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第二章 数列
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·杭州二模)在正项等比数列{an}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7＋a11的最小值为( )21·世纪*教育网
A．16
B．8
C．6
D．4
【答案】:B
【解析】:因为{an}是正项等比数列，且2为a4与a14的等比中项，所以a4a14＝8＝a7a11，则2a7＋a11＝2a7＋≥2＝8，当且仅当a7＝2时，等号成立，所以2a7＋a11的最小值为8，故选择B.www-2-1-cnjy-com
2.(2016·宝鸡质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】:A
【解析】：由100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20＋d,20＋2d，较小的两份为20－d,20－2d，由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，∴最小的一份为20－2d＝20－2×＝，故选A.2-1-c-n-j-y
3.在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，则tan(a4＋a6)等于( )
A. B.
C．1 D．－1
【答案】:A
【解析】：∵a1＋a5＋a9＝3a5＝，∴a5＝.∴a4＋a6＝2a5＝，∴tan(a4＋a6)＝tan＝.【来源：21cnj*y.co*m】
4.{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于( )
A．667 B．668
C．669 D．671
【答案】:D
【解析】:由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.
5.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为( )
A．4 B.
C. D．2
【答案】:A
【解析】：在等比数列{an}中，a3，a6，a9也成等比数列∴a62＝a3a9，∴a3＝＝4.
6.(2016·石家庄质检)正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得am·an＝16a，m，n∈N*，则＋的最小值为( )【出处：21教育名师】
A．2
B．16
C.
D.
【答案】:C
【解析】：设数列{an}的公比为q，a3＝a2＋2a1?q2＝q＋2?q＝2，∴an＝a1·2n－1，am·an＝16a?a·2m＋n－2＝16a?m＋n＝6，∵m，n∈N*，∴(m，n)可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m＝2，n＝4时，＋取最小值.【版权所有：21教育】
7.首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为( )
A．an－1 B．na
C．an D．(n－1)a
【答案】:B
【解析】：由题意，知an＝a(a≠0)，∴Sn＝na.
8.下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n个图有化学键( )
A．6n个 B．(4n＋2)个
C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个
【答案】:D
【解析】：各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键(5n＋1)个．故选D.21·cn·jy·com
9.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
【答案】:B
【解析】:由a5＝a2q3得q＝3.∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.
10.(2016·济南模拟)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和100个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( )21世纪教育网版权所有
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
【答案】:B
【解析】:设至少要n秒钟，则1＋22＋…＋2n－1≥100，即2n－1≥100，所以n≥7.
11.等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )
A．8 B．－8
C．±8 D．以上都不对
【答案】:A
【解析】：∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0，∴a4＝8.21cnjy.com
12.设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为( )
A．10 B．11
C．10或11 D．12
【答案】:C
【解析】：令an≥0得n2－10n－11≤0，∴1≤n≤11.即1≤n≤10时，an>0，当n≥12时，an≤0，而a11＝0，故前10项和等于前11项和，它们都最大．
13.在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( )www.21-cn-jy.com
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】:B
【解析】：依题意，得－10＝(n＋2)，∴n＝3.
14.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19＝( )
A．55 B．95
C．100 D．190
【答案】:B
【解析】：S19＝×19＝×19＝×19＝95.
15.(2016·湖南师大附中模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于( )2·1·c·n·j·y
A. B.
C. D.
【答案】:C
【解析】：因为a＝a1·a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．所以a1＝d.所以＝＝. 21*cnjy*com
填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.(2016·兰州双基)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.21教育名师原创作品
【答案】：n2＋n
【解析】：由题意，得(a1＋3×2)2＝(a1＋2)(a1＋7×2)，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋×2＝n2＋n.21*cnjy*com
17.(2016·高考湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
【答案】：3n－1
【解析】:由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.
18.在等差数列{an}中，若Sn＝S29－n(n<29，n∈N*)，则a15＝________.
【答案】：0
【解析】：在Sn＝S29－n中令n＝15得S15＝S14，从而可知a15＝0.
19.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．21教育网
【答案】:15
【解析】：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·浙江模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【答案】：(1)bn＝n(n∈N*) （2）Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)
【解析】：由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝ ，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此，Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
21.(2016·保定一中模拟)已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Sn.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)证明{bn}为等差数列；
(2)若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围．
【答案】:(1){bn}是公差为log3q的等差数列 (2)∴－≤d<－.
【解析】：(1)证明：设{an}的公比为q，
则a1＝81， ＝q，由an>0，可知q>0，
∵bn＋1－bn＝log3an＋1－log3an＝log3＝log3q(为常数)，
∴{bn}是公差为log3q的等差数列．
(2)由(1)知，b1＝log3a1＝log381＝4，
∵S11≠S12，且S11最大，
∴即
∴－≤d<－.
22.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
【答案】:(1)an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d (2)故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元
【解析】：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d
＝2an－2－d－d＝…
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3 000－d)－2d
＝n－1(3 000－3d)＋2d.
由题意知am＝4 000，
∴m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
本人声明：本资源属本人原创作品，授予21世纪教育网独家发行。
第二章 数列
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·杭州二模)在正项等比数列{an}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7＋a11的最小值为( )21·世纪*教育网
A．16
B．8
C．6
D．4
2.(2016·宝鸡质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为( )
A.
B.
C.
D.
3.在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，则tan(a4＋a6)等于( )
A. B.
C．1 D．－1
4.{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于( )
A．667 B．668
C．669 D．671
5.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为( )
A．4 B.
C. D．2
6.(2016·石家庄质检)正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得am·an＝16a，m，n∈N*，则＋的最小值为( )21cnjy.com
A．2
B．16
C.
D.
7.首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为( )
A．an－1 B．na
C．an D．(n－1)a
8.下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n个图有化学键( )
A．6n个 B．(4n＋2)个
C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个
9.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
10.(2016·济南模拟)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和100个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( )21教育网
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
11.等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )
A．8 B．－8
C．±8 D．以上都不对
12.设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为( )
A．10 B．11
C．10或11 D．12
13.在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( )www-2-1-cnjy-com
A．2 B．3
C．4 D．5
14.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19＝( )
A．55 B．95
C．100 D．190
15.(2016·湖南师大附中模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.(2016·兰州双基)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.21·cn·jy·com
17.(2016·高考湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.2-1-c-n-j-y
18.在等差数列{an}中，若Sn＝S29－n(n<29，n∈N*)，则a15＝________.
19.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．2·1·c·n·j·y
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·浙江模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． 21*cnjy*com
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
21.(2016·保定一中模拟)已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Sn.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)证明{bn}为等差数列；
(2)若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围．
22.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．www.21-cn-jy.com
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．【来源：21cnj*y.co*m】
