21.1
一元二次方程
知识点
1.只含有
个未知数，并且未知数的
方程叫一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
，其中二次项为
，一次项
，常数项
，二次项系数
，一次项系数
.
3.使一元二次方程左右两边
叫一元二次方程的解。
一．选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x-2=0
B．x2-4x-1=0
C．x2-2x-3
D．xy+1=0
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．5x+3=0
B．x2-x（x+1）=0
C．4x2=9
D．x2-x3+4=0
3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．a=±2
B．a=-2
C．a=2
D．a为任意实数
4．把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）
A．2，-3
B．-2，-3
C．2，-3x
D．-2，-3x
5．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2-1=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1
B．2
C．1或-1
D．0
6．把方程2（x2+1）=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是（ ）
A．8
B．9
C．-2
D．-1
7．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
8．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（ ）
A．2018
B．2008
C．2014
D．2012
二．填空题
9.当m=
时，关于x的方程是一元二次方程；
10．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是
.
11．方程的一次项系数是
.
12．一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是
.
13．关于x的一元二次方程3x（x-2）=4的一般形式是
.
14．方程3x2=5x+2的二次项系数为
，一次项系数为
.
15．已知x=-1是方程x2+mx+1=0的一个根，则m=
.
16．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为
．
17．若关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0的一个根为0，则m值是
.
18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c=
，a-b+c=
．
三．解答题
19．若（m+1）x|m|+1+6-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
20．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
2１．一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根．
21.1
一元二次方程
知识点
1.一，最高次数是2的整式。
2.，，,,,.
3.相等的未知数的值。
一．选择题
1.
解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、x2-2x-3是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；
故选B
2.
解：A、方程5x+3=0未知数的最高次数是1，属于一元一次方程；故本选项错误；
B、由原方程，得-x=0，属于一元一次方程；故本选项错误；
C、一元二次方程的定义；故本选项正确；
D、未知数x的最高次数是3；故本选项错误；
故选C
3.
分析：本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
故选C
4.
解：一元二次方程2x（x-1）=（x-3）+4，
去括号得：2x2-2x=x-3+4，
移项，合并同类项得：2x2-3x-1=0，
其二次项系数与一次项分别是2，-3x．
故选C
5.
解：∵x2+5x+m2-1=0的常数项为0，
∴m2-1=0，
解得：m=1或-1．
故选C
6.
解：2（x2+1）=5x，
2x2+2-5x=0，
2x2-5x+2=0，
这里a=2，b=-5，c=2，
即a+b+c=2+（-5）+2=-1，
故选D
7.
解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32-3k-6=0成立，解得k=1．
故选A．
8.
解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a 12+b 1+5=0，
∴a+b=-5，
∴2013-a-b=2013-（a+b）=2013-（-5）=2018．
故选A
二．填空题
9.
解：由一元二次方程的特点得m2-7=2，即m=±3，m=3舍去，即m=-3时，原方程是一元二次方程
10.
解：化为一般形式是（k-3）x2+x-1=0，根据题意得：k-3≠0，
解得k≠3．
11.
解：（3x-1）（x+1）=5，
去括号得：3x2+3x-x-1=5，
移项、合并同类项得：3x2+2x-6=0，
即一次项系数是2，
故答案为：2．
12.
解：一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是：2．
故答案是：2．
13.
解：方程3x（x-2）=4去括号得3x2-6x=4，移项得3x2-6x-4=0，原方程的一般形式是3x2-6x-4=0．
14.
解：∵3x2=5x+2的一般形式为3x2-5x-2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为-5．
15.
解：把x=-1代入方程可得：1-m+1=0，
解得m=2．
故填2．
16.
解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，
∴m+n+1=0，
∴m+n=-1，
∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（-1）2=1．
17.
解：根据题意，得
x=0满足关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0，
∴m2-4=0，
解得，m=±2；
又∵二次项系数m-2≠0，即m≠2，
∴m=-2；
故答案为：-2．
18.
解：根据题意，一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，一个根为-1，
即x=1或-1时，ax2+bx+c=0成立，
即a+b+c=0或a-b+c=0
故答案为0，0．
三．解答题
19.
本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解得m=1．
20.
解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
21.
把a（x+1）2+b（x+1）+c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照3x2+2x-1=0，求出a、b、c的值，再代入计算．a2+b2-c2的值的算术平方根是5．21.1一元二次方程
1．下列方程中是一元二次方程的是（
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
2．方程化为形式后，的值为（
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
3．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为（
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
4.下列各数是方程的根是(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
5．方程中二次项系数是
，一次项系数是
，常数项是
．
6．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是
．
7．已知3是关于的方程的一个解，则的值是
.
8．关于的方程，当
时是一元二次方程；当
时是一元一次方程．
9.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为
10．根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
（1）两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数．
（2）绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？
（3）某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少
参考答案：1．D；
2．C；
3．B
4．C
5.
3、、；
6．；
7.
13；
8.
；
9.
x（5﹣x）=6
10．（1）[解]设第一个偶数为x，第二个偶数为x+2，依题意得，
整理得；
（2）[解]设宽为x米，长为（x+11）米，依题意得，
整理得；
（3）[解]设每次降低x，依题意得，整理得；
