(共22张PPT)
第十四章 全等三角形
15.1.1轴对称图形
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形.
01
能够识别简单的轴对称图形及其对称轴
02
03
知道剪纸图形中的轴对称图形，想象对称轴两边的图案
02
创设情境
花丛里，一只美丽的蝴蝶正在津津有味地吃着花蜜.忽然飞来一只蜻蜓在它面前飞来飞去，蝴蝶生气地说：“谁在跟我捣乱？”蜻蜓笑嘻嘻地说：“你怎么连一家人都不认识了，我是来找你玩的！”蝴蝶更生气了：“你是蜻蜓，我是蝴蝶，我们怎么可能是一家呢？”蜻蜓落在旁边的一片叶子上，不紧不慢地说：“这你就不知道了吧，数学爷爷告诉我，不仅蜻蜓、蝴蝶是一家，这些树叶和我们也是一家呢！”这是为什么？
03
新知探究
观察
北京天坛祈年殿
铁路标志
中国人民银行标志
人们很欣赏物体的对称美，设计师、艺术家常利用对称性使作品美观大方
03
新知探究
上述这些平面图形的对称性有什么特点呢？
在我们的周围，还存在许多具有对称性的平面图形
03
新知探究
以蜻蜓的图案为例，在它身体正中间画一条直线 l ，以直线 l 为折痕，将图纸折叠，你有什么发现？
图中直线 l 一侧的部分与另一侧的部分能够重合·
03
新知探究
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴.
对称轴
轴对称图形
图中的雪花，枫叶等也都是轴对称图形
归纳
03
新知探究
思考：图中的蜻蜓、雪花、枫叶各有几条对称轴
03
新知探究
轴对称图形可从以下几个方面理解：
(1)轴对称图形是针对一个图形而言的.
(2)“重合”是关键，它是指所有的对应点和所有的对应边完全重合.因此有对应边相等，对应角相等.
(3)对称轴是一条直线，而不是线段或射线，轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条或无数条.
03
新知探究
下图是制作一片枫叶平面图的过程图，按照图中的方法，自己设计并制作一个轴对称图形.
(1)在一薄纸上画出轴对称图形的一半(包括对称轴)
(2)沿对称
轴对折
(3)将纸翻转，
可见原来半个
图的轮廓
(4)沿着轮廓
线描出图形的另一半
(5)将纸展开，可以看到一片具有对称性的枫叶
操作
03
新知探究
例、 如图，观察这几张图片，它们是不是轴对称图形，可通过什么方法进行说明？
√
√
√
03
新知探究
识别轴对称图形的方法：
根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿着这条直线对折，如果直线两边的部分能够重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形．
注意：尝试多角度来观察图形和对折图形．
1.甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ）
A B C D
2．下列图形中，有无数条对称轴的是（ ）
A．长方形 B．正方形 C．圆 D．等腰三角形
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.有下列五种图形：①线段，②角，③平行四边形，④正方形，⑤直角梯形.其中是轴对称图形的有____________ .(填序号)
4.如图，△ABC和△ADC关于AC所在直线成轴对称，∠BAC+∠BCA=90° ，则∠D的度数为 °.
①②④
90°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1) 整个图形是轴对称图形，对称轴如图所示．
(2) 图中红色的三角形与左上和右下的三角形成轴对称．
(3) 可以．上下两个图形成轴对称，左右两个图形成轴对称．
5. (1) 整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
(2) 图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？
(3) 图形可以看作某两个图形成轴对称吗？
05
课堂小结
判定一个图形是轴对称图形的步骤:
(1)找一条直线;
(2)将图形沿该直线对折;
(3)直线两旁的部分能够互相重合.
轴对称图形
轴对称图形的对称轴特征及数量:
1.轴对称图形的对称轴是一条直线,它一定穿过这个轴对称图形.
2.轴对称图形至少有一条对称轴,有的轴对称图形的对称轴条数不止一条,甚至有无数条,例如:圆.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( C )
国 家 昌 盛
A B C D
2.下面是由七巧板拼成的图形(只考虑外形，忽略内部轮廓)，其中轴对称图形是( C )
C
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
4.如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有 个．
3
5
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.观察下列图形是不是轴对称图形.如果是，它有几条对称轴？
(1)不是轴对称图形；(2)是轴对称图形，有5 条对称轴；(3)不是轴对称图形；(4)是轴对称图形，有4 条对称轴；(5)不是轴对称图形.
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15.1.1轴对称图形教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 15
课题 15.1.1轴对称图形 课时 1
教材分析 本节“轴对称图形”是几何直观与空间观念的重要载体。教材通过生活实例引入概念，结合剪纸、折纸等活动，让学生感知轴对称特征，强调对折后“完全重合”这一核心属性。内容编排由具体到抽象，旨在引导学生观察、操作、归纳，为后续学习几何变换奠定基础，体现了数学与生活的紧密联系。
学情分析 学生在生活中已接触过大量对称现象，具备一定的感性经验，但尚未形成严谨的数学概念。他们形象思维活跃，动手操作兴趣浓厚，但抽象概括能力与空间想象能力仍较薄弱。教学需充分利用其已有经验，通过直观活动搭建桥梁，同时注意引导他们从“形”的感知过渡到“质”的理解，准确掌握概念内涵。
核心素养目标 1. 通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形. 2. 能够识别简单的轴对称图形及其对称轴. 3. 知道剪纸图形中的轴对称图形，想象对称轴两边的图案.
教学重点 能够识别简单的轴对称图形及其对称轴
教学难点 能够识别简单的轴对称图形及其对称轴
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 创设情境，引入课题 花丛里，一只美丽的蝴蝶正在津津有味地吃着花蜜.忽然飞来一只蜻蜓在它面前飞来飞去，蝴蝶生气地说：“谁在跟我捣乱？”蜻蜓笑嘻嘻地说：“你怎么连一家人都不认识了，我是来找你玩的！”蝴蝶更生气了：“你是蜻蜓，我是蝴蝶，我们怎么可能是一家呢？”蜻蜓落在旁边的一片叶子上，不紧不慢地说：“这你就不知道了吧，数学爷爷告诉我，不仅蜻蜓、蝴蝶是一家，这些树叶和我们也是一家呢！”这是为什么？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
二、探究 合作探究，活动领悟 观察： 人们很欣赏物体的对称美，设计师、艺术家常利用对称性使作品美观大方 在我们的周围，还存在许多具有对称性的平面图形 上述这些平面图形的对称性有什么特点呢？ 以蜻蜓的图案为例，在它身体正中间画一条直线l ，以直线l为折痕，将图纸折叠，你有什么发现？ 图中直线l一侧的部分与另一侧的部分能够重合· 归纳： 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴. 图中的雪花，枫叶等也都是轴对称图形 思考：图中的蜻蜓、雪花、枫叶各有几条对称轴 轴对称图形可从以下几个方面理解： (1)轴对称图形是针对一个图形而言的. (2)“重合”是关键，它是指所有的对应点和所有的对应边完全重合.因此有对应边相等，对应角相等. (3)对称轴是一条直线，而不是线段或射线，轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条或无数条. 操作 下图是制作一片枫叶平面图的过程图，按照图中的方法，自己设计并制作一个轴对称图形. (1)在一薄纸上画出轴对称图形的一半(包括对称轴) (2)沿对称轴对折 (3)将纸翻转，可见原来半个图的轮廓 (4)沿着轮廓线描出图形的另一半 (5)将纸展开，可以看到一片具有对称性的枫叶 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式 师生互动，变式深化 例、 如图，观察这几张图片，它们是不是轴对称图形，可通过什么方法进行说明？ 方法点拨： 识别轴对称图形的方法： 根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿着这条直线对折，如果直线两边的部分能够重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形． 注意：尝试多角度来观察图形和对折图形． 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2．下列图形中，有无数条对称轴的是（ ） A．长方形 B．正方形 C．圆 D．等腰三角形 3.有下列五种图形：①线段，②角，③平行四边形，④正方形，⑤直角梯形.其中是轴对称图形的有____________ .(填序号) 4.如图，△ABC和△ADC关于AC所在直线成轴对称，∠BAC+∠BCA=90° ，则∠D的度数为 °. 5. (1) 整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？ (2) 图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？ (3) 图形可以看作某两个图形成轴对称吗？ 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 轴对称图形的概念以及识别方法 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( ) 国 家 昌 盛 A B C D 2.下面是由七巧板拼成的图形(只考虑外形，忽略内部轮廓)，其中轴对称图形是( ) 3．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ． 4.如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有 个． 5.观察下列图形是不是轴对称图形.如果是，它有几条对称轴？
教学反思 本节课通过故事激发了学生兴趣，成功建立了轴对称图形的初步概念。但在引导学生从具体实例中抽象出本质属性时，部分学生仍停留在表象认知。未来教学中，需设计更有层次的辨析环节，如对比非对称图形，并加强数学语言表达的指导，以深化概念理解，促进思维从感性向理性跃升。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十五章
课标要求 1.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理和判定定理。2.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。3.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索等边三角形的性质定理及判定定理。4.能用尺规作图（了解作图原理，保留作图痕迹，不要求写出作法)：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线。5.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质。6.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。7.理解轴对称图形的概念，探索等腰三角形的轴对称性质。8.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
内容分析 本章教材以“轴对称”为核心主线，贯穿始终，构建了一个从感性认知到理性论证的完整知识体系。内容编排上，先引导学生从整体上认识轴对称图形，通过观察、操作理解其概念与性质，建立空间观念。继而，将轴对称作为研究特定图形的工具，聚焦于等腰三角形。教材通过“折叠”这一直观操作，自然引出其轴对称性，并严格推导出“等边对等角”与“三线合一”两大核心性质，最后完成“等角对等边”的判定，形成逻辑闭环。
学情分析 学生在小学阶段已对轴对称图形有初步的感性认识，具备一定的观察与动手操作能力，这为本章学习奠定了基础。然而，学生面临的挑战主要在于三个跨越：一是从直观感知到逻辑证明的跨越，如何将“折叠重合”转化为严谨的“几何语言”论证是一大难点；二是从概念理解到综合应用的跨越，特别是在复杂图形中识别轴对称结构，并灵活运用等腰三角形的性质与判定解决问题；三是从静态认识到动态理解的跨越，即真正将“轴对称”视为一种研究工具而非孤立知识点。
单元目标 （一）教学目标1.清晰识别轴对称图形，准确理解轴对称及相关概念，熟练掌握轴对称的基本性质；2.能够精准绘制简单平面图形关于给定对称轴对称的图形，切实掌握用坐标表示轴对称的方法；3.透彻理解线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的概念，牢固掌握其性质定理与判定定理，并能熟练运用。（二）教学重点、难点重点：理解线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的概念，牢固掌握其性质定理与判定定理。难点：能熟练运用其性质定理与判定定理解决问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1 轴对称图形315.2 线段垂直平分线215.3角平分线215.4等腰三角形3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1轴对称图形(第一课时)1. 通过观察生活中的对称现象（如蝴蝶、窗户、字母等），初步认识轴对称图形。2. 能正确识别轴对称图形，并找出其对称轴。3. 能举例说明生活中的轴对称图形。1. 学生能正确判断一个图形是否为轴对称图形。2. 能准确画出轴对称图形的对称轴。3. 能举出至少两个生活中常见的轴对称图形实例。任务一：出示多个图形（如长方形、三角形、不规则图形等），让学生判断哪些是轴对称图形。任务二：让学生在轴对称图形上画出对称轴。任务三：请学生列举生活中见到的轴对称图形（如国旗、脸谱、标志等）。15.1轴对称图形(第二课时)1. 通过动手操作（如剪纸、折纸），理解轴对称图形的性质。2. 能在方格纸中补全简单的轴对称图形。3. 能根据对称轴判断两个图形是否成轴对称。1. 学生能通过折叠验证轴对称图形，并说出对称点的关系。2. 能根据对称轴，补全轴对称图形的另一侧。3. 能正确区分一个轴对称图形与两个图形成轴对称。任务一：发放图形纸片（如心形、松树等），让学生通过折叠验证对称性并标记对称点。任务二：在方格纸上给出对称轴和一半图形，让学生补全轴对称图形。任务三：出示多组图形，让学生判断是“一个轴对称图形”还是“两个图形成轴对称”。15.1轴对称图形(第三课时)1. 探索并理解关于坐标轴轴对称的点的坐标变化规律。2. 能在平面直角坐标系中，作出一个图形关于坐标轴轴对称的图形。3. 能运用轴对称的坐标规律解决简单问题1. 学生能准确说出点关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律。2. 能根据规律，在坐标系中熟练地作出已知图形关于x轴或y轴的对称图形。3. 能利用坐标规律，解决已知对称点求坐标或判断对称性的问题。任务一：坐标规律探究——给定点A(2,3)，让学生写出它关于x轴、y轴对称的点的坐标，并总结规律。任务二：轴对称作图—在坐标系中给出一个简单图形（如三角形），让学生画出它关于y轴的对称图形。任务三：综合应用，提供一些问题15.2线段垂直平分线(第一课时)1. 通过动手操作和观察，理解线段垂直平分线的概念。2. 通过探究发现并理解线段垂直平分线的性质定理。3. 通过探究发现并理解线段垂直平分线的判定定理。1. 学生能准确说出线段垂直平分线的定义和两个关键要素（垂直、平分）。2. 能通过测量验证并表述线段垂直平分线的性质定理（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。3.能利用线段垂直平分线的判定定理证明任务一：概念辨析，给出一些图形，让学生判断哪条直线是线段的垂直平分线，并说明理由。任务二：性质探究，在作好的垂直平分线上任取几点，让学生测量这些点到线段两端点的距离，记录数据，并总结发现的规律。任务三：基础证明，给出图形和条件，例如“已知PA=PB，QA=QB”，让学生证明“PQ是线段AB的垂直平分线”。15.2线段垂直平分线(第二课时)1. 掌握线段垂直平分线的尺规作图方法。2.能运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决简单的几何证明与计算问题。3. 理解线段垂直平分线在解决实际问题中的应用。1. 能使用尺规正确作出已知线段的垂直平分线能使用尺规正确作出已知线段的垂直平分线任务一：尺规作图——给定线段AB，要求学生在纸上使用无刻度的直尺和圆规作出其垂直平分线。任务二：定理辨析，给出命题，让学生判断它们之间的关系，并说明哪个是性质定理，哪个是判定定理。任务三：综合应用，解决实际问题，并说明其数学原理。15.3角平分线(第一课时)1. 通过观察和动手操作，理解角平分线的概念。2. 掌握角平分线的尺规作图方法。3. 通过作垂线掌握尺规作图1. 学生能准确说出角平分线的定义，并能在图形中正确识别。2. 能使用尺规正确作出已知角的角平分线。3. 会利用尺规作图作垂线任务一：概念识别，给出几个包含角平分线的图形，让学生指认并描述角平分线。任务二：尺规作图，给定一个角，要求学生在纸上使用无刻度的直尺和圆规作出其角平分线。任务三：利用尺规作图作垂线 15.3角平分线 (第二课时)1.通过实验探究发现并理解角平分线的性质定理。2.理解一次函数与坐标轴的交点3.会求一次函数的特殊点2. 掌握角平分线的判定定理。3. 能运用角平分线的性质和判定定理进行简单的几何证明与计算1.能通过测量验证并表述角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）2.会求函数与坐标轴的交点2. 学生能准确表述角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。3. 能正确区分并应用性质定理和判定定理进行推理证明。任务一：性质探究，在作好的角平分线上任取几点，让学生测量这些点到角两边的距离，记录数据，并总结发现的规律。任务二：定理辨析——给出命题，让学生判断它们之间的关系，并说明哪个是性质定理，哪个是判定定理。任务三：基础证明——给出图形和条件，让学生证明点在的平分线上。任务四：综合应用——解决实际问题。15.4等腰三角形(第一课时)1. 通过观察、操作认识等腰三角形，理解其相关概念（腰、底边、顶角、底角）。2. 通过折叠等操作，探索并理解等腰三角形的轴对称性。3. 通过实验发现并猜想等腰三角形的性质定理（等边对等角）。1. 学生能准确识别等腰三角形，并能正确指出其腰、底边、顶角和底角。2. 能通过动手操作验证等腰三角形是轴对称图形，并能找出对称轴。3. 能通过测量等方法发现“等边对等角”的性质，并能用文字语言初步表述该性质。任务一：概念识别，出示不同类型的三角形（等腰、等边、不等边），让学生识别出等腰三角形，并标出各要素名称。任务二：操作探究，发放等腰三角形纸片，让学生通过折叠验证其轴对称性，并指出对称轴。任务三：性质猜想，引导学生测量等腰三角形两个底角的度数，比较并记录结果，最终归纳出“等边对等角”的猜想。15.4等腰三角形(第二课时)1. 证明并掌握等腰三角形的性质定理（等边对等角）及推论（三线合一）。2. 能初步运用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明。3. 体会几何证明的逻辑性，发展推理能力。1. 学生能准确表述“等边对等角”和“三线合一”的性质，并理解其推理过程。2. 能利用等腰三角形的性质，进行有关角度的计算和简单线段的证明。3. 能在具体情境中识别并应用“三线合一”的性质解决问题。任务一：定理证明，在教师的引导下，学生理解并共同完成“等边对等角”的证明，并由此推导出“三线合一”的性质。任务二：基础应用，给出图形和条件，让学生计算其他角的度数；或证明线段相等任务三：综合识别，出示一个等腰三角形及其底边上的中线，让学生判断这条线是否同时是高和顶角平分线，并说明理由。15.4等腰三角形(第三课时)1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理（等角对等边）。2. 能综合运用等腰三角形的性质和判定进行推理和计算。3. 运用等腰三角形的相关知识解决简单的实际问题。1. 学生能准确表述等腰三角形的判定定理（等角对等边），并能说明其与性质定理的区别与联系。2. 能根据已知条件，选择合适的定理证明一个三角形是等腰三角形。3. 能运用等腰三角形的性质和判定，解决涉及角度、线段相等的综合性问题及简单应用问题。任务一：定理探究，给定一个三角形，已知两个角相等，引导学生通过折叠或推理，发现并验证“等角对等边”的结论。任务二：判定应用，出示图形和条件（如∠B=∠C，或AD既是高又是角平分线），让学生证明△ABC是等腰三角形。任务三：综合应用，解决实际问题
《轴对称图形与等腰三角形》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究轴对称图形相关概念
15.1轴对称图形(第一课时)
活动3：例题讲解
轴对称图形与等腰三角形
活动1：引入课题
15.1轴对称图形 (第二课时)
活动2：探究轴对称的概念及性质
活动3：归纳线段垂直平分线的概念
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
15.1轴对称图形 (第三课时)
活动2：探究平面直角坐标系中点的对称特点
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
15.2线段垂直平分线(第一课时)
活动2：探究线段垂直平分线的性质定理
活动3：探究线段垂直平分线的判定定理
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：尺规作线段垂直平分线
15.2线段垂直平分线(第二课时)
活动3：例题讲解
活动2：探究利用尺规作角平分线的方法
活动1：引入课题
活动3：利用尺规作已知直线的垂线
15.3角平分线(第一课时)
活动4：例题讲解
活动3：探究角平分线的判定定理
活动2：探究角平分线的性质定理
活动1：引入课题
15.3角平分线 (第二课时)
轴对称图形与等腰三角形
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究等腰三角形的性质
15.4等腰三角形(第一课时)
活动3：探究等边三角形的性质
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
15.4等腰三角形(第二课时)
活动2：探究等腰三角形“三线合一”的性质
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究等腰三角形的判定定理
15.4等腰三角形(第三课时)
活动3：总结归纳其推论
活动4：例题讲解
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