北师大版九年级数学上册教案：2.6 应用一元二次方程

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应用一元二次方程
教学目标
【知识与技能】
使学生会用一元二次方程解应用题.
【过程与方法】
进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.
【情感态度】
通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.
【教学重点】
实际问题中的等量关系如何找.
【教学难点】
根据等量关系设未知数列方程.
教学过程
一、情境导入,初步认识
列方程解应用题的步骤是什么？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.
【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.
二、思考探究，获取新知
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染x个人.
（1）开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示x（1+x），第二轮后，共有［1+x+（1+x）·x］人患流感.
（2）根据等量关系列方程：1+x+（1+x）·x=121
（3）解这个方程得：x1=10，x2=-12（舍去）
（4）平均一个人传染了10个人.
（5）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有1331人患流感.
【教学说明】使学生了解利用一元二次方程解决实际问题的方法与过程.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样.
三、运用新知，深化理解
1.某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案.
解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）
答：这个增长率是20%.
2.两个连续奇数的积是323，求这两个数.
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）.设较小的奇数为x，则另一个奇数为x+2，
设较小的奇数为x-1，则另一个奇数为x+1；
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1.
【教学说明】以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较，选出最简单解法.
解：解法（一）
设较小奇数为x，另一个为x+2，
据题意，得x（x+2）=323.
整理后，得x2+2x-323=0.
解这个方程，得x1=17，x2=-19.
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：这两个奇数是17，19或者-19，-17.
解法（二）
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1，
据题意，得（x-1）（x+1）=323.
整理后，得x2=324.
解这个方程，得x1=18，x2=-18.
当x=18时，18-1=17，18+1=19.
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17.
答：两个奇数分别为17，19或者-19，-17.
解法（三）
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1.
据题意，得（2x-1）（2x+1）=323.
整理后，得4x2=324.
解得，2x=18，或2x=-18.
当2x=18时，2x-1=18-1=17，2x+1=18+1=19.
当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19，2x+1=-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19或者-19，-17.
【教学说明】引导学生观察、比较、分析，解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
3.已知：□ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2-mx+m/2-1/4=0的两个实数根.
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么□ABCD的周长是多少？
分析：（1）令根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根，即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一个根，即易求得平行四边形的周长.
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴Δ=0，
（-m）2-4（m/2-1/4）=0，
（m-1）2=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2-x+1/4=0
解得x1=x2=0.5，
∴菱形的边长是0.5cm；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2-2.5x+1=0，
解得x1=2，x2=0.5
∴□ABCD的周长=2×（2+0.5）=5cm
【教学说明】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键.
进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解决应用问题中的用途.
四、师生互动、课堂小结
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际意义的检验.
教材反思
这节课是“列一元二次方程解应用题”，这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想.