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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第二章：二次函数 (B)
一、选择题（共30分）
1．(本题3分)已知抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)下列函数是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．(本题3分)拋物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤a+b+c=0．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(本题3分)如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．(本题3分)关于抛物线的性质，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．函数有最小值3
C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线与x轴有两个交点
7．(本题3分)抛物线与的形状完全相同，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．不能确定
8．(本题3分)若点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．(本题3分)已知二次函数的图象如图所示，给出以下几个结论：
①， ②，③，④，⑤．
其中正确的有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．(本题3分)关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（ ）
①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则；
②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则；
③若点在抛物线上，则 ；
④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
二、填空题:(共15分)
11．(本题3分)已知二次函数的图象经过(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点，那么这个二次函数的解析式为 ．
12．(本题3分)如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位时，水面宽度为20米，水面距离拱顶4米，当水位上升达到警戒线时，水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时米的速度从警戒线开始上升，再持续 小时才能到拱桥顶．（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的）
13．(本题3分)抛物线y=-x2+2x+2的顶点坐标是 ．
14．如图，等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为．若抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是 ．
15．(本题3分)如图，抛物线＝﹣3与＝＋1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，﹣＝4；④2AB＝3AC．其中正确结论是 ．（填序号）
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．
17．(本题7分)在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（），则称点为点P的亲密点，例如：点的亲密点为．若存在互为亲密点的两个点都在一个函数图象上，则称该函数为亲密函数．
(1)判断函数是否为亲密函数．
(2)若二次函数的图象上有一点，其亲密点也在二次函数图象上，求二次函数的表达式．
18．(本题8分)抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线解析式；
(2)在抛物线对称轴上取一点P，使得最短，求点P坐标．
19．(本题8分)已知抛物线的函数解析式为y＝x2-(2m－1)x＋m2－m
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x－3m＋4的一个交点在y轴上，求m的值．
20．(本题8分)如图，已知线段AB的长为4cm，点C是线段AB上一动点（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x（cm），两正方形的面积和为变量S（cm2），其中0＜x＜4．
(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为
(2)根据（1）中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律（写出一个结论即可）．
AC的长x（cm） … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形的面积和S（cm2） … 12.5 10 8 8.5 12.5 …
变化规律为：
21．(本题9分)某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离
[知识背景]“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车距行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离
[探究发现]汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离
发现：开始刹车后行驶的距离单位（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；
汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
[问题解决]请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面时，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车 试说明理由．
22．(本题9分)如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围．
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第二章：二次函数 (B)
一、选择题（共30分）
1．(本题3分)已知抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
解：抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是．
故选：B
2．(本题3分)下列函数是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、中，自变量的最高次幂是，不符合二次函数的定义，选项错误；
B、中，自变量的最高次幂是，不符合二次函数的定义，选项错误；
C、符合二次函数的定义，是二次函数，选项正确；
D、中，自变量的最高次幂是，不符合二次函数的定义，选项错误；
故选：C．
3．(本题3分)拋物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
解：抛物线的顶点坐标是
故选：C．
4．(本题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤a+b+c=0．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以⑤错误．
故选B．
5．(本题3分)如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况：
当，如图，建立平面直角坐标系，
∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，，
当时，过，，三点的抛物线的开口最小，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：；
当时，如图，建立平面直角坐标系，
二次函数的图象经过、、三点，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：；
综上，的最大值为．
故选：A．
6．(本题3分)关于抛物线的性质，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．函数有最小值3
C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线与x轴有两个交点
解：
A. 开口向下；，开口向下，故说法正确，本选项不合题意；
B. 函数有最小值3；开口向下，函数有最大值，故说法错误，本选项符合题意；
C. 当时，y随x的增大而减小；抛物线对称轴为，开口向下，故说法正确，本选项不合题意；
D. 抛物线与x轴有两个交点；图象开口向下，最高点，位于x轴上方，故说法正确，本选项不合题意；
故选：B
7．(本题3分)抛物线与的形状完全相同，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．不能确定
解：抛物线与的形状完全相同，
，
，
故选：C
8．(本题3分)若点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
解：抛物线的对称轴为，开口向上，
点的距离为，
点的距离为，
点的距离为，
由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，
∵，
∴．
故选：A．
9．(本题3分)已知二次函数的图象如图所示，给出以下几个结论：
①， ②，③，④，⑤．
其中正确的有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：∵开口向下，
∴，
∵对称轴位于y轴左侧，a，b同号，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴为，
根据对称性可知和时的函数值相等，
即，故②错误；
∵对称轴，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，即，故④正确；
∵，
∴，故⑤错误；
∴正确的有个，
故选B
10．(本题3分)关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（ ）
①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则；
②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则；
③若点在抛物线上，则 ；
④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
解：①此抛物线与x 轴只有一个公共点，
，
解得：，
故①不正确；
②此抛物线与坐标轴只有一个公共点，
，
解得：，
故②正确；
③抛物线，
对称轴为直线，
，，
，
故③不正确；
④抛物线，
抛物线的顶点为：，
∴抛物线的顶点坐标在直线上，
直线直线，
如图，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，则，
当时，，解得：，
，
是等腰直角三角形，
，
抛物线的顶点到直线的距离都等于，
故选：．
二、填空题:(共15分)
11．(本题3分)已知二次函数的图象经过(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点，那么这个二次函数的解析式为 ．
解：设：函数的解析式是：y=ax2+bx+c，
把(-1,0)，(3,0)和(0,3)三点的坐标代入得到：
，
解得：，
因而函数的解析式是：，
故答案为．
12．(本题3分)如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位时，水面宽度为20米，水面距离拱顶4米，当水位上升达到警戒线时，水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时米的速度从警戒线开始上升，再持续 小时才能到拱桥顶．（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的）
解：根据题意得：点，点D的横坐标为5，
设该抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴设该抛物线的解析式为，
当时，，
即拱桥顶O到警戒线的距离为1米，
∴再持续小时才能到拱桥顶．
故答案为：5
13．(本题3分)抛物线y=-x2+2x+2的顶点坐标是 ．
解y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3
所以顶点坐标是（1，3）.
故答案为（1，3）.
14．如图，等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为．若抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是 ．
解：∵顶点C的坐标为．
∴，
∵等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，
∴，，
∴，
∴，∴关于y轴对称，
∵抛物线关于y轴对称，
当抛物线经过时，，
解得，，满足题意；
当抛物线经过时，，
此时抛物线与等边三角形的边有且只有一个公共点，
结合图象可知，当时，抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，
综上可知，c的取值范围是或，
故答案为：或
15．(本题3分)如图，抛物线＝﹣3与＝＋1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，﹣＝4；④2AB＝3AC．其中正确结论是 ．（填序号）
解：∵y2=+1，
∴y2的最小值为1，所以①正确；
把A（1，3）代入y1=a(x+2)2-3得a(1+2)2-3=3，
∴3a=2，所以②错误；
当x=0时，y1=(x+2)2-3=-， y2=+1=，
∴y2-y1=+=，所以③错误；
抛物线y1=a (x+2)2-3的对称轴为直线x=-2，抛物线y2=+1
的对称轴为直线x=3，
∴AB=2×3=6，AC=2×2=4，
∴2AB=3AC，所以④正确．
故答案为①④.
三、解答题:(共55分)
16．(本题6分)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．
解∵二次函数的图象经过A(-2，0)，B(4，0)，
∴设二次函数的解析式为，
∵图象过点C(1，3)，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
故二次函数的解析式为：．
17．(本题7分)在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（），则称点为点P的亲密点，例如：点的亲密点为．若存在互为亲密点的两个点都在一个函数图象上，则称该函数为亲密函数．
(1)判断函数是否为亲密函数．
(2)若二次函数的图象上有一点，其亲密点也在二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（1）解：设点，则点P的亲密点，
若函数为亲密函数，
则，
解得，
∴亲密点与都在函数上，
∴函数是亲密函数．
（2）解：∵点的亲密点为，
∴根据题意，得，
解得，
∴二次函数的表达式为．
18．(本题8分)抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线解析式；
(2)在抛物线对称轴上取一点P，使得最短，求点P坐标．
（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，
，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：．
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴当的值最小时，点P的坐标为：．
19．(本题8分)已知抛物线的函数解析式为y＝x2-(2m－1)x＋m2－m
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x－3m＋4的一个交点在y轴上，求m的值．
证明：（1）令y＝0得：x2－（2m－1）x＋m2－m=0①
∵△＝－4（m2－m）×1＝1＞0，
∴方程①有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点.
（2）令x＝0，根据题意有：m2－m＝－3m＋4，
解得m＝或．
20．(本题8分)如图，已知线段AB的长为4cm，点C是线段AB上一动点（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x（cm），两正方形的面积和为变量S（cm2），其中0＜x＜4．
(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为
(2)根据（1）中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律（写出一个结论即可）．
AC的长x（cm） … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形的面积和S（cm2） … 12.5 10 8 8.5 12.5 …
变化规律为：
解:（1）由题意得，S=x2-（4-x）2，
整理得S=2x2-8x+16，
故答案为：S=2x2-8x+16；
（2）当x=1.5时，
S=2×1.52-8×1.5+16
=2×2.25-12+16
=4.5-12+16
=8.5，
当x=3时，
S=2×32-8×3+16
=2×9-24+16
=10，
由表中数据可得，当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，
故答案为：8.5，10，当0＜x＜2时，S随x的增大而减小．
21．(本题9分)某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离
[知识背景]“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车距行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离
[探究发现]汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离
发现：开始刹车后行驶的距离单位（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；
汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
[问题解决]请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面时，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车 试说明理由．
（1）解：由表格可设关于的函数解析式为，
∴，解得：，
∴关于的函数解析式为；
（2）解：由（）得关于的函数解析式为，
∴当时，，
∴汽车刹车后，行驶了；
（3）解：该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由如下：
由（）得关于的函数解析式为，
∴，
∴当时，汽车停下，行驶了米，
∵，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
22．(本题9分)如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围．
解：（1）由二次函数的图像经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，
得，
解这个方程组，得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，
解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，
∴此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；
（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．
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