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第一章 解三角形
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A.
B.
C.2
D.3
【答案】:D
【解析】:由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.
2.(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )21·cn·jy·com
A.
B.
C.
D.
【答案】:C
【解析】：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.2·1·c·n·j·y
3.已知三角形的边长分别为3、6、3，则它的最大内角的度数是( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
【答案】:C
【解析】：由大边对大角得：cos θ＝＝－?θ＝.
4.在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a的值为( )
A． B．2
C．或2 D．2
【答案】:C
【解析】:∵sinC＝·c＝，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝30°或A＝90°，当A＝30°时，a＝b＝；当A＝90°时，a＝＝2.故选C．
5.(2015·广东,5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝2,cos A＝,且b
A.
B.2
C.2
D.
【答案】:C
【解析】：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则为( )
A．2sin C B．2cos B
C．2sin B D．2cos C
【答案】:B
【解析】：由于C＝2B，故sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，所以＝2cos B，由正弦定理可得＝＝2cos B，故选B.
7.已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】:C
【解析】：由题意知：cosA·cosB＝sin2，∴cosA·cosB＝＝－cos[180°－(A＋B)]＝＋cos(A＋B)，∴(cosA·cosB＋sinA·sinB)＝，∴cos(A－B)＝1，∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故选C．
8.(2016·衡水中学模拟，8)已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
【答案】:B
【解析】：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝，又B∈(0，π)，所以B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝.21教育网
9.(2016·湖南四校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2＋b2－c2)tan C＝ab,则角C为( )【出处：21教育名师】
A.或
B.或
C.
D.
【答案】:A
【解析】:由题意得＝，则cos C＝，所以sin C＝，所以C＝或.
10.(2016·河南三市调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为( )21·世纪*教育网
A.3
B.
C.
D.3
【答案】:C
【解析】:由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6，C＝.由余弦定理得2abcos C＝2ab－6，则ab＝6，所以△ABC的面积为absin C＝×6×＝，故选C.
11.(2016·湖南十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan A＝7tan B，＝3，则c＝( )
A.4
B.3
C.7
D.6
【答案】:A
【解析】：tan A＝7tan B可得＝，即sin Acos B＝7sin Bcos A，
所以sin Acos B＋sin Bcos A＝8sin Bcos A，即sin(A＋B)＝sin C＝8sin Bcos A，由正、余弦定理可得c＝8b·，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又＝3，所以c2＝4c，即c＝4.故选A.
12.△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】:B
【解析】：由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝＝，所以C＝.【来源：21·世纪·教育·网】
13.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1．
【答案】:B
【解析】：由面积公式得：×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝45°或B＝135°，当B＝45°时，由余弦定理得：AC2＝1＋2－2cos 45°＝1，所以AC＝1，又因为AB＝1，BC＝，所以此时△ABC为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B＝135°，由余弦定理得：AC2＝1＋2－2cos 135°＝5，所以AC＝，故选B.
14.△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝3，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )
A．①②
B．①④
C．①②③
D．③④
【答案】:A
【解析】：①csinB15.在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且＝，则AD的长为( )21教育名师原创作品
A．4(－1)
B．4(＋1)
C．4(3－)
D．4(3＋)
【答案】:C
【解析】：由题意知∠BAC＝75°，
根据正弦定理，得AB＝＝8(－1)，
因为＝，所以BD＝BC.
又BC＝8，所以BD＝4(－1)．
在△ABD中，
AD＝
＝4(3－)．
填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.（2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则sin A＝________.【版权所有：21教育】
【答案】：
【解析】：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2，cos A＝＝＝，∴sin A＝.21*cnjy*com
17.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
【答案】：
【解析】:在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝. 21*cnjy*com
18.(2016·北京，13)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
【答案】：1
【解析】：由＝得sin C＝＝×＝，又0＜C＜，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.所以＝＝＝1.
19.甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.
【答案】:20
【解析】：如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.
则在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝20(m)，所以AB＝ACtan60°＝20(m)，在△BCD中，BC＝40(m)，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得＝，所以CD＝BC＝.
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若cos B＝，求cos C的值.
【答案】：(1)A＝2B (2)
【解析】：(1)证明由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B).
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解由cos B＝得sin B＝，cos 2B＝2cos2B－1＝－，
故cos A＝－，sin A＝，cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.21世纪教育网版权所有
21.在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin B·sin C，试判断△ABC的形状．
【答案】:△ABC为等边三角形
【解析】：由正弦定理得，a2＝b·c，又2a＝b＋c，∴4a2＝(b＋c)2，∴4bc＝(b＋c)2，即(b－c)2＝0，∴b＝c，又2a＝b＋c得2a＝2b，∴a＝b，即a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．21cnjy.com
22.(2016·太原模拟)在△ABC中，已知(sin A＋sin B＋sin C)·(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求角A的值；
(2)求sin B－cos C的最大值.
【答案】:（1） （2）当B＋＝，即B＝时，sin B－cos C的最大值为1
【解析】：(1)∵(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C，∴由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由A＝得B＋C＝，∴sin B－cos C＝sin B－cos
＝sin B－、＝sin.
∵0＜B＜，∴＜B＋＜，
∴当B＋＝，即B＝时，sin B－cos C的最大值为1.
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第一章 解三角形
单元测试题
（考试时间为90分钟，试卷满分100分）
选择题（本题共15小题；每小题4分，共60分）
1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A.
B.
C.2
D.3
2.(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )2-1-c-n-j-y
A.
B.
C.
D.
3.已知三角形的边长分别为3、6、3，则它的最大内角的度数是( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
4.在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a的值为( )
A． B．2
C．或2 D．2
5.(2015·广东,5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝2,cos A＝,且bA.
B.2
C.2
D.
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则为( )
A．2sin C B．2cos B
C．2sin B D．2cos C
7.已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )2·1·c·n·j·y
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
8.(2016·衡水中学模拟，8)已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
9.(2016·湖南四校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2＋b2－c2)tan C＝ab,则角C为( )21教育网
A.或
B.或
C.
D.
10.(2016·河南三市调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为( )www.21-cn-jy.com
A.3
B.
C.
D.3
11.(2016·湖南十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan A＝7tan B，＝3，则c＝( )21·世纪*教育网
A.4
B.3
C.7
D.6
12.△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
13.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1．
14.△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝3，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )21世纪教育网版权所有
A．①②
B．①④
C．①②③
D．③④
15.在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且＝，则AD的长为( )21cnjy.com
A．4(－1)
B．4(＋1)
C．4(3－)
D．4(3＋)
填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
16.（2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则sin A＝________. 21*cnjy*com
17.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
18.(2016·北京，13)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
19.甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.
三、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分，请写出必要的解题步骤）
20.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.【出处：21教育名师】
(1)证明：A＝2B；
(2)若cos B＝，求cos C的值.
21.在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin B·sin C，试判断△ABC的形状．
22.(2016·太原模拟)在△ABC中，已知(sin A＋sin B＋sin C)·(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求角A的值；
(2)求sin B－cos C的最大值.
