八年级上2.5等腰三角形的轴对称性（一）同步测试含答案

《2.5
等腰三角形的轴对称性》（1）
　
一、选择题
1．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（　　）
A．两边之和大于第三边
B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．有两个锐角的和等于90°
D．内角和等于180°
2．一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为（　　）
A．9条
B．7条
C．6条
D．3条
3．在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（　　）
A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高
C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高
D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
4．等腰三角形的两个外角的度数比为2：5，则它的顶角的度数是（　　）
A．40°
B．120°
C．140°
D．40°或140°
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
　
二、填空题
6．如果等腰三角形的腰长为6cm，顶角为60°，则等腰三角形的周长为______．
7．如果等腰三角形的一个角为50°，那么其余两个角为______．
8．如果等腰三角形的一边长为6cm，周长为14cm，那么另外两边的长分别为______．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足，由以上两个条件可得______．（写出一个结论即可）
　
三、解答题
10．如图，已知：AB=AC、DB=DC．求证：∠3=∠4．
11．已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？
12．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
　
《2.5
等腰三角形的轴对称性》（1）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（　　）
A．两边之和大于第三边
B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．有两个锐角的和等于90°
D．内角和等于180°
【解答】解：A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，不符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，符合题意；
C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，不符合题意；
D、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意．
故选：B．
　
2．一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为（　　）
A．9条
B．7条
C．6条
D．3条
【解答】解：等腰三角形的一个底角的角平分线以及对边的中线和高，有3条；
根据等腰三角形三线合一的特点，可知：顶角的角平分线与底边的中线和高重合，因此只有1条；
那么等腰三角形的角平分线、高、中线的总条数为3+3+1=7；
故选B．
　
3．在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（　　）
A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高
C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高
D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠A是顶角，
∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．
故选：B．
　
4．等腰三角形的两个外角的度数比为2：5，则它的顶角的度数是（　　）
A．40°
B．120°
C．140°
D．40°或140°
【解答】解：设这两个外角等于2x，5x，
①若底角的外角是2x，则有2（180°﹣2x）+（180°﹣5x）=180°，
解得x=40°，
则底角=100°，不合题意，舍去．
②若顶角的外角是2x，则有（180°﹣2x）+2（180°﹣5x）=180°，
解得x=30°，
则顶角=120°，那么底角=30°，
故选：B．
　
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC==80°，
∵DE是线段AB垂直平分线的交点，
∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°．
故选C．
　
二、填空题
6．如果等腰三角形的腰长为6cm，顶角为60°，则等腰三角形的周长为　18cm　．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为60°，
∴该等腰三角形为等边三角形，
又∵等腰三角形的腰长为6cm，
∴该等边三角形的边长为6cm．
则其周长为：3×6=18（cm）．
故答案是：18cm．
　
7．如果等腰三角形的一个角为50°，那么其余两个角为　50°，80°或65°，65°　．
【解答】解：当该角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°；
当该角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°．
故填50°，80°或65°，65°．
　
8．如果等腰三角形的一边长为6cm，周长为14cm，那么另外两边的长分别为　6cm，2cm或4cm，4cm　．
【解答】解：①若6cm是腰长，则另两边分别为6cm，2cm，
能组成三角形，
②若6cm是底边，则另两边分别为4cm，4cm，
能组成三角形，
所以，那么另外两边的长分别为6cm，2cm或4cm，4cm．
故答案为：6cm，2cm或4cm，4cm．
　
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足，由以上两个条件可得　BD=CD　．（写出一个结论即可）
【解答】解：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=CD．
　
三、解答题
10．如图，已知：AB=AC、DB=DC．求证：∠3=∠4．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DB=DC，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠ABC﹣∠1，∠4=∠ACB﹣∠2，
∴∠3=∠4．
　
11．已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？
【解答】解：AE∥BC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
由三角形的外角性质得，∠DAC=∠B+∠C=2∠B，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠DAE，
∴∠B=∠DAE，
∴AE∥BC．
　
12．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，
∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO并延长交BC于F，
在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．