山东济南历城区2025—2026学年九年级数学第一学期期中考试试题（含答案）

2025—2026 学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图所示机器零件的左视图为（ ）
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，BD=1，则等于（ ）
A. B. C. D.
3.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为 1，则另一个根为（ ）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是( 3,4)，则顶点B的坐标是（ ）
A. (2,3) B. (4,2) C. (2,4) D. (3,4)
5.某学校开设了四门兴趣课程，分别为 “音乐”“网球”“陶艺”“口才”。学校规定每位学生只能选择一门自己喜欢的课程学习。琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人随机选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，若S△ADF=9，S△BEF=4，且AD=9，则CE的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.一次函数y=kx+k2+1与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
8.如图是一张长8 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18 cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x cm，那么x满足的方程是（ ）
A. 40 4x2=18 B. 40 2(8x+5x)=18 C. (8 2x)(5 2x)=18 D. (8 2x)(5 2x)=9
9.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90 ，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
10.如图，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为( 2,0)，点C在反比例函数y=(x<0)的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，若AB=2CD，则k的值为（ ）
A. 6 B. C.﹣ D.
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 如果a=3b(b≠0)，那么=________。
12.一只不透明的袋子中，装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为________。
13.关于x的方程x2 6x+2m 1=0有两个相等的实数根，则m的值为________。
14.如图，点A，D分别在函数y= ，y=的图象上，点B，C在x轴上。若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△BCE的面积为________。
15.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，连接BD交A′E于点F，连接DA′，若AE=9，DE=6，=，则AB的长为________。
三．解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（8 分）解方程：（1）x2 4x+1=0 （2）x(x 2)=3x 6
17.（6 分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，∠AEB=∠AFD。求证：CE=CF。
18.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4, 4)。
（1）以点O为位似中心，请在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为2:1，并写出点C1的坐标________；
（2）若点M(a,b)为△ABC内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是________；
（3）请仅用无刻度的直尺在线段AB上确定一点P，使=，请画出点P。（保留作图痕迹）
19.（8 分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB于点D。
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若CD=3，BD=2，求AB的长。
20.（8 分）国家卫生健康委员会宣布将 2025 年定为 “体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动。某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了 “我最喜爱的球类运动项目” 问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图。
根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m=________；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“羽毛球” 对应扇形的圆心角为________度；
（4）若该校有 2500 名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
21.（8 分）如图，小华同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿OA方向移动1.2米到达点B处（即AB=1.2米），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；小华从点B处沿OB方向移动3米到达点C处（即BC=3米），测得∠OCE=45 。小华同学的眼睛距地面的高度FB为1.6米，已知点O，A，B，C在同一水平线上，EO⊥OC，FB⊥OC，则高楼OE的高度为多少米？（平面镜的大小忽略不计）
22.（10 分）商场销售某种台灯，成本为每盏 36 元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为 50 元时，平均每周售出 40 盏，当每盏台灯的售价每下降 1 元时，每周多售出 4 盏。
（1）若每盏台灯降价x元，则每盏台灯可盈利________元，平均每周可售出________盏台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为迎接 “双十一”，该网店决定降价促销。当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为 432 元？
23.（10 分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3 cm，BC=4 cm。点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1 cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D。同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ。设运动时间为t(s)(0<（1）BP= ，BQ= ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
（3）当t为何值时，△BPQ是以BP为腰的等腰三角形？
24.（12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2与l1交于点A(a,a)，与y轴交于点B(0,b)，与x轴交于点C。已知(a 2)2+ =0。
（1）求直线l2的解析式；
（2）若平面直角坐标系内有一点P(m,8)，使得S△AOP=S△AOB，请直接写出点P的坐标；
（3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO=45 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
25.（12 分）【初步感知】（1）如图 1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90 ，BD【尝试应用】（2）如图 2，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90 ，点D为边AC上一点，以BD为边向下方作正方形BDEF，连接CE，请猜想CE与AD的数量关系及∠ACE的度数，并说明理由；
【迁移拓展】（3）如图 3，已知矩形ABCD，BC=2AB，点P为矩形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，若PA=2，PC=3，求PB的最大值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图所示机器零件的左视图为（ C ）
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，BD=1，则等于（ D ）
A. B. C. D.
3.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为 1，则另一个根为（ A ）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是( 3,4)，则顶点B的坐标是（ C ）
A. (2,3) B. (4,2) C. (2,4) D. (3,4)
5.某学校开设了四门兴趣课程，分别为 “音乐”“网球”“陶艺”“口才”。学校规定每位学生只能选择一门自己喜欢的课程学习。琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人随机选择同一门课程的概率是（ B ）
A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，若S△ADF=9，S△BEF=4，且AD=9，则CE的长为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.一次函数y=kx+k2+1与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ D ）
8.如图是一张长8 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18 cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x cm，那么x满足的方程是（ C ）
A. 40 4x2=18 B. 40 2(8x+5x)=18 C. (8 2x)(5 2x)=18 D. (8 2x)(5 2x)=9
9.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90 ，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（ B ）
A. 3 B. C. 2 D.
10.如图，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为( 2,0)，点C在反比例函数y=(x<0)的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，若AB=2CD，则k的值为（ D ）
A. 6 B. C.﹣ D.
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 如果a=3b(b≠0)，那么=_____4___。
12.一只不透明的袋子中，装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为___2_____。
13.关于x的方程x2 6x+2m 1=0有两个相等的实数根，则m的值为____5____。
14.如图，点A，D分别在函数y= ，y=的图象上，点B，C在x轴上。若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△BCE的面积为____1.5____。
15.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，连接BD交A′E于点F，连接DA′，若AE=9，DE=6，=，则AB的长为____3____。
三．解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（8 分）解方程：（1）x2 4x+1=0 （2）x(x 2)=3x 6
(x﹣2)2=3 （x﹣2）（x﹣3）=0
x1=2+，x2=2﹣ x1=2，x2=3
17.（6 分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，∠AEB=∠AFD。求证：CE=CF。
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = AD = BC = CD ,∠B =∠D .
在△ABE 和△ ADF 中
∴△ ABE≌△ ADF ( AAS )
∴BE = DF
∴BC - BE = CD - DF ,
即 CE = CF .
18.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4, 4)。
（1）以点O为位似中心，请在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为2:1，并写出点C1的坐标________；
（2）若点M(a,b)为△ABC内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是________；
（3）请仅用无刻度的直尺在线段AB上确定一点P，使=，请画出点P。（保留作图痕迹）
（1）
C1（﹣2，2）
（2）(﹣a，﹣b)
（3）
19.（8 分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB于点D。
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若CD=3，BD=2，求AB的长。
（1）证明：∵∠ACB =90°, CD⊥AB
∴∠ADC =∠CDB =90°,
∴∠ACD +∠BCD =90°，∠BCD +∠B =90°
∴∠ACD =∠B
∴△ACD∽△CBD
（2）∵△ACD∽△CBD
∴AD = BD'
∴=
∴AD=4.5
∴AB=4.5+2=6.5
20.（8 分）国家卫生健康委员会宣布将 2025 年定为 “体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动。某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了 “我最喜爱的球类运动项目” 问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图。
根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m=________；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“羽毛球” 对应扇形的圆心角为________度；
（4）若该校有 2500 名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
（1）24
（2）略
（3）28.8
（4）2500×=800人
答：800人。
21.（8 分）如图，小华同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿OA方向移动1.2米到达点B处（即AB=1.2米），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；小华从点B处沿OB方向移动3米到达点C处（即BC=3米），测得∠OCE=45 。小华同学的眼睛距地面的高度FB为1.6米，已知点O，A，B，C在同一水平线上，EO⊥OC，FB⊥OC，则高楼OE的高度为多少米？（平面镜的大小忽略不计）
设 OE = a 米,
∵EO⊥OC ,FB⊥OC,
∴∠EOB =∠FBO =90
∵∠OCE =45°
∴△ BOC 是等腰直角三角形,
∴EO = OC = a 米,
由题意得:∠EAO=∠FAB
∴△ EAO∽△FAB
∴=
解得:x=16.8
∴EO =16.8米,
∴高楼 OE 的高度为16.8米.
22.（10 分）商场销售某种台灯，成本为每盏 36 元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为 50 元时，平均每周售出 40 盏，当每盏台灯的售价每下降 1 元时，每周多售出 4 盏。
（1）若每盏台灯降价x元，则每盏台灯可盈利________元，平均每周可售出________盏台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为迎接 “双十一”，该网店决定降价促销。当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为 432 元？
（1）（14﹣x） （40+4x）
（2）解设每盏台灯售价为y元
（y﹣36）（40+200﹣4y）=432
解得y1=42，y2=54（舍去）
答：首件为42元。
23.（10 分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3 cm，BC=4 cm。点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1 cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D。同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ。设运动时间为t(s)(0<（1）BP= ，BQ= ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
（3）当t为何值时，△BPQ是以BP为腰的等腰三角形？
（1）t （5﹣2t）
（2）
（3）或
24.（12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2与l1交于点A(a,a)，与y轴交于点B(0,b)，与x轴交于点C。已知(a 2)2+ =0。
（1）求直线l2的解析式；
（2）若平面直角坐标系内有一点P(m,8)，使得S△AOP=S△AOB，请直接写出点P的坐标；
（3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO=45 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）y=﹣2x+6
（2）P（14，8）
（3）（1.5，1.5）
25.（12 分）【初步感知】（1）如图 1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90 ，BD【尝试应用】（2）如图 2，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90 ，点D为边AC上一点，以BD为边向下方作正方形BDEF，连接CE，请猜想CE与AD的数量关系及∠ACE的度数，并说明理由；
【迁移拓展】（3）如图 3，已知矩形ABCD，BC=2AB，点P为矩形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，若PA=2，PC=3，求PB的最大值。
（1）AD=CE 45°
（2）AD=CE ∠ACE=135°
（3）最大值为