。
答：甲出发1.5小时后与乙在途中相遇.
（3）解：乙到达A地后休息半小时原路返回B地的图象(对应线段PQ)如图所示：
二人第一次相遇前，相距5千米时，得10t+50t-100+5=50，
解得
二人第一次相遇后至乙到达A地前，相距5千米时，得60(t-2.5)=5，
解得
由题意可知，当 时，二人之间的距离不超过5千米，
(小时)；
当t=3+0.5=3.5时乙休息结束并开始返回A地，当t=3.5+1=4.5时乙返回到A地，乙返回B地过程中离A地距离为50(t-3.5)=50t-175，这个过程中当二人之间的距离不超过5千米时，得
解得
由题意可知，当 时，二人之间的距离不超过5千米，
(小时)；
(小时)。
答：甲乙两人能够通讯的最大时长为 小时.
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】(1)解：甲出发2-1=1(小时)后，乙才开始出发；
乙的速度为 (千米/时)；
甲骑自行车在全程的平均速度为 (千米/时)。
故答案为： 1， 50， 12.5.
【分析】(1)观察图象并根据速度=路程÷时间计算即可；
(2)分别写出EF段、MN段对应的函数关系式，根据二人相遇时行驶的路程之和为A、B两地之间的距离列关于t的一元一次方程并求解即可；
(3)将二人之间的距离不超过5千米的时间段加起来即可.
26．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC， AE=AD，
∴△ABD≌△AEC (SAS) .
∴BD=CE.
（2）解：∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE.
即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC， AE=AD，
∴△ABD≌△AEC (SAS) .
∴BD=CE.
∵∠BAM+∠CAE=60°，
∴∠EAM=∠BAC - (∠BAM+∠CAE) =60°.
∴∠DAM=∠DAE-∠EAM=60°.
∴∠DAM=∠EAM.
∴AM垂直平分DE.
∴DM=EM.
∴△BDM的周长为
BM+DM+BD=BM+EM+CE=BC=10.
（3）解：延长DH到点I， 使IH=DH， 连接FD， FI， FE，Cl.
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE.
即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC， AE=AD，
∴△ABD≌△AEC (SAS)
∴∠ABD=∠ACE， BD=CE.
∵点H为底边BC的中点，
∴BH=CH.
∵∠BHD=∠CHI，
∴△BHD≌△CHI (SAS)
∴BD= Cl， ∠HBD=∠HCl.
∵∠ACF=∠CBD，
∴∠ACF=∠HCl.∴∠ACF-∠HCF=∠HCl-∠HCF.
即∠ACB=∠FCI.
°，
∴∠FCI=30°.
∵∠ACF-∠ACE=∠CBD-∠ABD
即∠ECF=∠CBA=30°.
∴∠ECF=∠ICF=30°.
∵CE= Cl， CF=CF，
∴△CEF≌△CIF (SAS) ，
∴FI=FE，
∵FH⊥DH，
∴FI=FD，
∴FD=FE，
∵AF=AF， AD=AE，
∴△AFD≌△AFE (SSS) ，
60°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1) 先证明∠BAC=∠DAE， 证明△ABD≌△AEC(SAS)即可得出结论；
(2) 先证明△ABD≌△AEC (SAS) ， 得出BD=CE， ∠BAD=∠CAE， 再证明AM垂直平分DE， 即可求出结论；
(3) 延长DH到点I， 使IH=DH， 连接FD， FI， FE，Cl， 证明△ABD≌△AEC (SAS) ， 得∠ABD=∠ACE，BD=CE， 再证明△CEF≌△CIF (SAS) ， 从而证明△AFD≌△AFE (SSS) ， 可得出∠EAF=∠DAF 求出结论.
1 / 1
