人教版（2024）九年级上册 22.3.2 实际问题与二次函数（第二课时）教学设计

22.3 实际问题与二次函数（第二课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.教学内容
本课时是人教版《义务教育教科书 数学》九年级上册教材第二十二章二次函数，22.3实际问题与二次函数（第2课时），内容为用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题----利润问题，是二次函数章节的核心应用，是培养学生数学建模能力的典型课例。
内容解析
利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；(3)确定函数解析式和自变量的取值范围；(4)确定二次函数的最值；(5)检验、解决实际问题。做题时既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型。本节课是在上一节课学习了二次函数实际应用的基础上，进一步研究二次函数在利润问题中的实际应用，并运用这个结论解决相关的实际问题。 函数最值问题为高中阶段学习函数知识打下坚实的理论和方法基础，起到承上启下的作用，同时也是中考的热点考点。
3.学情分析
学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，能识别函数的增减性和最值，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，初步具备几何直观、应用意识、模型观念等核心素养。这为本节课的学习奠定了基础。但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大。本节课将进一步提高学生利用所学知识构建数学模型和解决实际问题的能力。
二、教学目标
1. 知识与技能：
1）根据实际问题，能熟练地从“总利润=单件利润×销量”这一基本关系出发，列出函数关系式并确定自变量的取值范围。
2）通过二次函数顶点公式及性质求实际问题中的最值。
3）通过自主探索和合作交流经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，发展合情推理，体会到数学来源于生活，又服务于生活。
2. 过程与方法：在“商品定价”的创业项目中，经历“数据收集→建立模型→求解验证→决策优化”的完整探究过程，体会数学建模的一般方法，参透转化及分类的数学思想。
3. 情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
3）创设真实、完整、富有挑战性的学习情境。将学生从“解题者”转变为“问题解决者”和“决策者”。培养用数据说话的科学精神，增强团队协作和应用意识。
4） 核心素养：模型观念、应用意识、数据分析观念、创新意识。
三．教学重难点
教学重点：分析利润问题中的数量关系，建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围，运用二次函数的最大（小）值解决实际问题。
教学难点：理解“涨价”与“降价”模型的统一性，通过二次函数顶点公式求实际问题中的最值。
四、教学准备
教师：多媒体课件、GeoGebra动态数学软件、预设的学生学习路径。
学生：复习二次函数性质、计算器、分组学习任务单。
教学过程设计
（一）创设情景，引入新课（3分钟）
1.复习：如何求出二次函数的最小（大）值：由于抛物线的顶点是最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值。
（设计意图：通过复习，为后面探索二次函数在利润最值问题做好铺垫。）
2.简述用二次函数解决实际问题的一般步骤？
师生活动：教师提出问题，学生回答．
（设计意图：复习回顾用二次函数解决实际问题的一般步骤为本节课学习利用二次函数解决利润最值问题进行铺垫。）
（二）探究新知
第一幕：项目启动——直面经营困境 (3分钟)
1. 情境导入：
同学们，我们班的‘校园爱心创业项目’正式启动！我们决定销售一款定制产品。该产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大
2. 认知冲突，提出问题：
“作为商场负责人，你认为为了获得更高的总利润，我们应该涨价还是降价？”
（学生活动）小组短暂讨论，基于生活经验发表看法。
（教师引导）“大家的直觉都有道理。涨价，单瓶利润高了，但销量可能会降；降价，销量可能上升，但单瓶利润变薄。那么，是否存在一个‘黄金定价’，能使我们的日均总利润达到最大？”
3. 揭示课题：今天，我们就化身“CEO”，用二次函数这个强大的数学工具，做出最科学的经营决策！
（设计意图：用学生亲身参与的“创业项目”开场，赋予数学问题真实的意义。通过制造“涨价还是降价”的认知冲突，强烈激发学生的探究欲。）
第二幕：市场调研——构建数学模型 (5分钟)
1.梳理核心关系
师:：题中调整价格的方式有哪些？
生：涨价和降价．
师:：如何表达售价、进价、销售数量与总利润之间的关系？
生：总利润=（售价－成本） ×销售数量=每件产品利润×销售数量．
2.建立“涨价模型”：
师：我们首先考虑“涨价”策略。设每件商品在60元基础上涨价x元。
（师生互动）引导学生填写任务单：
每件商品涨价元，则此时每星期少卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为 元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元
生：每星期少卖 10x 件，实际卖出 (300-10x) 件，此时每件产品的销售价为（60+x）元，每周产品的销售额 （60+x）(300-10x) 元，此时每周产品的成本 40(300-10x) 元
师：建立模型，周利润 y =
生：y=(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)=－10x2＋100x＋6 000．
第三幕：数据分析——求解模型与验证 (8分钟)
1. 代数求解——“涨价模型”的最优解：
师：如何定价才能使每周利润最大化？
生：求函数y=－10x2＋100x＋6 000的最大值。
（学生活动）生1：用顶点坐标公式 计算。
=5，
生2：y＝－10x2＋100x＋6 000=+6250．
∴=5，
初步结论：涨价5元，即定价为65元时，周总利润最大，为6250元。
2. 几何验证——“数形结合”的直观感知：
教师演示：利用GeoGebra动态绘制函数 y = -10x + 100x + 6000 的图象。
引导学生观察：抛物线的开口方向？对称轴？顶点坐标？
动态展示一个点沿抛物线移动，其纵坐标（利润）的变化过程，在顶点处达到最高点。
师：图象直观地证实了我们的计算结果。
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元
（设计意图：代数求解是基础，几何验证是深化。GeoGebra的动态演示将抽象的“最值”可视化，让学生深刻理解顶点坐标的实际意义，完美体现数形结合思想。）
师：简述利用二次函数解决利润最值的方法？
师生活动：先由学生回答，再由教师引导学生，得出如下结论：
销售最大利润问题关键，巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的顶点公式和图像性质解决利润最大问题。
第四幕：决策优化——考虑现实约束 (6分钟)
1. 引入现实因素：
师：我们真的可以无限制地涨价吗？x可以取任何值吗？
（学生讨论）销量不能为负数：300-10x ≥ 0 → x ≤ 30。
师：所以自变量的实际取值范围是 x ≥ 0 且 x ≤ 30（即 0 ≤ x ≤30）。
2. 深化模型理解：
师：我们求得的x=5，是否在这个范围内？
生：在，所以我们的结论是有效的。
挑战性问题（思维拓展）：
“假如我们的竞争对手将同类产品定价为64元，我们决定价格不能高于对手。即售价 ≤ 64元，也就是 60 + x ≤ 64，x ≤ 4。那么，在 0 ≤ x ≤ 4 这个范围内，利润最大值还是6250吗？如果不是，是多少？”
（学生活动）计算x=0, x=4时的利润，并观察GeoGebra在 0 ≤ x ≤ 4 范围的图象。发现函数在此范围内单调上升，最大值在端点x=4处，元。
教师总结：解决实际问题时，一定要在自变量的实际取值范围内求最值！
（设计意图：此环节是设计的精髓。它打破了学生“顶点即答案”的思维定势，引入了“约束条件”，让数学模型更贴合实际，培养了学生思维的严谨性和决策的科学性。）
3. 建立“降价模型”（对比学习）：（6分钟）
设每件降价x元，则此时每星期多卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本______________元，因此周利润合计为:
设每件降价x元，则此时每星期多卖 20x 件，实际卖出 （300+20x）（0≤x≤20） 件，此时每件产品的销售价为 （60-x） 元，每周产品的销售额 （60-x）(300+20x) 元，此时每周产品的成本 40(300+20x) 元，因此周利润合计为: y=（60-x）(300+20x)－40(300+20x)=－20x2＋100x＋6 000
师:当取什么值时,值最大 也就是说，在降价的情况下，降价多少元，即定价多少元时,利润最大，最大利润是多少
生：x=2.5;2.5元；57.5元；6125元.
师：根据刚才同学的回答内容可知，当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元。
（设计意图：引导学生从基本经济关系出发，一步步构建数学模型。通过“涨价”与“降价”的对比，让学生理解其本质都是二次函数，只是参数不同，培养其举一反三的能力。）
师：综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
生：综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元。
总结归纳：如何利用二次函数解决生活中的利润问题？
（学生小结：）一般步骤：
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
(4）解决提出的实际问题.
（设计意图：学生通过二次函数解决生活中利润问题探索二次函数解决实际问题的方法步骤，进一步强化解决问题的能力. ）
（三）针对训练（10分钟）
师：下面我们通过配套例题加深理解。
小陈在大学城附近经营一家名为“灵感咖啡”的网红咖啡店。其招牌产品“抹茶云顶”的成本（包括材料、包装）为每杯12元。经过一段时间的试营业，小陈发现：当售价定为每杯20元时，日均销量为150杯。经调查发现，售价每上涨1元，日均销量会减少8杯。售价每下调1元，日均销量会增加10杯。
（1）.小陈希望实现日均总利润的最大化。那么，每杯“抹茶云顶”的最优售价是多少？此时的最大日均利润是多少？
（2）. 小陈通过市场调查发现，周边同类饮品的最高定价为26元。如果他将售价限制在不高于26元，在此条件下，最大利润又是多少？最优售价是多少？
（3）. 临近考试周，小陈考虑进行“回馈学子”的促销活动，计划在20元的基础上进行降价。如果他希望促销期间的日均利润至少能达到2500元，那么他应该将售价定在哪个范围内？（请给出售价的范围）
[多媒体展示]
（设计意图）通过让学生独立完成，提升学生解决实际问题的能力和应用函数知识解决实际问题的意识．
2．某景区旅游商店以元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元/g，不高于元/g，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格（元/g）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
（设计意图）请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药。
（四）归纳小结（3分钟）
1· 引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：
· 知识：我们再次巩固了利用二次函数求最值的方法。
· 方法：我们经历了一个完整的数学建模过程：现实问题 → 抽象建模 → 数学求解 → 解释验证。
· 思想：体会了函数模型、数形结合和优化思想在解决复杂现实问题中的力量。
2. 建模过程回顾：如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？
· 审清关系：梳理价格、成本、销量之间的变化关系。
· 建立模型：列出二次函数解析式 y = ax + bx + c。
· 求解模型：利用顶点公式或配方求最值。
· 检验优化：考虑自变量取值范围，得出最终结论。
3.在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？
六、分层作业设计
· 【基础类】：教材P51 复习巩固第2题。某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？
· 【拓展类】：某电商销售一款产品，成本30元/件。当售价为60元时，周销量200件。市场表明，售价每降1元，周销量增加20件；每涨1元，周销量减少15件。请分别建立涨价和降价模型，并为商家提供定价建议。
· 【实践类】（选做）：请你调查一种校园内可以销售的真实商品（如文具、零食），估算其成本、初始售价和销量，并分析价格变动对销量的影响，为其制定一个科学的定价策略，并撰写一份简单的《营销分析报告》。
板书设计
主板书 22.3 二次函数的应用：利润最大化决策 一、核心关系：总利润 = (售价-成本) × 销量 二、建立模型： 1. 涨价模型：y=(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)=－10x2＋100x＋6 000 2. 降价模型： y=（60-x）(300+20x)－40(300+20x)=－20x2＋100x＋6 000 三、求解验证： 顶点公式： =5 y最大 = 6250 ∴ 定价65元，利润最大6250元 副板书 四、优化决策（关键！）： 考虑自变量取值范围！ 五、 如：售价≤ 64元 (x≤4) 则在x=4时，y最大=6240元 六、建模步骤：审→设→列→求→验→答 学生练习板演
八、教学反思
1. 成功之处：项目式学习将抽象的数学知识置于真实的决策情境中，学生的参与度和思维深度远超传统课堂。通过“涨价”与“降价”的对比、以及“取值范围”的探讨，有效突破了教学难点，培养了学生的批判性思维。
2. 预见与对策：部分学生在建立“降价模型”时可能出现符号错误。为此，在任务单上提供了清晰的引导框架，并通过小组合作互相校对，教师巡视指导。
3. 技术融合：GeoGebra的适时介入，将代数结果可视化，极大地促进了学生对二次函数最值本质的理解，是本节课不可或缺的“点睛之笔”。