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第三章 不等式
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )21cnjy.com
A.
B.
C.
D.
【答案】:A
【解析】:由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.
2.(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1
B．
C．9
D．16
【答案】:B
【解析】：选B ＋＝＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.2·1·c·n·j·y
3.设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
【答案】:A
【解析】：M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋)2＋＞0，∴M＞N.【来源：21·世纪·教育·网】
4.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a
B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2
D．a2>－a>a>－a2
【答案】:B
【解析】:∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，∴－1
a2>－a2>a.21世纪教育网版权所有
5.设全集为R，集合M＝{x|lg|x＋1|≤0}，则?RM等于( )
A．{x|x<－2}∪{－1}
B．{x|x>0}∪{－1}
C．{x|x<－2}∪{x|x>0}
D．{x|x<－2}∪{x|x>0}∪{－1}
【答案】:D
【解析】：此题为不等式在对数函数中的应用．因为lg|x＋1|≤0，即lg|x＋1|≤lg1.又因为lgx为增函数，所以|x＋1|≤1.所以－1≤x＋1≤1且|x＋1|≠0.所以－2≤x<－1或－10}∪{－1}．
6.若不等式组有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【答案】:A
【解析】：利用数轴，数形结合，可知a2＋1<4＋2a，解得－17.已知向量a＝(x，－1)，b＝(y－1,1)，x，y∈R＋，若a∥b，则t＝x＋＋y＋的最小值是( )21·cn·jy·com
A．4 B．5
C．6 D．8
【答案】:B
【解析】：由a∥b，得x＋y＝1.∴t＝t(x＋y)＝(x＋y)＝1＋1＋＋＋1≥3＋2＝5.当且仅当x＝y＝时，t取最小值5.
8.(2016·河北五校联考)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A．
B．
C．
D．4
【答案】:D
【解析】：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立．
9.不等式x2－2x－5＞2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5}
D．{x|－1≤x≤5}
【答案】:B
【解析】:不等式化为x2－4x－5＞0，∴(x－5)(x＋1)＞0，∴x＜－1或x＞5.
10.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10
C．8 D．2
【答案】:B
【解析】:画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距最大．
解方程组得A(2,1)，∴zmax＝10.
11.如果集合P＝{x||x|>2}，集合T＝{x|3x>1}，那么集合P∩T等于( )
A．{x|x>0} B．{x|x>2}
C．{x|x<－2或x>0} D．{x|x<－2或x>2}
【答案】:B
【解析】：P的解集为{x|x>2或x<－2}，T的解集为{x|x>0}．
12.已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )21教育网
A．MN
C．M＝N D．不确定
【答案】:B
【解析】：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又00，即M－N>0，所以M>N.
13.若mA．pB．mC．pD．m 【答案】:B
【解析】：将p，q看成变量，则m 14.(2016·怀化一模)(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为( )
【答案】:C
【解析】：将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A、B，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D，故选C.www-2-1-cnjy-com
15.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．－1C．－ 【答案】:C
【解析】：(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1?－x2＋x＋(a2－a－1)<0恒成立?Δ＝1＋4(a2－a－1)<0?－填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.函数y＝2x2＋的最小值是________．
【答案】：6
【解析】： y＝2x2＋＝2(x2＋1)＋－2≥2－2＝2×4－2＝6.当且仅当2(x2＋1)＝.即x＝±1时，等号成立．
17.(2016·鄂州一模)已知x>0，则的最大值为________．
【答案】：
【解析】:因为＝，又x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为.
18.若x>0且x≠1，p、q∈N＋，则1＋xp＋q与xp＋xq的大小关系为________．
【答案】：1＋xp＋q>xp＋xq
【解析】：1＋xp＋q－xp－xq＝1－xp＋xq(xp－1)
＝(xp－1)(xq－1)，
∵当x>1时，xp>1，xq>1；当0∴1＋xp＋q>xp＋xq.
19.(2016·武汉调研)规定记号“?”表示一种运算，即a?b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1?k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．2-1-c-n-j-y
【答案】:1 3
【解析】：1?k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.
∴f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·郑州高一期末调研)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
【答案】：(1)k＝－ (2)
【解析】：(1)∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集是{x|x<－3或x>－2}，
∴方程kx2－2x＋6k＝0的两根为－3，－2，且k<0.
由根与系数的关系得∴k＝－.
(2)∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集为R，
∴解得
故k的取值范围是.
21.(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．www.21-cn-jy.com
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
【答案】:（1）=－2x－＋916 （2）当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m2 21*cnjy*com
【解析】：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m2.
22.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，求租赁费最少为多少元？
【答案】:租赁费最少为2300元
【解析】：设租赁甲种设备x天，租赁乙种设备y天，租赁费为z元，则z＝200x＋300y.
由题意知即作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
解得故当z＝200x＋300y对应的直线过点(4,5)时，目标函数z＝200x＋300y取得最小值，zmin＝2 300.故租赁费最少为2300元．
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第三章 不等式
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )21教育网
A.
B.
C.
D.
2.(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1
B．
C．9
D．16
3.设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
4.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a
B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2
D．a2>－a>a>－a2
5.设全集为R，集合M＝{x|lg|x＋1|≤0}，则?RM等于( )
A．{x|x<－2}∪{－1}
B．{x|x>0}∪{－1}
C．{x|x<－2}∪{x|x>0}
D．{x|x<－2}∪{x|x>0}∪{－1}
6.若不等式组有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
7.已知向量a＝(x，－1)，b＝(y－1,1)，x，y∈R＋，若a∥b，则t＝x＋＋y＋的最小值是( )21世纪教育网版权所有
A．4 B．5
C．6 D．8
8.(2016·河北五校联考)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A．
B．
C．
D．4
9.不等式x2－2x－5＞2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5}
D．{x|－1≤x≤5}
10.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10
C．8 D．2
11.如果集合P＝{x||x|>2}，集合T＝{x|3x>1}，那么集合P∩T等于( )
A．{x|x>0} B．{x|x>2}
C．{x|x<－2或x>0} D．{x|x<－2或x>2}
12.已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )21cnjy.com
A．MN
C．M＝N D．不确定
13.若mA．pB．mC．pD．m 14.(2016·怀化一模)(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为( )
15.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )www.21-cn-jy.com
A．－1C．－填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.函数y＝2x2＋的最小值是________．
17.(2016·鄂州一模)已知x>0，则的最大值为________．
18.若x>0且x≠1，p、q∈N＋，则1＋xp＋q与xp＋xq的大小关系为________．
19.(2016·武汉调研)规定记号“?”表示一种运算，即a?b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1?k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．2·1·c·n·j·y
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·郑州高一期末调研)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
21.(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
22.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，求租赁费最少为多少元？
