2.4.2圆的一般方程课件(共22张PPT)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

(共22张PPT)
圆的一般方程
(1) 圆的 标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
特征：
直接看出圆心与半径
知识讲解
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
展开，得
-
2
2
2
2
2
2
0
2
=
-
+
+
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
由于a,b,r均为常数
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
知识讲解
配方可得：
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
不表示任何图形。
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ）
为圆心，以( ) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
y=-E/2，表示一个点（ ）
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
知识讲解
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线是圆呢？
知识讲解
二、圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（D2+E2-4F>0）
没有xy这样的二次项
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
（1）a= ，b= ，r=
知识讲解
1： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
（2）2x2+2y2-12x+4y=0
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
（4）x2+y2-12x+6y+50=0
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0
是
圆心（1，-2）半径3
是
圆心（3，-1）半径
不是
不是
不是
练习
1、A ＝ C ≠ 0
三、圆的一般方程：
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0
的关系:
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
2、B=0
3、D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程
表示圆的一般方程
与
知识讲解
(2)圆 与 轴相切,则这个圆截 轴所得的弦长是
2:
(1 ) 已知圆 的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
练习
(3)点 是圆 的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
练习
(1)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
四、圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
3：
知识讲解
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
把点A，B，C的坐标代入得方程组
所求圆的方程为：
例2：求过三点A（0，5） B（1，-2） C（-3，-4）的圆的方程.
解：
知识讲解
4：
把点A，B，C的坐标代入得方程组
所求圆的方程为：
练习
注：用待定系数法求圆的方程的步骤：
１．根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。
２．根据条件列出关于ａ，ｂ，r或Ｄ，Ｅ，Ｆ的方程。
３．解方程组，求出ａ，ｂ，r或Ｄ，Ｅ，Ｆ的值，代入方程，就得到要求的方程．
变题：△ABC的三个顶点坐标为A(-1,5)、B(-2,-2)、C(5,5)，求其外接圆的方程。
知识讲解
例3：已知一曲线是与两个定点O（0，0）， A（3，0）距离的比为 1/2 的点的轨迹，
求这个曲线的方程，并画出曲线.
解：设M（x,y）是曲线上的任意一点，
M点在曲线上的条件 是
由两点的距离公式
上式用坐标表示为
两边平方并化简，
得曲线方程 x2+y2+2x-3=0
将方程配方，得 (x+1)2+y2=4
x
y
0
M
A
C
所以圆心（-1,0）半径为2
例题讲解
圆的方程
（x-a)2+(y-b)2=r2
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
知a、b、r
D2+E2 －4F>0
配方
展开
知识讲解
5:当a取不同的非零实数时，由方程
可以得到不同的圆：
（1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？
（2）这些圆是否有公切线？（留后）
练习
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
(用配方法求解)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系]
一般方程
标准方程(圆心,半径)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
（5）若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
小结
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法:
②数学思想方法:
(求圆心和半径).
(原则是不重复,不遗漏)
配方法
(ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想
(待定系数法)
(ⅱ)方程的思想
(ⅲ)数形结合的思想
小结
１．方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时，
m的取值范围是（　）
练习
2.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值
3.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离
的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线
l:8x-y-1=0的最小距离
4.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点
(1)求 的最小值
(2)求x2+y2的最大值与最小值
5.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的
直线使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，
若存在，写出直线方程
练习
6.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值
范围是 .
7.点P( )与圆x2+y2=1的位置关系是 ( )
A 在圆内 Ｂ在圆外 C 在圆上 D与t有关
8.已知直线l1:mx-y=0，l2:x+my-m-2=0
求证：对于m∈R,l1,l2的交点P在一个定圆上
练习