北师大版九年级数学上册教案：2.4 用因式分解法求解一元二次方程

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用因式分解法求解一元二次方程
教学目标
【知识与技能】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法.
【过程与方法】
通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.
【情感态度】
通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法.
【教学重点】
用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.
教学过程
一、情境导入,初步认识
复习：将下列各式分解因式
（1）5x2-4x；
（2）x2-4x+4；
（3）4x（x-1）-2+2x；
（4）x2-4；
（5）（2x-1）2-x2.
【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度.
二、思考探究，获取新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程.
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法.
【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.
三、运用新知，深化理解
1.解方程5x2＝4x.
解：原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步
∴x＝0或5x-4＝0……第二步
∴x1=0，x2=4/5.
【教学说明】教师提问、板书，学生回答.
分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”.分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法.由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法.
2.用因式分解法解下列方程：
（1）5x2+3x＝0；
（2）7x（3-x）＝4（x-3）；
（3）9（x-2）2＝4（x+1）2.
分析：（1）左边＝x（5x+3），右边＝0；（2）先把右边化为0，即7x（3-x）-4（x-3）＝0，找出（3-x）与（x-3）的关系；（3）应用平方差公式.
解：（1）因式分解，得x（5x+3）＝0，
于是得x＝0或5x+3＝0，
x1＝0，x2＝-3/5；
（2）原方程化为7x（3-x）-4（x-3）＝0，
因式分解，得（x-3）（-7x-4）＝0，
于是得x-3＝0或-7x-4＝0，
x1＝3，x2＝-4/7；
（3）原方程化为9（x-2）2-4（x+1）2＝0，
因式分解，得
［3（x-2）+2（x+1）］［3（x-2）-2（x+1）］＝0，
即（5x-4）（x-8）＝0，
于是得5x-4＝0或x-8＝0，
x1＝4/5，x2＝8.
【教学说明】（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解.（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数.
3.选择合适的方法解下列方程.
（1）2x2-5x+2=0；
（2）（1-x）（x+4）=（x-1）（1-2x）；
（3）3（x-2）2＝x2-2x.
分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1-x）与（x-1）的关系用因式分解法；（3）3（x-2）2＝x·（x-2）用因式分解法.
解：（1）a=2，b=-5，c=2，
b2-4ac=（-5）2-4×2×2=9＞0，
x==，
x1=2，x2=；
（2）原方程化为（1-x）（x+4）+（1-x）（1-2x）＝0，
因式分解，得（1-x）（5-x）=0，
即（x-1）（x-5）=0，
x-1=0或x-5=0，
x1=1，x2=5；
（3）原方程变形为3（x-2）2-x（x-2）=0，
因式分解，得（x-2）（2x-6）＝0，
x-2＝0或2x-6＝0，
x1＝2，x2＝3.
【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦.公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程.
4.已知（a2+b2）2-（a2+b2）-6＝0，求a2+b2的值.
分析：若把（a2+b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2+b2）为未知数的一元二次方程.
解：设a2+b2=x，则原方程化为x2-x-6=0.
a=1，b=-1，c=-6，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-6）＝25＞0，
x＝，∴x1=3，x2=-2.
即a2+b2=3或a2+b2=-2，
∵a2+b2≥0，∴a2+b2=-2不符合题意应舍去，取a2＋b2=3.
【教学说明】（1）整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题.（2）在做题时要注意隐含条件.
5.用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？
解：设长为xcm，则宽为（-x）cm，
x·（-x）＝91，
解这个方程，得x1=7，x2=13.
当x=7cm时，-x=20-7=13（cm）（舍去）；当x=13cm时，-x=20-13=7（cm）.
当围成正方形时，它的边长为＝10（cm），面积为102=100（cm2）.
【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力.
四、师生互动，课堂小结
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？
【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法.
教材反思
这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.