沪教版（2024）三年级上册数学 第八单元《篱笆问题》教案

《篱笆问题》教案-2025-2026学年沪教版（新教材）小学数学三年级上册
项目 具体内容
一、核心素养教学目标 1. 数学抽象：通过分析 “围篱笆” 的实际情境，抽象出 “靠墙围长方形 / 正方形篱笆” 的数学模型，明确 “靠墙边无需围篱笆” 的核心逻辑，建立 “完整周长→减去靠墙边长” 的计算思路。 2. 逻辑推理：经历 “观察情境→分析围法→推导算法→优化策略” 的过程，推理出 “长靠墙”“宽靠墙” 两种围法的周长计算逻辑，以及 “最少篱笆” 的优化原理，培养推理能力。 3. 运算能力：能熟练运用长方形周长公式的变式（篱笆长度 = 长 ×2 + 宽 或 宽 ×2 + 长）、正方形篱笆公式（边长 ×3）进行计算，解决逆向问题（已知篱笆长度求边长），提升整数四则运算应用能力。 4. 几何直观：借助长方形模型、篱笆围法示意图、动手摆拼等直观手段，感知靠墙围法与完整周长的区别，建立 “边的取舍” 的几何表象，培养直观想象能力。 5. 应用意识：能运用篱笆问题的解题策略解决生活中的实际问题（如围花坛、围菜地、围阳台等），体会数学与生活的密切联系，激发运用数学知识解决实际问题的兴趣。 6. 合作意识：在小组探究不同围法、对比计算结果的过程中，通过分工协作、交流辩论，培养团队协作能力和语言表达能力。
二、教学重难点 1. 教学重点： （1）理解 “靠墙围篱笆” 的实际意义，掌握长方形 “长靠墙”“宽靠墙” 两种围法的篱笆长度计算方法； （2）结合教材例题，掌握正方形靠墙围篱笆的计算方法（边长 ×3）； （3）能通过对比不同围法的篱笆长度，得出 “让较长边靠墙可节省篱笆” 的优化策略。 2. 教学难点： （1）理解 “靠墙边不需要围篱笆” 的逻辑，避免直接套用完整长方形周长公式； （2）推导 “最少篱笆” 的优化策略（较长边靠墙），理解其背后的数学原理； （3）解决逆向问题（已知篱笆长度和其中一边长，求另一边长），逆向运用公式进行推理计算； （4）区分 “一面靠墙”“两面靠墙” 等不同情境的篱笆计算逻辑。
三、教学准备 1. 教师准备： （1）多媒体课件（包含沪教版教材主题图、“农场围菜地” 情境图、两种围法示意图、动画演示、例题解析、练习题情境图）； （2）实物教具：长方形硬纸板（长 20cm、宽 15cm，与教材例题尺寸一致）、正方形硬纸板（边长 18cm）、小棒（模拟篱笆，每根长 10cm，若干）、磁性黑板贴（标注 “长靠墙”“宽靠墙”“最少篱笆”）、直尺、记号笔； （3）分组学习材料：每组 1 套学具（长方形 / 正方形纸片、小棒、记录单、彩笔、铅笔）； （4）预习任务单（提前布置：观察生活中靠墙围的围栏（如小区花坛、菜地），记录围栏的形状和靠墙的边，思考 “为什么要靠墙围”）。 2. 学生准备： （1）完成预习任务单； （2）学具：自备长方形 / 正方形纸片（各 1 张）、小棒（10 根左右）、笔记本、铅笔、橡皮、直尺。
四、教学过程 1. 导入新课：生活情境激趣，衔接旧知 （1）情境提问，唤醒经验： 师：“同学们，你们预习时都观察了生活中的围栏，谁能说说你看到的围栏是怎么围的？为什么要这样围？”（生答：有的靠墙围，这样可以少围一边，节省材料） 师：“课件展示教材主题图：农场主王叔叔有一块长方形菜地，他想给菜地围上篱笆，防止家禽破坏蔬菜。但菜地一边靠着围墙（课件标注围墙），王叔叔不知道该怎么围最节省篱笆，大家能帮他想想办法吗？”（生答：可以让长边靠墙，也可以让宽边靠墙） （2）衔接旧知，引出课题： 师：“上节课我们学习了长方形和正方形的周长，完整的长方形周长 =（长 + 宽）×2。但这里菜地一边靠墙，篱笆不需要围靠墙的边，所以篱笆长度和完整周长不一样！今天我们就一起来探究《篱笆问题》，学习靠墙围篱笆的计算方法和优化策略！”（板书课题：篱笆问题） 【设计意图】从学生预习观察的生活情境切入，结合教材 “农场围菜地” 主题图，通过提问 “为什么靠墙围”，让学生初步感知 “节省材料” 的核心需求；对比 “完整周长” 与 “篱笆长度” 的区别，衔接旧知并明确新知核心，激发学生帮助农场主解决问题的探究欲望，自然导入新课。 2.探究新知：动手操作探究，掌握方法 （2.1）认识篱笆问题的两种围法（长方形） 师：“课件展示教材例题 1：长方形菜地长 20 米，宽 15 米，一边靠墙围篱笆，有几种围法？”（生思考后答：两种，长靠墙和宽靠墙） （1）动手摆拼，直观感知：师：“请小组合作，用长方形纸片代表菜地，小棒代表篱笆，在桌上摆一摆两种围法，并用彩笔在纸片上标注‘靠墙边’。”学生分组操作，教师巡视指导：①引导学生区分 “长靠墙”（长方形的长边紧贴桌面边缘，模拟围墙）和 “宽靠墙”（宽边紧贴桌面边缘）；②提醒学生注意小棒要与纸片的边对齐，模拟篱笆的实际围法。 （2）汇报展示，明确围法：师：“哪个小组愿意上台展示你们的两种围法？”（小组代表用磁性长方形纸片和小棒在黑板上演示）师小结：“长方形一边靠墙围篱笆，有两种核心围法（板书）：①长靠墙：篱笆围的是‘宽 + 宽 + 长’；②宽靠墙：篱笆围的是‘长 + 长 + 宽’。大家要注意，靠墙的边不需要摆小棒（篱笆），这是篱笆问题和完整周长的关键区别！” 【设计意图】通过 “动手摆拼→汇报展示” 的流程，让学生直观感知两种围法的差异，明确 “靠墙边无需围篱笆” 的核心逻辑，为后续推导计算方法奠定几何直观基础，突破 “混淆完整周长与篱笆长度” 的认知误区。 （2.2）推导长方形篱笆长度的计算方法（结合教材例题 1） （1）明确例题条件，尝试计算：师：“已知菜地长 20 米，宽 15 米，两种围法的篱笆长度分别是多少？请小组合作，结合摆拼的结果，在记录单上计算两种围法的篱笆长度，写出计算过程。”学生分组计算，教师巡视，重点关注：①是否漏算或多算边长；②计算过程是否规范。 （2）汇报交流，展示算法： 师：“哪个小组分享你们的计算结果和方法？” 生 1：“长靠墙时，篱笆长度 = 宽 ×2 + 长 = 15×2+20=30+20=50（米）”（师板书该算式） 师：“为什么这样算？”（生答：长靠墙，不需要围长，只需要围两条宽和一条长） 生 2：“宽靠墙时，篱笆长度 = 长 ×2 + 宽 = 20×2+15=40+15=55（米）”（师板书该算式） 师：“大家同意他们的算法吗？我们用完整周长验证一下：完整周长 =（20+15）×2=70（米），长靠墙时篱笆长度 = 70-20=50（米），宽靠墙时 = 70-15=55（米），结果一致！所以篱笆长度也可以用‘完整周长 - 靠墙边长’计算（板书补充：篱笆长度 = 完整周长 - 靠墙边长）。” 教材 “试一试” 巩固： 师：“课件展示教材‘试一试’：一个长方形花园长 18 米，宽 12 米，一边靠墙围篱笆，两种围法的篱笆长度分别是多少？”生独立计算：①长靠墙：12×2+18=42（米）；②宽靠墙：18×2+12=48（米），汇报后师生共同核对结果。 【设计意图】结合教材例题，让学生通过 “摆拼感知→尝试计算→汇报验证” 的流程，自主推导两种围法的计算方法，既强化 “靠墙边无需围” 的逻辑，又衔接之前学的周长公式，培养逻辑推理和运算能力；“试一试” 及时巩固算法，确保学生掌握核心知识。（2.3）探究 “最少篱笆” 的优化策略 对比数据，发现规律： 师：“我们回到教材例题 1，两种围法的篱笆长度分别是 50 米和 55 米，哪种围法更节省篱笆？”（生答：长靠墙，50 米更少） 师：“为什么长靠墙更节省？”（生讨论后答：因为长边更长，减去更长的边，剩下的篱笆长度就更短） 师：“大家再看‘试一试’的结果，42 米（长靠墙）和 48 米（宽靠墙），也是长靠墙更节省。那我们能得出什么结论？”（生答：长方形一边靠墙围篱笆，让较长的边靠墙，篱笆长度最短） 验证规律，强化理解：师：“请大家用自己准备的长方形纸片（长 16cm、宽 10cm），分别计算长靠墙和宽靠墙的篱笆长度，验证这个结论是否成立。” 生计算：①长靠墙：10×2+16=36（cm）；②宽靠墙：16×2+10=42（cm），确认长靠墙更短。师小结优化策略（板书）：长方形一边靠墙围篱笆，要使篱笆最少，需让较长的边靠墙（即 “长边靠墙”）。 【设计意图】通过对比教材例题和 “试一试” 的两种围法结果，让学生自主发现 “最少篱笆” 的优化策略，再通过自主验证强化规律，培养逻辑推理能力和归纳总结能力，突破 “如何节省篱笆” 的教学难点。 （2.4）探究正方形靠墙围篱笆的计算方法（结合教材例题 2） （1）迁移探究，自主推导：师：“如果菜地是正方形的，一边靠墙围篱笆，该怎么计算篱笆长度？课件展示教材例题 2：正方形菜地边长 18 米，一边靠墙围篱笆，篱笆长多少米？”师：“正方形有什么特征？（生答：四条边都相等）一边靠墙，篱笆需要围几条边？”（生答：3 条边）师：“请大家独立计算篱笆长度，写出计算过程。” （2）汇报交流，得出公式：生 1：“18+18+18=54（米），三条边相加。”（师板书方法 1：边长 + 边长 + 边长）生 2：“18×3=54（米），因为三条边相等，用乘法更简便。”（师板书方法 2：边长 ×3）师：“为什么不能用边长 ×4？”（生答：因为一边靠墙，不需要围第四条边，所以只算三条边的长度）师小结正方形篱笆公式（板书）：正方形一边靠墙围篱笆，篱笆长度 = 边长 ×3。 （3）拓展思考：师：“正方形一边靠墙，有没有‘最少篱笆’的说法？”（生答：没有，因为四条边都相等，不管哪条边靠墙，篱笆长度都一样） 【设计意图】运用知识迁移的方法，让学生结合正方形 “四边相等” 的特征，自主推导靠墙围篱笆的计算方法，体现 “以学生为主体” 的教学理念；拓展思考强化正方形与长方形篱笆问题的差异，避免知识混淆，培养严谨的思维习惯。 巩固练习：分层实践应用，提升技能 （3.1）基础题：直接应用公式计算（全员必做）师：“请大家完成下面两道题，独立计算篱笆长度：① 长方形花坛长 12 米，宽 8 米，一边靠墙（长边靠墙），篱笆长多少米？② 正方形草坪边长 15 米，一边靠墙，篱笆长多少米？” （1）学生独立计算，教师巡视，重点关注：① 长方形题是否正确选择 “宽 ×2 + 长”；② 正方形题是否用 “边长 ×3”；③ 计算结果是否准确，单位是否标注。 （2）汇报交流：生 1：“8×2+12=28（米）”生 2：“15×3=45（米）” （3）纠错指导：对误将长方形题算成 “（12+8）×2” 的学生，引导其回忆 “长边靠墙无需围长”，强化核心逻辑。 【设计意图】基础题紧扣教学重点，让全体学生巩固长方形、正方形靠墙围篱笆的基本计算方法，夯实运算能力，确保每个学生掌握核心知识。 （3.2）提高题：逆向思维与变式应用（选做）师：“下面的题目需要大家灵活运用公式，动动脑筋：① 一个长方形菜地，一边靠墙（宽靠墙），篱笆长 40 米，已知长是 16 米，求宽是多少米？② 一个正方形菜地，一边靠墙，篱笆长 51 米，求正方形的边长？③ 一个长方形花园长 15 米，宽 10 米，现在有 35 米长的篱笆，能让长边靠墙围起来吗？请说明理由。” （1）小组讨论，尝试解题：师：“第①题是逆向题，已知篱笆长度和长，怎么求宽？结合宽靠墙的篱笆公式反过来想。”生 1：“宽靠墙时，篱笆长度 = 长 ×2 + 宽，所以宽 = 篱笆长度 - 长 ×2=40-16×2=40-32=8（米）”师：“第②题，已知正方形篱笆长度，求边长？”生 2：“篱笆长度 = 边长 ×3，所以边长 = 篱笆长度 ÷3=51÷3=17（米）”师：“第③题，先算长边靠墙需要多少篱笆，再和 35 米对比。”生 3：“长边靠墙需要 10×2+15=35（米），正好等于篱笆长度，所以能围起来。” （2）师生总结：逆向题要根据围法对应的公式 “反向推导”，变式题要先计算所需篱笆长度，再与已知条件对比判断。 【设计意图】提高题侧重培养逆向思维和灵活应用能力，针对教学难点中的 “逆向问题” 设计，让学有余力的学生得到提升；通过小组讨论，帮助学生理清解题逻辑，突破 “反向推理” 的思维障碍。 （3.3）拓展题：生活综合应用（挑战题）师：“我们来挑战一道生活中的复杂问题：课件展示‘长方形养鸡场，长 25 米，宽 18 米，现在有两面墙（互相垂直），养鸡场靠这两面墙围篱笆（课件展示两面垂直围墙，养鸡场的长和宽分别靠墙），求需要多少米篱笆？’” （1）课件演示，引导分析：师：“和之前的‘一边靠墙’不一样，这里是‘两面靠墙’，篱笆需要围几条边？”（生观察后答：一条长和一条宽，因为长和宽分别靠两面墙） （2）学生独立计算：25+18=43（米） （3）汇报交流：师：“为什么这样算？”（生答：两面靠墙，不需要围长和宽，只需要围剩下的一条长和一条宽）师：“如果两面墙是平行的，还能这样围吗？”（生答：不能，平行的墙只能靠一条边，还是围三条边） 【设计意图】拓展题结合 “两面垂直靠墙” 的复杂生活情境，培养学生的几何直观和审题能力，让学生明白篱笆问题要根据 “靠墙的数量和位置” 灵活判断围法，突破 “单一围法” 的思维定式，强化应用意识。 拓展延伸：知识关联与生活迁移 概念辨析，深化理解：师：“课件展示三道题：① 长方形周长；② 长方形一边靠墙围篱笆；③ 长方形两面靠墙围篱笆，对比三者的计算方法，说说它们的区别？”生总结：“周长是四条边总和；一边靠墙围三条边；两面垂直靠墙围两条边。”师：“大家说得很对！关键是看‘有几条边需要围篱笆’，靠墙的边越多，篱笆长度越短。” 生活迁移，持续探究：师：“生活中还有很多类似的篱笆问题，比如：① 给阳台围护栏（一边靠墙）；② 给圆形花坛围篱笆（无靠墙，算周长）；③ 给墙角的正方形储物区围篱笆（两面靠墙）。”师：“请大家思考：如果长方形菜地一边靠墙，要围出最大的面积，长和宽该怎么选择？（提示：篱笆长度固定时，长是宽的 2 倍时面积最大）”师：“这个问题留给大家课后探究，下节课我们一起分享你的发现！” 【设计意图】通过概念辨析，让学生明确不同情境下的计算差异，强化 “看靠墙情况定围法” 的核心逻辑；生活迁移题引导学生思考更多复杂情境，为课后探究 “面积与篱笆长度的关系” 埋下伏笔，培养持续探究的兴趣和知识迁移能力。
五、小结 1. 知识梳理：师：“今天我们学习了篱笆问题，谁能说说长方形一边靠墙有几种围法？分别怎么计算篱笆长度？”（生答：两种，长靠墙→宽 ×2 + 长，宽靠墙→长 ×2 + 宽）师：“正方形一边靠墙的篱笆长度怎么算？”（生答：边长 ×3）师：“怎么围最节省篱笆？”（生答：长方形让长边靠墙，正方形随便哪条边都一样） 2. 能力提升：师：“通过今天的学习，我们不仅掌握了靠墙围篱笆的计算方法，还能解决逆向问题和复杂的两面靠墙问题，在动手操作和小组讨论中提升了几何直观、逻辑推理和运算能力，也学会了根据实际情况选择最优围法。” 3. 注意事项：师：“计算篱笆长度时，大家要注意：① 先看清‘几面靠墙’‘哪条边靠墙’；② 长方形避免误算成完整周长；③ 逆向题要根据围法反向推导公式；④ 单位要统一，不能遗漏。”4. 课后延伸：师：“课后请大家：① 完成教材练习册中的相关习题；② 用今天学到的方法，帮家人计算一下家里阳台或花坛需要的护栏长度（假设一边靠墙）；③ 探究‘篱笆长度固定时，长方形长和宽的关系与面积的关系’，下节课我们一起交流你的探究结果！”