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4.3多边形和圆的初步认识—教案
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第四单元
课题 基本平面图形：多边形和圆的初步认识 课时 4.3
课标要求 本节课对标义务教育数学课程标准，要求学生认识多边形、正多边形的基本特征，理解圆、扇形、圆心角的概念，掌握多边形对角线数量、扇形圆心角及面积的计算方法；发展空间观念与几何直观能力，能运用知识解决生活中的简单几何问题，体会数学与现实的联系。
教材分析 本节课内容属于七年级上册 “图形与几何” 领域，是学生从三角形、四边形等基础图形向复杂多边形、圆知识拓展的关键环节。教材以生活实例（如蜂窝、车轮、建筑结构）为切入点，逐步抽象出多边形、正多边形、圆、扇形的概念，通过公式推导（如 n 边形对角线总条数、扇形面积），既巩固了几何图形的认识逻辑，又为后续圆的周长、面积及多边形内角和等知识奠定基础，体现了 “从直观到抽象、从特殊到一般” 的数学认知规律。
学情分析 七年级学生已具备三角形、四边形的初步认知，有一定观察和归纳能力，但抽象思维仍在发展中。他们对生活中的几何图形（如蜂窝的正六边形、车轮的圆形）有直观感知，可借此激发学习兴趣；但对多边形对角线的推导逻辑、扇形面积与圆面积的比例关系易混淆，需通过直观演示和分层引导，帮助其突破抽象思维的障碍，同时兼顾不同学生的学习节奏，设计梯度化的探究与练习活动。
教学目标 学生能识别多边形、正多边形，掌握 n 边形的顶点、边、内角数量及对角线公式，理解圆、扇形、圆心角的概念，会计算扇形的圆心角和面积。 通过观察、探究、交流，发展空间观念、推理能力和运算能力，能运用公式解决实际问题 感受几何图形在生活中的广泛应用，体会数学的严谨性与实用性，激发学习几何的兴趣。
教学重点 多边形对角线数量公式的推导与应用，圆的概念及扇形圆心角、面积的计算，这些内容是理解图形特征、解决实际问题的核心支撑。
教学难点 n 边形对角线总条数公式的推导逻辑（避免重复计数的理解），扇形面积与圆面积的比例关系应用，学生在抽象推导和灵活运用时易出现混淆，需通过直观演示和针对性练习突破。
教法与学法分析 教法：采用 “情境导入法”，结合生活实例（如蜂窝、亚运会会徽）激发兴趣；“探究式教学法”，引导学生自主推导多边形对角线、扇形面积公式；“讲练结合法”，通过例题解析与分层练习巩固重点。 学法：指导学生采用 “自主探究法”，独立思考概念与公式的形成过程；“小组合作法”，在交流中完善认知、解决疑难；“练习巩固法”，通过基础题、拓展题的分层训练，实现知识的内化与迁移。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 1. 从生活实例感知平面图形 观察图4-31，你能发现哪些熟悉的平面图形？与同伴进行交流。 图4-31 展示扇面、鸟巢结构、蜂窝这3个生活中的图形 展示蜂窝、鸟巢、车轮等生活几何图形，引导观察。 观察并交流发现的平面图形。 联系生活，激发兴趣，引入多边形和圆的学习。
环节二：新知讲解 1.多边形的定义及组成要素 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形 （polygon），它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 ①如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧。 如图4-32，在多边形ABCDE中，点 ， ， ， ， 是多边形的顶点；线段AB， ， ，DE，EA是多边形的边； ， ， ， 是多边形的内角（可简称为多边形的角）； ， 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线（diagonal）。 图4-32 你还能画出图中其他得对角线吗？ 拓展： 1.下列说法中属于正多边形特征的有（ ） ①各边相等；②各角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的（n-2）个三角形。 A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 答案：A 解析： ①各边相等、②各角相等：这是正多边形的核心定义，因此①②正确； ③各条对角线都相等：以正五边形为例，其对角线存在两种不同长度，因此③错误； ④从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的（n-2）个三角形：以正六边形为例，从一个顶点引出的对角线所分三角形的面积并不完全相等，因此④错误。 综上，正确的特征有2个。 2.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m，n的值分别为（ ） A.4，3 B.3，3 C.3，4 D.4，4 答案：C 解析： 从n边形的一个顶点出发，可画的对角线数量为。六边形中，因此对角线数量； 从n边形的一个顶点引出的对角线，将多边形分成的三角形数量为。六边形中，因此三角形数量。 综上，，。 2. n边形的数量规律 尝试·思考 （1） 边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？ 多边形的定义是“由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成”，线段的数量就是边数，即n条。 每条线段的端点就是顶点，n条线段首尾相连会形成n个端点，即n个顶点。 相邻两条边会组成一个内角，n条边对应n个相邻组合，即n个内角。 （2）过 边形的每一个顶点有几条对角线？ 过n边形一个顶点有n-3条对角线。 ①对角线的定义是“连接不相邻两个顶点的线段”，所以不能连接顶点自身。 ②一个顶点有两个相邻顶点，这两个顶点与它不能形成对角线。 ③总顶点数为n，减去自身1个和相邻2个，剩余n-3个顶点可连接，即n-3条对角线。 拓展： 1.从 2024 边形的一个顶点出发，可以引出____条对角线 （ ） 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 答案：A 解析： 从n边形的一个顶点出发，可引出的对角线数量为（需排除自身及相邻的2个顶点）。 对于2024边形，，因此可引出的对角线数为。 2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 4 个三角形，则这个多边形的边数为____。 答案：6 解析： 过n边形的一个顶点的所有对角线，会将多边形分成个三角形。 已知分成了4个三角形，因此，解得，即这个多边形的边数为6。 3. 认识正多边形的特点 观察·交流 观察图4-33中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流
图4-33 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。图4-33中的多边形分别是正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形。 拓展：永丰塔位于山东省巨野县城，建成至今已有 1000 余年。塔形呈正八边形，砖石结构，共五层。下列图形为正八边形的是（ D ） 5. 画圆的方法以及定义 观察·思考 图4-34中的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？ 图4-34 如图4-35，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫作圆（circle）。固定的端点 称为圆心（centerofacircle），线段 称为半径（radius）。
图4-35 圆上任意两点 ， 间的部分叫作圆弧，简称弧（arc），记作 ，读作“圆弧 ”或“弧 ；由一条弧 和经过这条弧的端点的两条半径 ， 所组成的图形叫作扇形（sector）；顶点在圆心的角叫作圆心角（centralangle）。 拓展：如图所示的圆中，可以用字母表示的半径有____条，分别是____，请写出任意三条弧：____。 答案与解析 半径相关：半径是“连接圆心与圆上任意一点的线段”，图中圆心为，圆上的点有、、、，因此可以用字母表示的半径有4条，分别是、、、。 弧相关：弧是“圆上任意两点间的部分”，任意三条弧例如、、（答案不唯一，只要是圆上两点组成的弧均可）。 例 :将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为 ，求这三个扇形的圆心角的度数。 解：因为一个周角为 ，所以分成的三个扇形的圆心角分别是 结合五边形模型，讲解顶点、边、内角、对角线定义，提问 “画出其他对角线”。 提出 “n 边形顶点、边、内角及过一顶点对角线数量” 问题，引导从特殊情况归纳。 观察模型，理解概念并动手画图。 自主探究，归纳通用公式。 直观建立多边形各部分名称认知，培养动手能力。 培养归纳推理能力，掌握 n 边形数量规律。
环节三:延申探究 思考·交流 （1）如图4-36，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？
图4-36 解答：圆心角度数：圆的周角为，将其分成3个大小相同的扇形，每个扇形的圆心角为：。 扇形面积与圆面积的关系：由于3个扇形大小相同，每个扇形的面积是整个圆面积的。 （2）画一个半径是 的圆，并在其中画一个圆心角为 的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。 扇形面积 = 圆的面积 × （扇形圆心角 ÷ ）。 计算圆的面积：（为半径），代入，得： 。 圆心角为，占周角的比例为，因此：。 拓展：扇形的半径为 2，圆心角为90 ，则该扇形的面积为____（结果保留π）。 答案： 解析： 扇形面积公式为 （为圆心角，为半径）。 代入已知条件：，，则： 。 板演扇形圆心角和面积计算过程，引导分析比例关系。 跟随思考，掌握计算方法。 明确扇形计算逻辑，学会运用公式解题。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习： 1.这是第 19 届杭州亚运会会徽，名为 “潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展。如图2 2，这是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知OB=10，OA=20，∠BOC=120 ，则图 2 中的阴影部分的面积为____。 解析：阴影部分的面积为，计算过程如下： 确定图形关系：阴影部分是大扇形与小扇形的面积差，两个扇形的圆心角均为（大扇形半径，小扇形半径）。 扇形面积公式：扇形面积（为圆心角，为半径）。 计算大扇形面积：大扇形。 计算小扇形面积：小扇形。 计算阴影面积：阴影大扇形小扇形。 2.一个圆中有甲、乙、丙三个扇形，其中甲、乙占总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是____。 答案： 解析：先计算扇形丙占圆面积的百分比：； 圆对应的周角为，因此扇形丙的圆心角为：。 3.从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则m+n=____。 答案： 解析： 十边形（）从一个顶点出发的对角线数量：； 这些对角线将十边形分成的三角形数量：； 计算：。 布置分层练习，巡视指导。 独立或合作完成练习，反馈疑问。 巩固知识，分层提升，及时查漏补缺。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ 掌握了多边形（含正多边形）的定义、组成要素及对角线数量的计算方法，能区分普通多边形与正多边形。 理解了圆、扇形、圆心角的概念，学会根据圆心角比例和半径计算扇形面积，能解决生活中的几何计算问题（如扇形图案面积）。 提升了观察归纳、逻辑推理能力，能从具体图形中抽象出数学规律并应用公式解决问题。 引导学生回顾本节课学习收获，梳理核心知识与主要学习方法。 反思并分享本节课的知识收获与学习体会，总结所学数学思想。 系统梳理本节课知识与方法，深化学生对几何知识的理解与应用能力。
板书设计 4.3 多边形和圆的初步认识 一、多边形 定义：不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形（默认凸多边形） 组成要素（以n边形为例）： 顶点：n个 边：n条 内角：n个 对角线：连接不相邻顶点的线段（过1个顶点：条；总条数：） 例：五边形→过1顶点2条对角线，总5条 正多边形：各边相等+各角相等（例：正三角形、正方形、正六边形） 二、圆与扇形 圆的定义与要素： 定义：线段绕固定端点（圆心）旋转一周，端点形成的图形 关键要素：圆心、半径（线段） 扇形的定义与要素： 定义：1条弧+经过弧端点的2条半径组成的图形 关键要素：弧（圆上两点间部分，如）、圆心角（顶点在圆心的角） 核心计算： 扇形圆心角：按周角比例分配（例：比1:2:3→、、） 扇形面积：（为圆心角，为半径） 例：、→ 三、例题精讲 题目：将半径3cm的圆按圆心角2:3:4分3个扇形，求各圆心角与面积 总份数： 圆心角：、、 面积：圆面积→各扇形、、 可视化梳理课堂知识，清晰呈现知识脉络与数学思想方法，引导学习逻辑，辅助师生互动及知识的理解与记忆。
作业设计 基础练习： 1.下列说法:①由不在同一直线上的许多条线段连接而成的图形叫做多边形； ②从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成(n-2)个三角形； ③角的边越长，角越大； ④一条射线就是一个周角.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2.如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为 ( ) A.π B.π 3.从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，则m= . 能力提升 4.若某个多边形从一个顶点出发的对角线最多可画5条，则这个多边形的边数是 . 5.一个八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个八边形分成n个三角形，则m+n= . 6.一个扇形的面积为7π cm2，半径为6 cm，则此扇形的圆心角是 度. 7.将一个半径为3cm的圆，按照圆心角度数比2:3:4分成三个扇形（对应某班级“阅读” “绘画” “手工”三项兴趣小组的人数占比）。请解决以下问题： （1）求这三个扇形的圆心角度数； （2）求这三个扇形的面积（结果保留π）； （3）若该班级总人数为45人，求对应最大扇形的兴趣小组人数。 拓展练习 8.观察、探究及应用。 （1）观察图形并填空： 一个四边形有____条对角线；一个五边形有____条对角线； 一个六边形有____条对角线；一个七边形有____条对角线。 （2）分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作____条对角线，多边形有n个顶点。若允许重复计数，则共可作____条对角线。 （3）结论：一个n边形有____条对角线。 （4）应用：一个十二边形有____条对角线。
教学反思 本节课教案以生活中的几何实例（如蜂窝的正六边形、亚运会会徽的扇形）为导入，贴合七年级学生的直观认知特点，有效唤起了学生的学习兴趣；探究环节通过“特殊图形归纳→一般规律推导”的活动设计，引导学生自主总结n边形对角线公式、扇形面积计算方法，既落实了学生的主体地位，又培养了观察归纳与逻辑推理能力；分层练习的梯度设置兼顾了不同层次学生的需求，多数学生能较好掌握多边形、圆与扇形的基础知识点，达成了核心知识目标。 但教案在实际教学中仍有优化空间：一是n边形对角线总条数公式推导时，“避免重复计数”的抽象逻辑讲解不够直观，部分抽象思维较弱的学生难以理解推导过程；二是对学困生的针对性指导不足，小组探究环节少数学生参与度较低，未能充分融入知识生成过程；三是扇形面积的实际应用练习偏基础，未充分结合复杂生活场景（如组合扇形的面积计算）。后续改进可增加实物模型演示公式推导、设置“同伴帮扶小组”强化互动、补充分层拓展习题，提升教学的适配性与知识应用的深度。
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分课时学案
课题 4.3多边形和圆得初步认识 单元 第四单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 学生能识别多边形、正多边形，掌握 n 边形的顶点、边、内角数量及对角线公式，理解圆、扇形、圆心角的概念，会计算扇形的圆心角和面积。 通过观察、探究、交流，发展空间观念、推理能力和运算能力，能运用公式解决实际问题 3.感受几何图形在生活中的广泛应用，体会数学的严谨性与实用性，激发学习几何的兴趣。
重点 多边形对角线数量公式的推导与应用，圆的概念及扇形圆心角、面积的计算，这些内容是理解图形特征、解决实际问题的核心支撑。
难点 n 边形对角线总条数公式的推导逻辑（避免重复计数的理解），扇形面积与圆面积的比例关系应用，学生在抽象推导和灵活运用时易出现混淆，需通过直观演示和针对性练习突破。
教学过程
导入新课 1. 从生活实例感知平面图形 观察图4-31，你能发现哪些熟悉的平面图形？与同伴进行交流。 图4-31 你发现的图形：
新知讲解 1.多边形的定义及组成要素 三角形、四边形、五边形、六边形等都是____________ （polygon），它们都是由若干条不在同一直线上的___________首尾顺次相连组成的___________平面图形。 ①如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧。 如图4-32，在多边形ABCDE中，点 ， ， ， ， 是多边形的________；线段AB, ， ，DE，EA是多边形的_____________； ， ， ， 是多边形的_______________（可简称为多边形的角）； ， 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的___________（diagonal）。 图4-32 你还能画出图中其他得对角线吗？请你在图上画一画。 拓展： 1.下列说法中属于正多边形特征的有（ ） ①各边相等；②各角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的（n-2）个三角形。 A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 2，从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m，n的值分别为（ ） A.4,3 B.3,3 C.3,4 D.4,4 2. n边形的数量规律 尝试·思考 （1） 边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？ （2）过 边形的每一个顶点有几条对角线？ 拓展： 1.从 2024 边形的一个顶点出发，可以引出____条对角线 （ ） 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 4 个三角形，则这个多边形的边数为____。 3. 认识正多边形的特点 观察·交流 观察图4-33中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流
图4-33 各边相等、各角也相等的多边形叫作_____________。图4-33中的多边形分别是__________、____________、____________、____________、________________。 拓展：永丰塔位于山东省巨野县城，建成至今已有 1000 余年。塔形呈正八边形，砖石结构，共五层。下列图形为正八边形的是（ ） 5. 画圆的方法以及定义 观察·思考 图4-34中的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？ 图4-34 请你试一试： 如图4-35，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫作__________（circle）。固定的端点 称为__________（centerofacircle），线段 称为________________（radius）。
图4-35 圆上任意两点 ， 间的部分叫作_____________，简称_______________（arc），记作 ______________ ，读作“_________________”或“______________”；由一条弧 和经过这条弧的端点的两条半径 ， 所组成的图形叫作______________（sector）；顶点在圆心的角叫作___________________（centralangle）。 拓展：如图所示的圆中，可以用字母表示的半径有____条，分别是____，请写出任意三条弧：____。 例 :将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为 ，求这三个扇形的圆心角的度数。 思考·交流 （1）如图4-36，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？
图4-36 （2）画一个半径是 的圆，并在其中画一个圆心角为 的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。 拓展：扇形的半径为 2，圆心角为90 ，则该扇形的面积为____（结果保留π）。
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课堂练习 课堂练习： 1.这是第 19 届杭州亚运会会徽，名为 “潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展。如图2 2，这是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知OB=10，OA=20，∠BOC=120 ，则图 2 中的阴影部分的面积为____。 2.一个圆中有甲、乙、丙三个扇形，其中甲、乙占总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是____。
课后作业 基础练习： 1.下列说法:①由不在同一直线上的许多条线段连接而成的图形叫做多边形; ②从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点,可以把这个多边形分割成(n-2)个三角形; ③角的边越长,角越大; ④一条射线就是一个周角.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2.如图,一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形,若大圆半径为2,小圆半径为1,则阴影部分的面积为 ( ) A.π B.π 3.从五边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,则m= . 能力提升 4.若某个多边形从一个顶点出发的对角线最多可画5条,则这个多边形的边数是 . 5.一个八边形,从它的一个顶点可引出m条对角线,并把这个八边形分成n个三角形,则m+n= . 6.一个扇形的面积为7π cm2,半径为6 cm,则此扇形的圆心角是 度. 7.将一个半径为3cm的圆，按照圆心角度数比2:3:4分成三个扇形（对应某班级“阅读” “绘画” “手工”三项兴趣小组的人数占比）。请解决以下问题： （1）求这三个扇形的圆心角度数； （2）求这三个扇形的面积（结果保留π）； （3）若该班级总人数为45人，求对应最大扇形的兴趣小组人数。 拓展练习 8.观察、探究及应用。 （1）观察图形并填空： 一个四边形有____条对角线；一个五边形有____条对角线； 一个六边形有____条对角线；一个七边形有____条对角线。 （2）分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作____条对角线，多边形有n个顶点。若允许重复计数，则共可作____条对角线。 （3）结论：一个n边形有____条对角线。 （4）应用：一个十二边形有____条对角线。
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第四章 基本平面图形
4.3多边形和圆得初步认识
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
学生能识别多边形、正多边形，掌握 n 边形的顶点、边、内角数量及对角线公式，理解圆、扇形、圆心角的概念，会计算扇形的圆心角和面积。
01
感受几何图形在生活中的广泛应用，体会数学的严谨性与实用性，激发学习几何的兴趣。
03
通过观察、探究、交流，发展空间观念、推理能力和运算能力，能运用公式解决实际问题
02
02
新知导入
观察图4-31，你能发现哪些熟悉的平面图形？与同伴进行交流。
你还能找到哪些？
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形 ① （polygon），它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
03
新知讲解
①如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧。
如图，在多边形ABCDE中，点 ， ， ， ， 是多边形的顶点；线段AB, BC， CD ，DE，EA是多边形的边； ， ， ， , 是多边形的内角（可简称为多边形的角）； ， 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线（diagonal）。
03
新知讲解
你还能画出图中其他得对角线吗？
03
新知讲解
1.下列说法中属于正多边形特征的有（ ）
①各边相等；②各角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的（n-2）个三角形。
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
2，从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m，n的值分别为（ ）
A.4,3 B.3,3 C.3,4 D.4,4
03
新知讲解
A
C
（1） n 边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
（2）过 n 边形的每一个顶点有几条对角线？
03
新知讲解
尝试·思考
多边形的定义是“由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成”，线段的数量就是边数，即n条。
每条线段的端点就是顶点，n条线段首尾相连会形成n个端点，即n个顶点。
相邻两条边会组成一个内角，n条边对应n个相邻组合，即n个内角。
（2）过 n 边形的每一个顶点有几条对角线？
03
新知讲解
过n边形一个顶点有n-3条对角线。
①对角线的定义是“连接不相邻两个顶点的线段”，所以不能连接顶点自身。
②一个顶点有两个相邻顶点，这两个顶点与它不能形成对角线。
③总顶点数为n，减去自身1个和相邻2个，剩余n-3个顶点可连接，即n-3条对角线。
拓展：
1.从 2024 边形的一个顶点出发，可以引出____条对角线 （ ）
2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024
2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 4 个三角形，则这个多边形的边数为____。
03
新知讲解
A
6
观察图4-33中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流
03
新知讲解
观察·交流
每个多边形的所有边长度都相等
每个多边形的所有内角的度数都相等
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。图4-33中的多边形分别是正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形。
03
新知讲解
拓展：永丰塔位于山东省巨野县城，建成至今已有 1000 余年。塔形呈正八边形，砖石结构，共五层。下列图形为正八边形的是（ ）
03
新知讲解
D
图4-34中的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
观察·思考
03
新知讲解
如图,平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆（circle）。固定的端点O称为圆心（centerofacircle），线段 OA 称为半径（radius）。
O
A
03
新知讲解
圆上任意两点 ， 间的部分叫作圆弧，简称弧（arc），记作 ，读作“圆弧 ”或“弧 ；由一条弧 和经过这条弧的端点的两条半径 ， 所组成的图形叫作扇形（sector）；顶点在圆心的角叫作圆心角（centralangle）。
03
新知讲解
拓展：如图所示的圆中，可以用字母表示的半径有____条，分别是________________，请写出任意三条弧：________________。
3
OA、OB、OB
、 、
03
新知讲解
例 :将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为 ，求这三个扇形的圆心角的度数。
解：因为一个周角为 ，所以分成的三个扇形的圆心角分别是
03
新知讲解
（1）如图4-36，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？
（2）画一个半径是 2cm 的圆，并在其中画一个圆心角为 60° 的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。
思考·交流
03
新知讲解
（1）如图4-36，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？
圆心角度数：
圆的周角为，将其分成3个大小相同的扇形，每个扇形的圆心角为：。
扇形面积与圆面积的关系：
由于3个扇形大小相同，每个扇形的面积是整个圆面积的。
03
新知讲解
（2）画一个半径是 2cm 的圆，并在其中画一个圆心角为 60° 的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。
扇形面积 = 圆的面积 × （扇形圆心角 ÷ ）。
计算圆的面积：（为半径），代入，得：
。
圆心角为，占周角的比例为，因此：。
A
B
O
03
新知讲解
拓展：扇形的半径为 2，圆心角为90 ，则该扇形的面积为____（结果保留π）。
解析：
扇形面积公式为 （为圆心角，为半径）。
代入已知条件：，，则：
。
03
新知讲解
课堂练习：
1.这是第 19 届杭州亚运会会徽，名为 “潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展。如图2 2，这是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知OB=10，OA=20，∠BOC=120 ，则图 2 中的阴影部分的面积为____。
04
新知探究
2.一个圆中有甲、乙、丙三个扇形，其中甲、乙占总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是____。
04
新知探究
3从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则m+n=____。
05
课堂小结
多边形和圆得初步认识
多边形的基本概念
多边形的对角线规律
正多边形的特征
定义（不在同一直线上的线段首尾顺次相连的封闭平面图形）；n 边形的组成（n 个顶点、n 条边、n 个内角）
过1个顶点的对角线条数：；总对角线条数：（例：五边形→过1顶点2条，总5条）
圆的要素（圆心、半径）；扇形定义（1条弧+经过弧端点的2条半径）；扇形计算（圆心角：按比例分配；面积：）
圆与扇形的相关知识
各边长度相等且各内角度数相等（举例：正三角形、正方形、正六边形）
1.下列说法:
①由不在同一直线上的许多条线段连接而成的图形叫做多边形;
②从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点,可以把这个多边形分割成(n-2)个三角形;
③角的边越长,角越大;
④一条射线就是一个周角.
其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
06
作业布置
A
×
√
√
×
2.如图,一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形,若大圆半径为2,小圆半径为1,则阴影部分的面积为 ( )
A.π B.π
06
作业布置
B
3.从五边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,则m=___________.
能力提升
4.若某个多边形从一个顶点出发的对角线最多可画5条,则这个多边形的边数是___________.
5.一个八边形,从它的一个顶点可引出m条对角线,并把这个八边形分成n个三角形,则m+n=___________.
06
作业布置
8
2
11
6.一个扇形的面积为7π cm2,半径为6 cm,则此扇形的圆心角是___________度.
7.将一个半径为3cm的圆，按照圆心角度数比2:3:4分成三个扇形（对应某班级“阅读” “绘画” “手工”三项兴趣小组的人数占比）。请解决以下问题：
（1）求这三个扇形的圆心角度数；
（2）求这三个扇形的面积（结果保留π）；
（3）若该班级总人数为45人，求对应最大扇形的兴趣小组人数。
06
作业布置
70
06
作业布置
题目解析
（1）计算三个扇形的圆心角度数
思路：圆的周角为，根据圆心角度数比分配周角。总份数：：
第一个扇形（对应“阅读”）的圆心角：
第二个扇形（对应“绘画”）的圆心角：
第三个扇形（对应“手工”）的圆心角：
06
作业布置
（2）计算三个扇形的面积
思路：扇形面积 = 圆的面积 ×（扇形圆心角 ÷ ），先求圆的面积。
圆的面积：圆
第一个扇形的面积：第一个扇形的面积：
第二个扇形的面积：
第三个扇形的面积：
06
作业布置
（3）计算最大扇形对应的兴趣小组人数
思路：最大扇形的圆心角占比 = 对应兴趣小组的人数占比，用总人数乘以该占比。
最大扇形（“手工”）的占比： 对应人数：：人
拓展练习
8.观察、探究及应用。
（1）观察图形并填空：
06
作业布置
一个四边形有____条对角线；一个五边形有____条对角线；
一个六边形有____条对角线；一个七边形有____条对角线。
（2）分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作____条对角线，多边形有n个顶点。若允许重复计数，则共可作________条对角线。
（3）结论：一个n边形有_________条对角线。
（4）应用：一个十二边形有_________条对角线。
2
5
54
9
14
n-3
n(n-3)
Thanks!
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