上海市金山中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题

金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷
（考试时间：90分钟　满分：100分）
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1.
计算：．
2.
若，且，则=
．
3.
利用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边是
.
4.
函数的最小正周期为___________.
5.
已知，则
.
6.
函数在的值域是
.
7
.
设等比数列的首项为，公比为，所有项和为1，则首项的取值范围是
.
8.
已知数列满足：，
，则
．
9.
对于函数和实数，若存在，使
成立，则称为函数关于的一个“生长点”．若为函数关于的一个“生长点”，则
.
10.
如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，设,则阴影部分的面积是
.
11.
对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是
.
12．已知函数，关于此函数的说法正确的序号是
.
①为周期函数；
②有对称轴；
③为的对称中心
；④.
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．
13.
在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的
（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
14.同时具有性质：①最小正周期是；
②图像关于直线对称；
③在区间上是
“单调递增函数”的一个函数可以是
（
）
A．
B．
C．
D．
15.
已知数列，对于任意的正整数，，设表示数列的前项和．下列关于的结论，正确的是
（
）．
A．
B．
C．（）
D．以上结论都不对
16．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半
(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数
(首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为
（
）
A．3
B．4
C．5
D．32
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分8分）
已知,．求和的值．
解：
18．（本题满分10分，共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
已知顶点在单位圆上的中，角、、的对边分别为、、，且
．
（1）的值；
（2）若，求的面积．
解：
19．（本题满分10分，共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
已知等差数列满足，，其前项和为.
（1）求的通项公式及；
（2）令，求数列的前项和，并求的值.
解：
20．（本题满分10分，共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为．
（1）求实数的值；
（2）求函数与直线相邻交点间距离的最小值.
解：
21．（本题满分14分，共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分,
第3小题满分6分）
正项数列:，满足:
是公差为的等差数列，
是公比为2的等比数列．
（1）若，求数列的所有项的和；
（2）若，求的最大值；
（3）是否存在正整数，满足 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：
金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷
（考试时间：90分钟　满分：100分　命题人：孙冠军　审核人：龚伟杰）
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1.
计算：．0
2.
若，且，则=
．
3.
利用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边是
.
4.
函数的最小正周期为___________.
5.
已知，则
.
6.
函数在的值域是
.
7
.
设等比数列的首项为，公比为，所有项和为1，则首项的取值范围是
.
8.
已知数列满足：，
，则
．
9.
对于函数和实数，若存在，使
成立，则称为函数关于的一个“生长点”．若为函数关于的一个“生长点”，则_
_.
10.
如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，设,则阴影部分的面积是
.
11.
对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是
.
12．已知函数，关于此函数的说法正确的序号是
.
①②④
①为周期函数；
②有对称轴；
③为的对称中心
；④.
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．
13.
在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的
（
C
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
14.同时具有性质：①最小正周期是；
②图像关于直线对称；
③在区间上是
“单调递增函数”的一个函数可以是
（
D
）
A．
B．
C．
D．
15.
已知数列，对于任意的正整数，，设表示数列的前项和．下列关于的结论，正确的是
（
B
）．
A．
B．
C．（）
D．以上结论都不对
16．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半
(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数
(首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为
（
A
）
A．3
B．4
C．5
D．32
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分8分）
已知,．求和的值.
解：
，，
又，，∴
∴，
∴
8分
18．（本题满分10分，共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
已知顶点在单位圆上的中，角、、的对边分别为、、，且
．
（1）的值；
（2）若，求的面积．
解：（1）∵，
∴，
∴，
2分
∵，∴，
∴．
3分
∵，∴，
∴，∴．
5分
（2）由，得，
6
分
由，得．
7分
∵，
∴，
8分
∴．
10分
19．（本题满分10分，共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
已知等差数列满足，，其前项和为.
（1）求的通项公式及；
（2）令，求数列的前项和，并求的值.
解：（1）设等差数列的公差为，
由，得，
又，解得．
1
分
所以．
3分
所以．
5分
（2）由，得．
7分
设的前项和为，
则
9分
．
10分
20．（本题满分10分，共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为．
（1）求实数的值；
（2）求函数与直线相邻交点间距离的最小值.
解：（1）
所以，
2分
，
∴当时，即时，函数取得最大值，
则．
5分
（2）∴，
或
7分
解得或，.
8分
因为，当时取等号,
∴
相邻交点间距离的最小值是
10分
21．（本题满分14分，共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分,
第3小题满分6分）
正项数列:，满足:
是公差为的等差数列，
是公比为2的等比数列．
（1）若，求数列的所有项的和；
（2）若，求的最大值；
（3）是否存在正整数，满足 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知，
1分
故为：2，4，6，8，10，12，14，16；公比为2，则对应的数为2，4，8，16，
从而即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；
此时
4分
（2）是首项为2，公差为2
的等差数列，
故，从而，
而首项为2，公比为2的等比数列且，
故有；即,即必是2的整数幂
又，要最大，必需最大，，故的最大值为，
所以，即的最大值为1033
8分
（3）由数列是公差为的等差数列知，，而
是公比为2的等比数列，则，故，即，
又，，则
，即，则，即
显然，则，所以，将，代入验证知，
当时，上式右端为8，等式成立，此时，
综上可得：当且仅当时，存在满足等式
14分