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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第二章：二次函数 (A)
一、选择题（共30分）
1．（本题3分）下列函数表达式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵ 二次函数要求最高次项为 ，且系数不为零．
对于A：，其中 ，是二次函数．
对于B：，是一次函数，不是二次函数．
对于C：，不是二次函数．
对于D：， 可能为0，不一定是二次函数．
∴ 只有A是二次函数．
故选：A．
2．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为7 D．当时，随的增大而增大
解：∵中，
∴抛物线开口向下，
为顶点，
故函数的最大值为7，
对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大．
故A，B，C错误，D正确，
故选：D．
3．（本题3分）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
解：∵点在抛物线上，
∴；，
∴，
故选：A．
4．（本题3分）在平面直角坐标系xOy中，，为抛物线上任意两点，其中．设抛物线的对称轴为，若对于，都有，则t的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
解：，
，
，即，
，，
，
抛物线的对称轴为，
，
对于都有，
即时，都有，
，
即，
．
故选：A．
5．（本题3分）将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得平移后的抛物线表达式为：。
∵所得新抛物线经过原点(0,0)，
∴ 代入得，
解得，
故选：D．
6．（本题3分）体育老师对小明某次投实心球训练的录像进行技术分析，发现实心球在行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，当实心球的飞行高度为时，实心球的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
解：代入，
得，
解得或，
∵水平距离为非负数，
∴，
∴实心球的水平距离为．
故选：C．
7．（本题3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线
B．顶点坐标为
C．当时，随的增大而增大
D．图象与轴交点的坐标是
解：∵二次函数为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
选项A：对称轴应为直线，不是，故A错误，不符合题意；
选项B：顶点坐标应为，不是，故B错误，不符合题意；
选项C：∵，
∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C正确，符合题意；
选项D：当时，，
∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D错误，不符合题意；
故选：C．
8．（本题3分）如图是二次函数的图像，下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而减小；
③；
④方程的根是，；
⑤；
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵二次函数的图像开口向上，故；与y轴交于负半轴，故，
∴，故①正确；
∵二次函数的图像对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，故②错误；
∵二次函数的图像对称轴为直线，
∴，即，故③正确；
∵二次函数的图像与x轴交于，
∴二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为，
∴方程的根是，，故④正确；
由图像可得，当时，，故⑤正确；
综上，正确的说法有4个．
故选：C．
9．（本题3分）已知二次函数，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．图象与轴有唯一交点 D．当时，随的增大而增大
解：∵，
∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，
A、开口向上，错误；
B、顶点坐标应为，不是，错误；
C、令，得 ，即，判别式，有两个交点，不是唯一交点，错误；
D、∵ 开口向下，对称轴 ，
∴ 当 时，y 随x的增大而增大，正确．
故选：D．
10．（本题3分）如图，是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
解：时，，
，
所以①正确；
，
，
所以②错误；
点关于直线对称的点的坐标为，
抛物线与x轴的交点坐标为和，
的两根分别为和1，
所以③正确；
由图可知当时，，
所以④错误．
故选：．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图为二次函数的部分图象，当时，函致y的取值范围为 ．
解：由图象可知，当时，，当时，，且时，随着的增大而增大，
∴当时，函致y的取值范围为；
故答案为：
12．（本题3分） 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ．
解：不等式 可以转化为不等式，
根据函数图像可知不等式的解集为：或，
故答案为：或．
13．（本题3分）若抛物线经过点，则
解：因为抛物线经过，
则，
解得，
故答案为：．
14．（本题3分）我们定义一种新函数；形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①当时，函数取得最大值；
②图象与坐标轴的交点为，，；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
解：①由图象可知：函数无最大值；故错误；
②对于函数，
当时，；当时，，解得；
∴函数与坐标轴的交点为，，；故正确；
③由图象可知：对称轴为直线，
∴若在函数图象上，则也在函数图象上；故正确；
④如图所示：
当直线经过点时，，解得；
联立与得：，
整理得：，
令，解得；
∴当时，直线与函数G的图象有4个交点．故正确；
故答案为：②③④
15．（本题3分）已知二次函数（a，b，c为常数，，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论：
①；
②若点，，均在该二次函数图象上，则；
③方程的两个实数根为，，且，则；
④若m为任意实数，则．
其中，正确结论为 ．
解：∵对称轴为直线，
∴，
∴；
∵二次函数（a，b，c为常数，，）的图象与x轴的一个交点坐标为，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即抛物线开口向下；
∴，故①错误；
∵函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点，，均在该二次函数图象上，且，
∴，故②错误；
在中，当时，，
∵，
∴，
∴抛物线与直线必有两个交点，
由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为
∵方程的两个实数根为，，且，
∴，即为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
∵函数开口向下，
∴直线与抛物线的两个交点一定在直线和直线之间，
∴，故③正确．
∵抛物线开口向下，顶点的纵坐标为函数的最大值，
∴对于任意实数，有，故④正确．
故正确结论为③④，
故答案为：③④．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知函数（m是常数）．
(1)若该函数是一次函数，求的值；
(2)若该函数是二次函数，求的值．
（1）解：∵是一次函数，
且，
解得．
（2）解：函数（m是常数）是二次函数，
，且，
解得：，且，
．
17．（本题7分）已知二次函数．
(1)写出函数顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）；
(3)当时，求y的取值范围．
（1）解：
，
∴顶点坐标为
（2）解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大；
（3）解：∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
顶点坐标为：，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为：．
18．（本题8分）已知二次函数．
(1)求此函数图象的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向；
(2)写出当时x的取值范围．
（1）解：二次函数的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口方向下；
（2）令，则，
整理得，解得，，
所以该函数图象与轴的交点坐标为，，
∴时，的取值范围．
19．（本题8分）如图，已知抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)根据图像写出当时，求的取值范围．
（1）解：代入，得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：由图像得，当或时，，
∴当时，的取值范围为或．
20．（本题8分） 某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克10元，市场调查发现，该产品每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式．
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得225元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
（1）解：由题意得，；
（2）解：，
∵，
∴当时，每天的销售利润最大，最大利润为元，
答：该产品销售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大利润是625元；
（3）解：由题意得，，
解得或，
∵ 销售价不高于每千克28元，即，
∴不符合题意，舍去，
答：该农户想要每天获得225元的销售利润，销售价应定为每千克15元．
21．（本题9分）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为．
(1)用含x的式子表示，及
(2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？
(3)当时，求x的值．
（1）解：设运动时间为，∴，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：
，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：当时，即，
∴，∴，
解得：，经检验均符合题意，
∴当，或．
22．（本题9分）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)求、两点的坐标；
(2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长；
②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由；
③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论．
（1）解：中，
则有，
解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴点，点．
（2）①中，则，
∴点．
设直线的解析式为， 将点、代入中，
得：，，
解得： ，
∴直线的解析式为．
∵点P的横坐标为m，轴，
∴点，，
∴．
②∵，
∴抛物线的对称轴为，顶点，
将代入中，得：，
∴点，
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
解得：（舍去），，
∴当时，四边形为平行四边形．
③∵轴，
∴，
∵为直角三角形，
∴当时．
∵轴，，
∴轴，
∴点C、F关于对称轴对称，
∵点，抛物线对称轴为，
∴．
∴当时．
过点P作轴于点L，
∴，
∵点、，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
综上可得：或．
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第二章：二次函数 (A)
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列函数表达式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为7 D．当时，随的增大而增大
3．（本题3分）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（本题3分）在平面直角坐标系xOy中，，为抛物线上任意两点，其中．设抛物线的对称轴为，若对于，都有，则t的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
5．（本题3分）将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）体育老师对小明某次投实心球训练的录像进行技术分析，发现实心球在行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，当实心球的飞行高度为时，实心球的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线
B．顶点坐标为
C．当时，随的增大而增大
D．图象与轴交点的坐标是
8．（本题3分）如图是二次函数的图像，下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而减小；
③；
④方程的根是，；
⑤；
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（本题3分）已知二次函数，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．图象与轴有唯一交点 D．当时，随的增大而增大
10．（本题3分）如图，是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图为二次函数的部分图象，当时，函致y的取值范围为 ．
12．（本题3分） 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ．
13．（本题3分）若抛物线经过点，则b=
14．（本题3分）我们定义一种新函数；形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①当时，函数取得最大值；
②图象与坐标轴的交点为，，；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
15．（本题3分）已知二次函数（a，b，c为常数，，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论：
①；
②若点，，均在该二次函数图象上，则；
③方程的两个实数根为，，且，则；
④若m为任意实数，则．
其中，正确结论为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知函数（m是常数）．
(1)若该函数是一次函数，求的值；
(2)若该函数是二次函数，求的值．
17．（本题7分）已知二次函数．
(1)写出函数顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）；
(3)当时，求y的取值范围．
18．（本题8分）已知二次函数．
(1)求此函数图象的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向；
(2)写出当时x的取值范围．
19．（本题8分）如图，已知抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)根据图像写出当时，求的取值范围．
20．（本题8分） 某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克10元，市场调查发现，该产品每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式．
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得225元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
21．（本题9分）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为．
(1)用含x的式子表示，及
(2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？
(3)当时，求x的值．
22．（本题9分）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)求、两点的坐标；
(2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长；
②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由；
③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论．
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