《随机事件的概率》
教学设计
焦作市第十一中学
李国磊
《随机事件的概率》教学设计
教材：北师大版高中《数学》必修3第三章第一节第一课时
一、教学背景分析
1．教材分析：
新教材在教学内容的编排上，采用了模块化、螺旋上升的方式，学生在初中阶段已经接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，在必修三第一章学生刚刚又学习了统计的内容，了解了频数、频率等概念，因此本节课是对已学内容的深化和延伸；同时，本节课对于后面学习的古典概型、几何概型以及选修2-3离散型随机变量的分布列等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。
2．学情分析：
学生在初中阶段学习了概率的初步知识，对频率与概率的关联有一定的认识，对于高二的学生，他们具备了一定的观察、归纳、概括能力，但他们不知道如何利用频率去估计概率，这是教学中的一大难点；另外，随机事件发生的随机性和规律性是如何辩证统一的，这是教学中的又一大难点．
二、教学目标设计
1、知识与技能目标：
（1）进一步认识随机现象，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
（2）正确理解概率的统计定义，明确概率与频率的区别和联系，掌握利用频率估计概率的思想方法；
（3）通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，使学生对对立统一的辨证关系有进一步的认识．
2、过程与方法目标：
（1）通过动手试验，体会随机事件发生的随机性和规律性；
（2）在试验、探究和讨论过程中，学会利用频率估计概率的思想方法．
3、情感态度与价值观目标：
（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；
（2）通过随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的发现，体会偶然性与必然性的对立统一；
（3）通过本节课浓厚的生活背景，指导学生形成正确的价值观和人生观．
根据上述教材背景分析，结合教学大纲和学情分析，我确立了如下的教学重点、难点：
三、教学重难点
（1）重点：通过抛掷硬币试验了解概率的统计定义、明确其与频率的区别和联系；
（2）难点：利用频率估计概率，体会随机事件发生的随机性和规律性.
四、教法学法设计
针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导，学生为主体的探究式教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手试验，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，我灵活运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解.
教学用具：硬币数十枚，表格，幻灯片，计算机及多媒体教学.
五、教学基本流程：
六、教学情境设计：
（一）创设情境，引入新知
导入语：我们生活的世界充满着不确定性，从抛硬币、玩扑克等简单的游戏，到复杂的社会现象；从体育比赛，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性，正因为不确定性的存在，而让我们的生活变得丰富多彩。
今天，我们从两场比赛说起：播放视频
生活实例1：张梦雪里约奥运夺首金
生活实例2：女排逆转夺冠
设计意图：从刚刚过去的里约奥运会的实例引入，一方面奥运会是备受关注的社会热点话题，可以增强学生的国家自豪感和荣誉感，尤其是女排精神，可以激发学生永不服输，坚持到底的学习动力；另一方面可以激发学生的听课兴趣，通过身边的生活实例，让学生体会学习随机事件及其概率的必要性.
思考一：
1、在张梦雪射击前，你能知道她会获得冠军吗？
2、在比赛前，你能猜到中国女排能再次夺得金牌吗？
设计意图：抓住生活实例中包含的数学思维部分进行提问，引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界，对生活中的现象和感性认识进行理性思考，并且这两个问题在学生看来是很容易回答的，这恰恰说明概率的雏形在生活实践中已经产生，引出本节课的课题《随机事件的概率》.
思考二：
1、既然能否夺冠是随机事件，为什么派张梦雪参加奥运会，而不是派其他射击运动员参加？
2、张梦雪“击中靶心的可能性比其他射击运动员大”这一生活经验是如何得到的呢?
学生：根据以往的射击数据，统计其击中靶心的频率．
教师：张梦雪击中靶心的频率是怎么计算的呢？
，射击一次相当于做一次试验，在生活中我们通常用射击试验命中的频率来估计命中的概率，那么这种方法是否具有普遍性？
设计意图：基于初中的学习，有些学生已经具备了用试验频率来估计概率的经验，但对于“为什么可以这样做”，缺乏思考．因此从学生熟悉的命中率入手，为接下来探讨随机事件的概率做准备．
（二）合作交流，探究新知
1、动手试验，探究随机事件的可能性大小
（1）试验目的：探究随机事件“抛掷一枚硬币，正面朝上”发生的可能性大小．
（2）试验要求：①从约30cm的高度下抛硬币，让其自由下落在桌面上； ②小组成员两两结合，一人抛掷硬币时另一人帮其记录，每人掷20次，共80次，认真记录 “正面向上”出现的次数，组长汇总本组的总次数．
学生活动：由学生自己动手做试验，亲身体验随机事件发生的随机性及其频率的稳定性，经历动手试验——分析数据——观察规律——总结结论的探究过程．
设计意图：分组试验是本节课最重要的环节，不能忽略，这也是本节课教学中最难控制的一个环节——必须把试验的自主权交给学生，让同学们亲历抛掷硬币的随机过程，唯有如此，才能建构起正确的随机观，才能辩证的理解随机性中的规律性．
2、汇总数据，观察频率的特征
设置问题：对比研究，探讨正面朝上的规律性（教师引导、学生归纳）
学生活动：同学们先独立思考下面几个问题，然后小组讨论交流，举手发言．
（1）仔细观察上表，频率呈现出什么样的特征？举手发言.
生：频率基本上在常数0.5附近摆动，个别偏离常数较大.
（2）请同学们小组讨论频率偏离常数较大的原因，派代表发言.
生：①没有在相同条件下做试验；
②由于随机事件本身的不确定性，当试验次数较少时，个别偏离较大是正常情况.
（3）增加试验次数，继续观察频率有什么变化？
生：随着试验次数的增加，频率摆动的幅度具有减小的趋势，并逐渐稳定于常数0.5.
设计意图：设置“问题串”，层层深入，步步递进，让学生在动手试验和数据分析中总结频率的随机性与稳定性，以及要注意的两个条件“相同条件下”、“大量重复试验”，最终得出频率在大量重复试验下的规律性，符合学生的认知规律．
3、观察分析，猜想频率的规律性
借助计算机模拟抛10000次的试验，通过对比寻找在大量重复试验下的频率呈现出的规律性：
随着试验次数的增加，频率摆动的幅度有减小的趋势，并逐渐稳定于常数0.5
教师：有没有人亲手做过这么多次试验呢？
历史上一些抛掷硬币的试验结果：（借机德育教育：这些数学家们正因为专注于一件事，在平凡的事情中创造了不平凡的业绩，这种持之以恒，科学严谨的探究精神也是我们所要学习的）
试验者
抛掷次数（n）
正面向上的次数（频数m）
频率（）
棣莫弗
2048
1061
0.5181
布丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
24000
12012
0.5005
罗曼诺夫斯基
80640
40173
0.4982
学生活动：先独立思考下面两个问题，然后小组讨论交流，小组代表举手发言．
①能不能用某次试验的频率作为硬币正面向上的概率？为什么?
②用哪个量作为硬币正面向上的概率比较合适呢？
结论：在相同条件下，大量重复抛掷硬币试验时，出现正面向上的频率在常数0.5附近摆动，随着试验次数的增加，正面向上的频率稳定于常数0.5，这个常数0.5就是硬币正面向上的概率.
设计意图：学生亲历随机试验过程，更能理解试验的随机性，并体会出大量重复试验后的规律性，结合历史上数学家所做的努力，及电脑模拟，加深对频率的稳定性的认识，并意识到概率概念的雏形．频率稳定在0.5附近，这个0.5即抛掷一枚硬币“正面朝上”的概率，引出概率定义．建构主义要求在课堂上体现概念、思想方法的自主建构过程，让学生去尝试、探索，总结、沉淀，内化成知识结构．
4、感知升华，概括结论
学生活动：请同学们根据试验结论，尝试自己概括出概率的统计定义，先单独思考，然后在练习本上写出来.
（1）概率的统计定义
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某一个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．
思考：随机事件A的概率 P(A)的取值范围是多少？随机事件的概率可以为0或1吗？你能举例说明吗？
如：在区间(0,1)内随机取一个实数，所取实数恰为0.5这是随机事件吗？它发生的概率是多少呢？
设计意图：充分的发挥学生的主体地位，让学生学会分析问题，体验合作精神，通过教师的补充使学生对概念更清晰、理解更透彻．通过计算机模拟试验，再次让学生体会用大量重复试验下的频率估计概率的思想方法.
（2）求随机事件概率的方法
生：大量重复试验下的频率估计概率
（3）频率和概率有何联系和区别？
学生活动：讨论交流后，找学生代表阐述自己的观点，教师做一补充．
联系：频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会稳定在概率附近；
区别：频率反映了随机事件出现的频繁程度，是随机的，试验前不能确定；
概率是确定的，是客观存在的，与试验无关.
设计意图：通过投影思考问题，引导学生结合试验过程得出结论，锻炼学生的发现、合作、归纳的能力；通过投影结论，规范数学语言.教师结合实验过程对频率与概率的区别与联系以及求随机事件的概率的方法进行再探讨，突出本节课重点，突破难点.
（三）自主练习，应用新知
例1：判断下列说法的对错：
（1）在对一批种子进行的发芽试验中，抽取的10粒种子全部发芽，所以该种子的发芽率为100%；
（2）乒乓球比赛中，小李比小王获胜的概率大，若两人打一局比赛，小李一定获胜；
（3）因为抛掷一枚硬币出现正面的概率是0.5，所以抛掷12000次时，出现正面的次数很有可能接近6000次；
（4）某种彩票的中奖率为 ，那么，买1000张彩票一定能中奖.
设计意图：通过种子发芽、体育比赛、抛掷硬币，彩票中奖等随机事件，让学生对生活中的随机事件的概率有了重新的认识，进一步了解了概率的定义及频率与概率的区别与联系.并借机对学生进行人生观和价值观的教育.
例2. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率m/n
(1)计算表中击中靶心的各个频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？
(3)这位射手击中靶心的概率为0.9，那么他射击10次一定能击中靶心9次吗？
设计意图：通过射击的命中率，让学生学会如何利用频率估计概率，了解求生活中随机事件的概率的方法.
（四）课堂小结、精华再现
（1）这节课你都学到了哪些知识？
（2）这节课你都掌握了什么思想方法？
（3）通过本节课的学习，对你的人生观、价值观有什么影响？
设计意图：引导学生总结本节课所学内容，并分享自己的一些体会，对本节课知识进行再回顾，再梳理，再理解（鼓励同学们自由发言）.
结束语：
世界上很多的事在我们看来都带有偶然性，但在大量的偶然现象背后，隐藏着必然的规律，概率就是这种偶然中的一种必然.
因此，当我们面临不确定的随机事件时，我们要抓住机遇，挑战不可能，成就自己精彩的人生.
（五）课下探究、拓展新知
探究1：站错队
在超市购物后结账，人多的时候，多数情况是自己站的队伍慢，其它队伍快，总让人很是烦恼，你能利用所学的概率知识消除我的烦恼吗？
探究2：电脑在今天已走进了千家万户，大大提高了人们的学习和工作效率．当你的指尖敲打着电脑键盘时，你是否想过，键盘上的字母为什么不按顺序排列？
我们不妨一起来做一次统计，先选取一篇英文文章，然后统计总的字母数，每个字母出现的频数与频率，你能发现什么？
设计意图：通过身边两个学生很熟悉的问题，更能激发学生的求知欲与兴趣，并能够让学生通过思考探究，跳一跳能够摘到桃子，鼓励学生继续学习．
七、教学反思：
本节课内容非常贴近生活，因此丰富的问题情境会激发学生浓厚的兴趣，在教学时通过创设情境、引入新知——合作交流、探究新知——自主练习、应用新知——课堂小结、再现新知——课下探究、拓展新知等环节，引导学生逐步掌握知识，提高能力，本节课在教学中充分体现以教师为主导，以学生为主体的原则.
在教学中提供恰当的问题情景，使学生在自主探索与合作交流中成为数学的主人，教师成为数学学习的组织者、引导者与合作者，在教学中注重学生的合作和交流活动，在活动中促进知识的学习，让学生澄清生活中的一些对概率的错误认识.引导学生认识到试验频率并不等同于概率，认识大量重复试验下的频率逐渐稳定于概率，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.
虽然本节课教学效果总体还不错，但是还有不尽如人意的地方.教完之后有很多想法.我想下次如果再上这节课时，我将给学生更多时间，让学生们更充分的融会到自由学习，自主思考，交流合作中提炼结果的学习氛围，在教学中应想办法让学生更积极的参与进来；应考虑设计不同的问题，让不同层次的学生得到不同的发展；多让学生举例子，用生活中的元素来教学，用数学知识解决生活中的问题，更能提高学生的数学学科的核心素养等等，这需要我在以后教学中不断改进，学习提高.?
总之，上完这节课后我的感觉就是：用新教材的理念，把课堂交给学生，把时间交给学生，也就把知识交给了学生．
《随机事件的概率》教学设计说明
教材：北师大版高中《数学》必修3第三章第一节第一课时
一、教学内容的本质、地位与作用
《随机事件的概率》是北师大版数学《必修3》第三章第一节的内容，是学生学习《概率》的入门课，也是学习后续知识的基础，现实生活中存在着大量的不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科．新教材在教学内容的编排上，采用了模块化、螺旋上升的方式．学生在初中阶段已经接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，高中数学必修三第一章刚刚学习了统计内容，了解了频数、频率等概念，因此本节课是对已学内容的深化和延伸；同时，本节课对于后面学习的古典概型、几何概型以及选修2-3离散型随机变量的分布列等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位．
本节课就知识的应用价值上来看:概率反映了随机事件发生的可能性大小,为人们做出正确决策提供依据．就内容的人文价值上来看：研究概率涉及了必然与偶然的辨证统一关系，是培养学生应用意识和思维能力的良好载体．
二、教学目标分析
（1）通过生活实例让学生进一步认识日常生活中的随机现象，理解必然事件、随机事件、不可能事件的概念，了解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，从而更好的理解概率的统计定义．
（2）让学生经历抛掷硬币试验的过程，由此激发学生的学习兴趣和求知欲，通过抛硬币试验，学生获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高；同时让学生明确概率与频率的区别和联系，掌握利用频率估计概率的思想方法．
（3）让学生亲历试验过程，培养学生观察、动手和总结的能力，以及同学之间的交流合作能力；强化辨证思维，通过数学史渗透，培育学生刻苦严谨的科学精神；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受必然性与偶然性的辩证统一．
基于以上教学内容分析和教学目标分析，确定本节课的教学重点是：通过抛掷硬币了解概率的统计定义、明确其与频率的区别和联系.
三、教学问题诊断
现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．但学生在日常生活中，对于概率已经有一些模糊的认识，同时学生思维比较灵活，有较强的动手操作能力和较好的实验基础，根据学生的心理特征和认知规律，我采用以教师为主导，学生为主体的探究式教学方法，力求引导学生从以下几个角度来认识随机事件的概率．
1.频率是随机的，试验前并不能确定，频率反映了随机事件发生的频繁程度，通过分组试验，每一组所做的80次试验中得到的频率不尽相同，而概率是一个客观存在的常数，与试验无关．
2.概率反映的是大量重复试验下频率的稳定性，学生常会错误理解抛两次硬币一定是一正一反．
3.出现个别频率偏离概率较大的情形是很正常的，这是随机现象的特性．在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，可以采用试验的办法帮助学生理解，比如随机事件的概率能否为0和1的问题，都可以通过试验来解决．
通过对随机事件概率的学习，学生充分体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力也得到了一定的锻炼．
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：掌握利用频率估计概率的方法，体会随机事件发生的随机性和规律性．
四、教法特点及预期效果分析
（1）教法特点
抛硬币试验是本节课的精华，唯有亲历随机过程，体会其随机性与规律性，才能真正理解概率概念，才能真正让学生体会频率稳定于概率的过程.课堂教学中不好处理的就是数据的统计分析，以及如何呈现出大量重复试验下频率的稳定性，根据本节课教材内容的特点和学生的认知情况，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用flash动画，快速、准确的计算各组的频率，绘制出频率折线图，并能方便快速的画出累积的频率折线图．另外通过动态的演示，观察大量重复试验下的频率呈现出的规律性，让教学更直观、更生动.
（2）预期效果
希望通过这节课的教学，能使学生感受到随机现象在生活中是广泛存在的，并时刻影响着我们的生活，在大量纷繁杂乱的偶然现象背后，隐藏着必然的规律，而概率就是这种偶然中的一种必然；能使学生在紧张而活泼的教学环节中，亲历随机性和规律性的统一过程；能使学生初步理解随机性，并感受利用统计方法处理随机性中的规律性——随机性是表象，规律性才是我们研究的主题．
课件18张PPT。北师大版《普通高中课程标准实验教科书》·数学·必修三随机事件的概率
（第一课时）一、创设情境，引入新知 生活实例：张梦雪里约奥运夺首金一、创设情境，引入新知 生活实例2：女排逆转夺冠一、创设情境，引入新知思考一：1、在张梦雪射击前，你能知道她会获得冠军吗？
2、在比赛前，你能猜到中国女排能再次夺得金牌吗？一、创设情境，引入新知思考二：1、既然能否夺冠是随机事件，为什么派张梦雪参加奥运会，而不是派其他射击运动员参加？2、张梦雪“击中靶心的可能性比其他射击运动员大”这一生活经验是如何得到的呢？ 在生活中我们通常用射击试验命中的频率来估计命中的概率，那么这种方法是否具有普遍性？（一）动手试验，探究随机事件的可能性大小二、合作交流，探究新知认真阅读（1）试验目的：探究随机事件“抛掷一枚硬币，正面向上”的可能性大小.
（2）试验要求：
①假设硬币的材质是均匀的，所有的硬币都相同；
②从离桌面大约30cm的高度，让其自由下落在桌面上；
③5人一组，每人抛掷20次，共100次，各自认真记录 “正面向上”出现的次数，组长汇总本组的总次数. 二、合作交流，探究新知（二）汇总数据，观察频率的特征思考1：请仔细观察上表，频率呈现出什么样的特征？特征1：每一组的频率不太一样，但频率基本上在一个常数0.5附近
摆动，个别偏离常数较大.思考2：请同学们小组讨论频率偏离常数较大的原因.原因：1.没有在相同条件下做试验；
2.由于随机事件的不确定性，当试验次数较少时，个别偏离较大
属于正常情况.思考3：增加试验次数，继续观察频率有什么变化.特征2：随着试验次数的增加，频率摆动的幅度有减小的趋势.二、合作交流，探究新知（三）观察分析，探究频率的规律性特征2：随着试验次数的增加，频率摆动的幅度有减小的趋势，并逐渐
稳定于常数0.5.‘程序初始化
m=0
‘m用于存储硬币为正面的次数
For n=1 to 10000
k=int(rnd()+0.5)
‘变量k为0或1的等可能随机数
if k=1 then
m=m+1
end if
f=m/n
‘绘制点(n,f)
If n>1 then
‘连接上一个点
End if
Next二、合作交流，探究新知（三）观察分析，探究频率的规律性思考：
①能不能用某次试验的频率作为硬币正面向上的概率？
②用哪个量作为硬币正面向上的概率比较合适呢？结论：在相同条件下，大量重复抛掷硬币时，出现正面向上的频率会在常数0.5附近摆动，随着试验次数的增加，正面向上的频率稳定于常数0.5 ，这个常数0.5就是正面向上的概率.二、合作交流，探究新知（四）感知升华，概括结论 试验结论：在相同条件下，大量重复抛掷硬币试验时，出现正面向上的频率在常数0.5附近摆动，随着试验次数的增加，正面向上的频率稳定于常数0.5，这个常数0.5就是硬币正面向上的概率. 请同学们根据试验结论，尝试自己概括出概率的统计
定义.二、合作交流，探究新知1.概率的统计定义 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某一个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．（四）感知升华，概括结论思考：随机事件A的概率 P(A)的取值范围是多少？随机事件的概率可以为0或1吗？你能举例说明吗？二、合作交流，探究新知 如：在区间(0,1)内随机取一个实数，“所取实数恰为0.5”这是一个随机事件吗？它发生的概率是多少呢？二、合作交流，探究新知1.概率的统计定义 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某一个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．（四）感知升华，概括结论范围：0≤P(A) ≤1 如：大家都知道《守株待兔》这个成语故事，你会像故事中的农夫那样坐在树底下“待兔”吗？为什么？大量重复试验2.求随机事件概率的方法 二、合作交流，探究新知3.“概率”和“频率”的区别与联系 （四）感知升华，概括结论区别：频率反映了随机事件出现的频繁程度，是随机性的；
概率是确定的，是客观存在的，与试验无关.
联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.（1）在对一批种子进行的发芽试验中，抽取的10粒种子全部发芽，所以该种子的发芽率为100%；
（2）乒乓球比赛中，小李比小王获胜的概率大，若两人打一局比赛，小李一定获胜；
（3）因为抛掷一枚硬币出现正面的概率是0.5，所以抛掷12000次时，出现正面的次数很有可能接近6000次;
（4）某种彩票中奖的概率为 ，那么买1000张彩票一定能中奖.例1.判断下列说法的对错：三、自主练习，应用新知???? 例2.某射手在同一条件下进行射击，结果如下：0.900.930.880.920.890.91(1)计算表中击中靶心的各个频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？三、自主练习，应用新知0.90四、课堂小结，再现新知通过本节课的学习，你都有哪些收获呢？（1）概率的统计定义；
（2）概率与频率的区别与联系；
（3）求概率的方法；
（4）体会随机事件的随机性与稳定性（偶然与必然的
辩证统一）. 世界上很多的事在我们看来都带有偶然性，但在大量偶然现象的背后，隐藏着必然的规律，概率就是这种偶然中的一种必然。
因此，当我们面临不确定的随机事件时，我们要抓住机遇，挑战不可能，成就自己的精彩人生。五、课下探究，拓展新知探究1：站错队
在超市购物后结账，人多的时候，多数情况自己站的队伍慢，其它队伍快，总让人很是烦恼，你能利用所学的概率知识消除我的烦恼吗？探究2：当你的指尖敲打着电脑键盘时，你是否想过，键盘上的字母为什么不按顺序排列？
我们不妨一起来做一次统计，先选取一篇英文文章，然后统计总的字母数，每个字母出现的频数与频率，你能发现什么？
