1.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）湘教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）湘教版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 80.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-25 10:59:41 | ||
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文档简介
湘教版九年级下 1.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．在抛物线y=x2-4x-4上的一个点是（ ）
A．（4，4） B．（，） C．（3，-1） D．（-2，-8）
2．若a+b+c=0，那么二次函数y=ax2+bx+c必过一点是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（-1，0） D．（2，0）
3．将抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，则两次平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2（x+3）2+5 B．y=2（x+3）2-5
C．y=2（x-3）2+5 D．y=2（x-3）2-5
4．下列函数中，y=2x,y=-3x+4，y=5x2（x≥0），y=-（x＜0），y随x增大而增大的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．函数y=a（x+a）与y=ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y=ax2+1（a＜0），线段AB中，A（-1，-1），B（3，0），将线段AB向下平移3个单位得到线段MN，若y=ax2+1（a＜0）的图象与线段MN只有一个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜-5 B． C． D．-5≤a＜0
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2，x1+x2＜2时，y1＞y2；④am2+bm≥a+b（m为实数），正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，-1），（-，）…，都是“相反点”，若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，-2），当-1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，则m的取值范围为（ ）
A．-1≤m≤4 B． C． D．
9．如图，已知点A（10，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=13时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5 B． C．8 D．12
10．如图，平面直角坐标系中，已知A（m,0），B（m+2，0），C（m+5，0），抛物线y=ax2+bx+c过A点、B点，顶点为P，抛物线y=ex2+fx+g过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则a：e的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．当x=1时，二次函数y=x2-7的函数值为______．
12．将抛物线y=3x2向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为 ______．
13．若A（-，y1）、B（-，y2）、C（3，y3）为二次函数y=-x2-4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是______（用“＜”连接）．
14．一个二次函数的图象经过点（t,0），则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数y=a（x-3）（x+2）（a≠0），无论a取何值，这个函数的图象总经过点（3，0）和点（-2，0），所以3和-2是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”-1，那么这个二次函数的解析式可以是______．（写出一个符合要求的函数解析式即可）
15．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x2-8x+18上运动，过点A
作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则抛物线y=x2-8x+18的顶点坐标是 ______，正方形ABCD周长的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知抛物线L：y=x2+bx+c经过点A（0，-5），B（5，0）．
（1）求b,c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标．
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+x经过点A（3，4）．
（1）求a的值；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；
①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；
②连结BC，求BC的最小值．
18．在二次函数y=x2-2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，求t的取值范围；
（3）若A（m-2，a），B（4，b），C（m,a）均在此二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）上．
（1）写出该抛物线与y轴的交点坐标；
（2）已知m=n.
①求a,b满足的数量关系；
②已知点（-1，7）在该抛物线上，当1＜x＜4时，求y的取值范围．
20．如图，过F（0，-1）的直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=-x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求b值；
（2）求x1x2的值；
（3）若线段AB的垂直平分线交y轴于N（0，n），求n的取值范围．
湘教版九年级下1.2二次函数的图象与性质同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、B 3、B 4、C 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B
二．填空题（共5小题）
11、-6； 12、y=3x2+4； 13、y3＜y1＜y2； 14、y=（x+1）2，答案不唯一； 15、（4，2）；4；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）将A（0，-5），B（5，0）代入y=x2+bx+c得，
解得．
（2）∵y=x2-4x-5，
∴抛物线对称轴为直线x=-=2，
设AB所在直线为y=kx+m,
把A（0，-5），B（5，0）代入y=kx+m得，
解得，
∴直线解析式为y=x-5，
把x=2代入y=x-5得y=-3，
∴M（2，-3）．
17、解：（1）∵抛物线y=ax2+x经过点A（3，4），
令x=3，代入y=ax2+x,则4=a×32+3，
∴a=；
（2）①如图1：由对称性可知OA=OC，AP=CP，
∵AP∥OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠AOP=∠2，
∴∠AOP=∠1，
∴AP=AO，
∵A（3，4），
∴AO=5，
∴AP=5，
∴P1（8，4），
同理可得P2（-2，4），
∴OP的表达式为y=-2x或y=x.
②如图2：∵OA=OC，
∴点C在以O为圆心，OA长为半径作⊙O上，连接BO，交⊙O于点C，
此时BC的值最小，
∵B（-12，4），
∴OB=，
∴BC的最小值为-5．
18、解：（1）将点（2，1）代入y=x2-2tx+3中，得，
1=4-4t+3，
解得．
（2）由y=x2-2tx+3得抛物线的对称轴为，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
又∵0≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴t≥3．
（3）∵A（m-2，a）和C（m,a）的纵，坐标相同，且均在此二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为x=t,也为，
∴t=m-1．
∵t＞0，
∴m-1＞0，
∴m＞1．
∵m-2＜m,
∴A点在对称轴左侧，C点在对称轴右侧，
由y=x2-2tx+3得抛物线与y轴的交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴x=m-1的对称点为（2m-2，3）．
∵a＜b＜3，
∴B点可能在A点左边，也可能在C点右边．
①当B点可能在A点左边时，
4＜m-2，
解得m＞6．
②当B点在C点右边时，
m＜4＜2m-2，
解得3＜m＜4．
综上，m的取值范围为m＞6或3＜m＜4．
19、解：（1）∵当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）；
（2）①∵m=n,
∴点（1，m）和点（3，n）关于该抛物线的对称轴对称，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，即，
∴4a+b=0，
即a,b满足的数量关系为4a+b=0；
②将点（-1，7）代入y=ax2+bx+2中，
得a-b+2=7，再与4a+b=0联立后，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+2=（x-2）2-2．
∵1＞0，
∴抛物线的开口朝上，
∴当x=2时，y的最小值为-2．
结合图象，当x=4时，y的最大值为2，
∴y的取值范围是：-2≤y＜2．
20、解：（1）∵直线y=kx+b过F（0，-1），
∴b=-1；
（2）∵b=-1，
∴直线的解析式为：y=kx-1，
解得-x2-kx+1=0，
∴x1x2==-4；
（3）由（2）得，x1+x2=-=-4k,
∴xC==-2k,yC=-2k k-1=-2k2-1，
∵CN⊥AB，
∴kCN=-，
∴yCN=-（x+2k）-2k2-1，
当x=0时，n=-2-2k2-1=-2k2-3，
∵k≠0，
∴n＜-3．
一．选择题（共10小题）
1．在抛物线y=x2-4x-4上的一个点是（ ）
A．（4，4） B．（，） C．（3，-1） D．（-2，-8）
2．若a+b+c=0，那么二次函数y=ax2+bx+c必过一点是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（-1，0） D．（2，0）
3．将抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，则两次平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2（x+3）2+5 B．y=2（x+3）2-5
C．y=2（x-3）2+5 D．y=2（x-3）2-5
4．下列函数中，y=2x,y=-3x+4，y=5x2（x≥0），y=-（x＜0），y随x增大而增大的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．函数y=a（x+a）与y=ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y=ax2+1（a＜0），线段AB中，A（-1，-1），B（3，0），将线段AB向下平移3个单位得到线段MN，若y=ax2+1（a＜0）的图象与线段MN只有一个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜-5 B． C． D．-5≤a＜0
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2，x1+x2＜2时，y1＞y2；④am2+bm≥a+b（m为实数），正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，-1），（-，）…，都是“相反点”，若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，-2），当-1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，则m的取值范围为（ ）
A．-1≤m≤4 B． C． D．
9．如图，已知点A（10，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=13时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5 B． C．8 D．12
10．如图，平面直角坐标系中，已知A（m,0），B（m+2，0），C（m+5，0），抛物线y=ax2+bx+c过A点、B点，顶点为P，抛物线y=ex2+fx+g过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则a：e的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．当x=1时，二次函数y=x2-7的函数值为______．
12．将抛物线y=3x2向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为 ______．
13．若A（-，y1）、B（-，y2）、C（3，y3）为二次函数y=-x2-4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是______（用“＜”连接）．
14．一个二次函数的图象经过点（t,0），则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数y=a（x-3）（x+2）（a≠0），无论a取何值，这个函数的图象总经过点（3，0）和点（-2，0），所以3和-2是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”-1，那么这个二次函数的解析式可以是______．（写出一个符合要求的函数解析式即可）
15．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x2-8x+18上运动，过点A
作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则抛物线y=x2-8x+18的顶点坐标是 ______，正方形ABCD周长的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知抛物线L：y=x2+bx+c经过点A（0，-5），B（5，0）．
（1）求b,c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标．
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+x经过点A（3，4）．
（1）求a的值；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；
①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；
②连结BC，求BC的最小值．
18．在二次函数y=x2-2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，求t的取值范围；
（3）若A（m-2，a），B（4，b），C（m,a）均在此二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）上．
（1）写出该抛物线与y轴的交点坐标；
（2）已知m=n.
①求a,b满足的数量关系；
②已知点（-1，7）在该抛物线上，当1＜x＜4时，求y的取值范围．
20．如图，过F（0，-1）的直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=-x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求b值；
（2）求x1x2的值；
（3）若线段AB的垂直平分线交y轴于N（0，n），求n的取值范围．
湘教版九年级下1.2二次函数的图象与性质同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、B 3、B 4、C 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B
二．填空题（共5小题）
11、-6； 12、y=3x2+4； 13、y3＜y1＜y2； 14、y=（x+1）2，答案不唯一； 15、（4，2）；4；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）将A（0，-5），B（5，0）代入y=x2+bx+c得，
解得．
（2）∵y=x2-4x-5，
∴抛物线对称轴为直线x=-=2，
设AB所在直线为y=kx+m,
把A（0，-5），B（5，0）代入y=kx+m得，
解得，
∴直线解析式为y=x-5，
把x=2代入y=x-5得y=-3，
∴M（2，-3）．
17、解：（1）∵抛物线y=ax2+x经过点A（3，4），
令x=3，代入y=ax2+x,则4=a×32+3，
∴a=；
（2）①如图1：由对称性可知OA=OC，AP=CP，
∵AP∥OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠AOP=∠2，
∴∠AOP=∠1，
∴AP=AO，
∵A（3，4），
∴AO=5，
∴AP=5，
∴P1（8，4），
同理可得P2（-2，4），
∴OP的表达式为y=-2x或y=x.
②如图2：∵OA=OC，
∴点C在以O为圆心，OA长为半径作⊙O上，连接BO，交⊙O于点C，
此时BC的值最小，
∵B（-12，4），
∴OB=，
∴BC的最小值为-5．
18、解：（1）将点（2，1）代入y=x2-2tx+3中，得，
1=4-4t+3，
解得．
（2）由y=x2-2tx+3得抛物线的对称轴为，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
又∵0≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴t≥3．
（3）∵A（m-2，a）和C（m,a）的纵，坐标相同，且均在此二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为x=t,也为，
∴t=m-1．
∵t＞0，
∴m-1＞0，
∴m＞1．
∵m-2＜m,
∴A点在对称轴左侧，C点在对称轴右侧，
由y=x2-2tx+3得抛物线与y轴的交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴x=m-1的对称点为（2m-2，3）．
∵a＜b＜3，
∴B点可能在A点左边，也可能在C点右边．
①当B点可能在A点左边时，
4＜m-2，
解得m＞6．
②当B点在C点右边时，
m＜4＜2m-2，
解得3＜m＜4．
综上，m的取值范围为m＞6或3＜m＜4．
19、解：（1）∵当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）；
（2）①∵m=n,
∴点（1，m）和点（3，n）关于该抛物线的对称轴对称，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，即，
∴4a+b=0，
即a,b满足的数量关系为4a+b=0；
②将点（-1，7）代入y=ax2+bx+2中，
得a-b+2=7，再与4a+b=0联立后，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+2=（x-2）2-2．
∵1＞0，
∴抛物线的开口朝上，
∴当x=2时，y的最小值为-2．
结合图象，当x=4时，y的最大值为2，
∴y的取值范围是：-2≤y＜2．
20、解：（1）∵直线y=kx+b过F（0，-1），
∴b=-1；
（2）∵b=-1，
∴直线的解析式为：y=kx-1，
解得-x2-kx+1=0，
∴x1x2==-4；
（3）由（2）得，x1+x2=-=-4k,
∴xC==-2k,yC=-2k k-1=-2k2-1，
∵CN⊥AB，
∴kCN=-，
∴yCN=-（x+2k）-2k2-1，
当x=0时，n=-2-2k2-1=-2k2-3，
∵k≠0，
∴n＜-3．