本人声明：本资源属本人原创作品，授予21世纪教育网独家发行。
第三章 不等式
基本不等式 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.(2015·山东青岛质检)设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )
A.＞
B.＞
C．|a|＞－b
D.＞
【答案】:B
【解析】：由题设得a＜a－b＜0，所以有＜成立，即＞不成立．
2.若x>0，则函数y＝－x－( )
A．有最大值－2
B．有最小值－2
C．有最大值2
D．有最小值2
【答案】:A
【解析】：∵x>0，∴x＋≥2.∴－x－≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－有最大值－2.21cnjy.com
3.已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．16 D．不存在
【答案】:B
【解析】：∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．21·cn·jy·com
4.(2015·山东)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
【答案】:C
【解析】:∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜121·世纪*教育网
5.(2015·北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
【答案】:C
【解析】：A，B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立．
6.(2015·福建)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13
B．15
C．19
D．21
【答案】:C
【解析】：建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.
7.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )www.21-cn-jy.com
A.大于10 g
B.小于10 g
C.大于等于10 g
D．小于等于10 g
【答案】:A
【解析】：设两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，依题意有ax＝5b，by＝5a，∴xy＝25.∵≥，∴x＋y≥10，又a≠b，∴x≠y.∴x＋y＞10.即两次所得黄金数大于10克，故选A.21世纪教育网版权所有
8.函数f(x)＝的最大值为 ( )
A. B. 1
C. D.
【答案】:D
【解析】：由f(x)＝，变形可得；
9.在等比数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B．4
C．8 D．16
【答案】:B
【解析】:因为，所以由基本不等式可得，，故选B.
10.(2016·郑州市预测)已知a，b是两个零点的单位向量且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，的最小值是( ) 21*cnjy*com
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】:B
【解析】:设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(1，1)，代入c＋ta＋b＝，∴＝＝≥2.2·1·c·n·j·y
11.若，则的取值范围是（ ）
C．
D．
【答案】:C
【解析】：,,，则，选C.
12.(2015·湖南)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A.
B．2
C．2
D．4
【答案】:C
【解析】:由＋＝，知a＞0，b＞0，由于＋≥2，
∴≥，∴ab≥2.故选C.
填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.(2015山东)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．21教育网
【答案】:
【解析】：由题意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．
14.(2016·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
【答案】:3
【解析】:∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.
15.函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】：8
【解析】：∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.www-2-1-cnjy-com
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故＋的最小值为8.
16.(2016·山西省三诊)不等式＜a的解集是{x|a＜x＜0}，则a＝________．
【答案】:-1
【解析】：＜a化为x(－ax＋1)＜0，它的解集是{x|a＜x＜0}，知a＜0，则由x(－ax＋1)＜0得＜x＜0，则a＝，解得a＝－1.2-1-c-n-j-y
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.围建一个360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】：（1）y＝225x＋－360(x>0) （2）当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，由已知xa＝360，得a＝.∴y＝225x＋－360(x>0)．【出处：21教育名师】
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10800.∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【版权所有：21教育】
18.（2015·保定质检一）某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
【答案】：使用10年报废最合算，年平均费用为3万元
【解析】：设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
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第三章 不等式
基本不等式 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.(2015·山东青岛质检)设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )
A.＞
B.＞
C．|a|＞－b
D.＞
2.若x>0，则函数y＝－x－( )
A．有最大值－2
B．有最小值－2
C．有最大值2
D．有最小值2
3.已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．16 D．不存在
4.(2015·山东)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
5.(2015·北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
6.(2015·福建)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13
B．15
C．19
D．21
7.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )21教育网
A.大于10 g
B.小于10 g
C.大于等于10 g
D．小于等于10 g
8.函数f(x)＝的最大值为 ( )
A. B. 1
C. D.
9.在等比数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B．4
C．8 D．16
10.(2016·郑州市预测)已知a，b是两个零点的单位向量且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，的最小值是( )21cnjy.com
A．2
B．2
C．4
D．4
11.若，则的取值范围是（ ）
C．
D．
12.(2015·湖南)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A.
B．2
C．2
D．4
填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.(2015山东)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．21世纪教育网版权所有
14.(2016·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
15.函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．21·cn·jy·com
16.(2016·山西省三诊)不等式＜a的解集是{x|a＜x＜0}，则a＝________．
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.围建一个360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
18.（2015·保定质检一）某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
