八年级数学上册2.4线段、角的对称性（1）同步测试含答案

《2.4
线段、角的对称性》（1）
　
一、选择
1．下列命题中正确的命题有（　　）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，AC=AD，BC=BD，则（　　）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上结论都不正确
3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（　　）
A．6
cm
B．7
cm
C．8
cm
D．9
cm
　
二、填空题
4．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是______°．
5．已知：如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADC=______．
6．在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=______
cm．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE：∠EBA=1：4，则∠A=______度，∠ABC=______度．
8．底边AB=a的等腰三角形有______个，符合条件的顶点C在线段AB的______上．
　
三、解答题
9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1=2∠2，求∠A的度数．
10．已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．
11．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABC的周长为18厘米，△ABE的周长为10厘米，求BD的长．
12．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线．
（1）若BC=13，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC=126°，求∠EAG的度数．
　
《2.4
线段、角的对称性》（1）
参考答案与试题解析
　
一、选择
1．下列命题中正确的命题有（　　）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；
②错误；这是对线段垂直平分线的误解；
③有无数条，错误；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图
⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；
故选A．
　
2．如图，AC=AD，BC=BD，则（　　）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上结论都不正确
【解答】解：AC=AD，BC=BD
根据线段垂直平分线的性质可得：
AB垂直平分CD
故选B．
　
3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（　　）
A．6
cm
B．7
cm
C．8
cm
D．9
cm
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．
故选D．
　
二、填空题
4．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是　15　°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣50°）÷2=65°
∵DE为AB的中垂线
∴AD=BD
∴∠ABD=∠A=50°
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=15°．
故填15．
　
5．已知：如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADC=　120°　．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B==30°，
∵AC的垂直平分线交BC于D，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C=120°．
故答案为：120°．
　
6．在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=　4　
cm．
【解答】解：∵AB=AC=6cm，DE垂直且平分AB，
∴BE=AE．
∵△BCE的周长为10cm，BE+CE=AC=AB=6，
∴BC=10﹣6=4（cm）．
故答案为：4．
　
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE：∠EBA=1：4，则∠A=　40　度，∠ABC=　50　度．
【解答】解：如图所示：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴∠A=∠EBA．
∵∠CBE：∠EBA=1：4，
∴可设∠CBE=x，则∠A=∠EBA=4x，
∵∠C=90°，
∴∠CBE+∠A+∠EBA=90°，即9x=90°，解得x=10°，
∴∠A=4x=40°，∠ABC=5x=50°．
故答案为：40，50．
　
8．底边AB=a的等腰三角形有　无数　个，符合条件的顶点C在线段AB的　垂直平分线　上．
【解答】解：如图，作线段AB的垂直平分线，
在该垂直平分线上任取两点M、N，
则有MA=MB、NA=NB，
即△MAB、△NAB均为等腰三角形，
∴底边AB=a的等腰三角形有无数个，
符合条件的顶点C在线段AB的垂直平分线上．
　
三、解答题
9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1=2∠2，求∠A的度数．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于D点，
∴DB=DA，∠2=∠A（设为α），
∴∠BDC=∠2+∠A=2α；
∵∠C=90°，∠1=2∠2，
∴∠1+∠BDC=90°，即4α=90°，
∴α=22.5°，
即∠A=22.5°．
　
10．已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．
【解答】证明：∵点P是边AB，BC的垂直平分线的交点，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PB=PC．
　
11．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABC的周长为18厘米，△ABE的周长为10厘米，求BD的长．
【解答】解：∵C△ABC=18cm，
∴AB+AC+BC=18cm．
2分
∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，BD=BC
4分
∵C△ABE=10cm，
∴AB+AE+EB=AB+AC=10cm．
5分
∴BC=C△ABC﹣C△ABE=8cm．
7分
∴BD=BC=4cm．
8分
　
12．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线．
（1）若BC=13，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC=126°，求∠EAG的度数．
【解答】解：（1）∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，BC=13，
∴BE=AE，CG=AG，
∴△AEG的周长=AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=13；
（2）在△ABC中，∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠1=∠B，
同理可得∠2=∠C，
又∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，
∴2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，
∴∠EAG=60°．