九年级数学上册人教版 第二十二章 二次函数 单元测试题（含解析）

九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》单元测试题
一、单选题
1．开口向下的抛物线经过点，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
5．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线
C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小
6．如图，分别过点作轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，将抛物线向右平移个单位后，阴影部分图形的面积为（ ）
A． B．8 C． D．4
9．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都正确
10．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
二、填空题
11．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为 ．
12．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 .
13．在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
14．如果函数的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，那么平移后的解析式为 ．
15．二次函数的顶点坐标是，与轴的交点是，则二次函数与轴的另一个交点是 ．
16．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为 ．
17．已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 ．
18．如图是一个涵洞的截面，其涵洞边缘是拋物线．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是 米．
三、解答题
19．已知抛物线，顶点为点D，D始终在直线上．
(1)若，求b的值；
(2)若当时，抛物线函数有最大值4，求此时a的值；
(3)若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线交x轴于点G，求的值．
20．已知抛物线（为常数）经过点．
(1)求的值．
(2)若点、都在该抛物线上，求证：．
(3)当时，二次函数的最大值和最小值的差为5，求的值．
21．已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为t，点P与点A不重合．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，过点作y轴的垂线l，若图象G的最高点与最低点分别在直线l的上方和下方，求t的取值范围．
22．定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．
(1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值．
(2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点．
①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标．
②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，点的坐标是，顶点的坐标是，是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记，的面积分别为，．当，且直线时，求证：点与点关于轴对称．
24．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）．
(1)若，函数图象顶点坐标为，求函数图象与x轴的交点坐标；
(2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：；
(3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值．
25．新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．问题：
(1)已知点，，求的外接抛物线的解析式；
(2)如图，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点的坐标；
(3)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与轴交于点（在的左侧），当是等腰直角三角形时，求的面积．
26．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求设计出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
27．实践与探究：
代数几何作为初中数学学习的两大知识体系，它们是有很大联系的，很多问题都是靠数形结合来解决的，因为数和形做为数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题．
【问题初探】
（1）如下图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】
（2）如下图1，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴正半轴上，边在第一象限，且、，将正方形绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为_______．
【探究延伸】
（3）如下图2，图中抛物线为，已知正方形（、、、为动点）的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（4）若图2中的正方形的顶点、在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式．
试卷第1页，共3页
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《九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》单元测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B A D B C A B D
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图像性质、能结合等式分析参数取值是解题的关键．先根据抛物线过点得出关于、的等式，再结合开口向下得到，然后逐一分析选项．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，即，
化简得，
又∵抛物线开口向下，
∴，
选项A：若，则，代入，得，即，，符合条件；
选项B：若，与矛盾，不符合；
选项C：∵抛物线经过点，
∴方程有实数根，
∴，与矛盾，不符合；
选项D：若，代入，得，即，解得，与矛盾，不符合．
∴故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规则：上加下减、左加右减是解题的关键．
根据平移规律，依次代换即可求解．
【详解】将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为
故所得抛物线为．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查二次函数的图象、韦达定理，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
根据二次函数的图象得到，结合一元二次方程根与系数的关系，进行逐项判断即可．
【详解】解： 根据图象可得，该二次函数图象开口向下，交轴于正半轴，
则、
由于对称轴在轴右侧，
则，即
因此①错误，
当时，，即，
则，
因此②说法错误；
根据题意得，二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，
则令得，，
此时该一元二次方程的解，，
由韦达定理得，，
则
因此选项③④说法正确；
综上所述，正确的有个，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断．
【详解】解：，
∵抛物线开口向下，
∴二次函数有最大值为4，
∴水喷出的最大高度是4米．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
根据二次函数顶点式性质逐项分析即可．
【详解】解：∵关于二次函数，，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，
故A，B，C错误，D正确．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．
根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴
．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，关键是利用图象特征判断字母取值；
根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可．
【详解】解：A选项：由二次函数图象可知：，
由一次函数图象可知：，
故A选项不符合题意；
B选项：由二次函数图象可知：，
由一次函数图象可知：，
故B选项不符合题意
C选项：由二次函数图象可知：，
由一次函数图象可知：，
故C选项符合题意；
D选项：由二次函数图象可知：，
由一次函数图象可知：，
故D选项不符合题意．
故选：C ．
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与x轴两交点的距离是解题的关键．
过点F作轴于点C．根据平移，可得四边形是矩形，由，求出．得，由抛物线向右平移个单位，得，由曲边三角形与曲边三角形全等，即得．
【详解】解：过点F作轴于点C．
由平移知，轴．
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
对，
令，则；
令，则．
解得或．
∴．
∴．
∵抛物线向右平移个单位，
∴．
∴．
∵曲边三角形与曲边三角形全等，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：、∵、两点在抛物线上，
∴当时，，原选项错误，不符合题意；
、∵在抛物线上，
∴当时，，原选项正确，符合题意；
、当时，，原选项错误，不符合题意；
故选：．
10．D
【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴直线与抛物线交于点，两点，
图象如图所示，
当时，，
∴的解集是，
故选：D．
11．
【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴
解得，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴二次项系数，即，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键；
已知和，则平移后的坐标为的坐标为都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，即可求得点到点的距离．
【详解】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位，
则平移后的坐标为的坐标为，
都在抛物线上，且纵坐标相同，
，
解得，
将代入，
，
．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小．
【详解】解：对于点，代入，得；
对于点，代入得．
因为，所以．
故答案为：<．
14．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据二次函数图象平移的规律，左加右减，上加下减，进行变换．
【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，将x替换为，得；
再向上平移3个单位，整个函数加3，得．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标可得对称轴，再利用抛物线的轴对称性求另一个交点即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标是，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点是，
∴另一个交点与关于对称轴对称，
设另一个交点坐标为，则，
解得，
∴另一个交点坐标为，
故答案为：．
16．
【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可．
【详解】解：设，，，
∵抛物线沿直线向上平移，
∴以为顶点的抛物线为，
∵与的交点为，
∴，即，
解得，，
∵为整数点，
∴，；
∴以为顶点的抛物线为，
∵与的交点为，
∴，即，
解得：，
∵为整数点，
∴，；
∴以为顶点的抛物线为，
∵与的交点为，
∴，即，
解得：，
∵为整数点，
∴，；
∴，
∴，即，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质；根据二次函数的对称性可知，当B，C，D三点共线时，的值最小，求出直线的解析式，进而求出D 的坐标．
【详解】解：，
对称轴为直线，
令，得，
解得，
，
令，，
，
如图， 连接，交对称轴于D，则，
，
当B，C，D三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：．
18．
【分析】根据题意，得到．设抛物线的解析式为，确定抛物线的解析式为：．确定，当时，求自变量的值，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为，
故，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为：，
根据题意，离开水面处，得，
故，
故，
当时，，
解得，，
故，，
故之间的距离为．
故答案为：．
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先把二次函数得解析式化成顶点式，然后根据顶点的特点求出a，b的关系式，即可求出b；
（2）根据顶点的位置分两种情况讨论即可；
（3）先表示出点C的坐标，然后表示出G的坐标，再写出 的比值即可．
【详解】（1）解：，
∴该抛物线的顶点D为，
由∵D在上，
∴，
当时，，
；
（2）解：若，即，
则该函数的最大值为，
∴，
若，即，
则该函数的最大值为，
解得（舍），，
∴a的值为或；
（3）解：由（2）知，，，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴点G的坐标为，
设A的横坐标为，点B的横坐标为，
则，
∴．
20．(1)
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）把代入计算即可；
（2）求出，，再计算即可；
（3）根据对称轴与的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，再计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线（为常数）经过点，
∴，
解得；
（2）证明：由（1）知，
∵点、都在该抛物线上，
∴，，
∴
，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，；
当时，；
分以下三种情况讨论：
当时，当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，
当时，有最小值，
∵最大值和最小值的差为5，
∴，
解得，符合题意；
当时， 当时，最小值，
由可得，当时， 有最大值，
∵最大值和最小值的差为5，
∴，
解得，都不满足，不合题意；
当时， 当时，最小值，
由可得，当时， 有最大值
∵最大值和最小值的差为5，
∴，
解得，
只有满足，
∴此时；
当即时，当时，随的增大而增大，
当时，最大值，
当时，最小值，
∴，
解得，
综上所述，的值为或或．
21．(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并分类讨论是关键．
（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）求出抛物线的对称轴为直线，顶点为，分和四种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵拋物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点是，
分一下情况：①当时，如图，
图象的最高点为点，最低点为点，
∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，
∴，
解得：，
；
②当时，如图，
图象的最高点为点，最低点为点，
∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，
∴，
解得，
；
③当时，如图，
图象的最高点为，最低点为抛物线的顶点，
∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，
，
，
；
④当时，如图，
图象的最高点为，最低点为拋物线的顶点，
∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，
∴，
该不等式组无解，
综上可知，的取值范围为或．
22．(1)
(2)①；②
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解；
（2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标；
②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，
即，
；
（2）解：①如图：由（1）知，点，设，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
②，
，
，
，
，
，
，
，，
解方程组，得，，
将代入得：，
解得
，
23．(1)该抛物线的解析式为
(2)见解析
【分析】（1）将点的坐标是，顶点的坐标是代入求解即可得到答案；
（2）过点作轴，垂足为，根据得到，设点的坐标为并求出，再求出直线的解析式，结合求出的解析式，根据交点求出点N的坐标即可得到答案；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，顶点的坐标是，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，垂足为，

当与都以为底时，
∵，
∴，
当时，则，解得，
∵点的坐标是，
∴，
∴，，
设点的坐标为，
∵点在第一象限，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式，
∵，
∴，即直线的解析式为，将其代入中，得，
解得或-1，
∵点在第二象限，，
∵，
∴点与点关于轴对称；
24．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键．
（1）根据顶点式求出二次函数的解析式，令，解方程即可；
（2）根据题意得到二次函数开口向上，当时，函数值小于，然后代入整理即可；
（3）根据题意得到，由题意可确定，，对称轴为直线，故当时，y取得最大值，而当时，，根据顶点式计算求出a的值即可．
【详解】（1）解：由题可得二次函数的解析式为，
令，则，
解得，，
∴函数图象与x轴的交点坐标，；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，
又∵函数图象与x轴有两个交点，，且，
∴当时，函数值小于，
∴，即；
（3）解：∵时，；当时，，
∴抛物线的开口向下，即，
若对称轴在直线的左边时，当时，；当时，，
∴当时，取得最大值，最大值不小于，不符合题意；
若对称轴在直线的右边时，当时，；当时，，
∴当时，取得最大值，即最大值为，
∴是抛物线的顶点，当时，；
设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得．
25．(1)
(2)，
(3)
【分析】（）由点的坐标可得抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为，利用待定系数法解答即可求解；
（）设与轴交于点，由等边三角形的性质得，由抛物线的对称性得，，设，则，，即得，再把点坐标代入抛物线解析式求出的值即可求解；
（）设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴交于点，由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，，，，可得，设，由对称轴为直线得点的坐标为，点的坐标为， 把坐标代入函数解析式由方程组可得，即得，，再根据三角形的面积公式解答即可求解．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，即轴，
∵在抛物线上，
∴设抛物线解析式为，
将代入，得，
∴，
∴的外接抛物线的解析式为；
（2）解：设与轴交于点，如图，
∵为等边三角形，
∴，
由抛物线的对称性得，，
设，则，
∴，
∴，
将坐标代入，得，
解得或（不合题意，舍去），
∴，；
（3）解：如图，设抛物线的对称轴交于点，
由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，C为抛物线的顶点，，，，
设，
∵对称轴为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
将点的坐标代入得，
，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
∴，，
∴．
26．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，拱桥问题(实际问题与二次函数)，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令可得或，故，；再比较、的大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入，得，，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）在中，
令得：；
解得或，
，
，
，
．
27．（1）证明见解析；（2）或或；（3）是定值，理由见解析；（4）
【分析】本题考查二次函数于几何的综合，旋转和全等三角形的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，即可．
（1）根据题意，则，得到，根据三角形的内角和，则，等量代换，根据全等三角形的判定，即可；
（2）根据旋转的性质，点的对应点恰好落在坐标轴，则分类讨论：当点在正半轴；当点在轴；当点在负半轴，依次得到点的坐标，即可；
（3）过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则，，，根据二次函数的图象和性质，则，，得到，，，，根据，可，化简，即可；
（4）同（3）证明方法，得，，，根据二次函数的图象和性质，则，，得到，，，，根据，可得，化简，即可．
【详解】解：（1）证明如下：
∵，，，垂足分别为，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）图形如下：
∵四边形是正方形，、
∴点，，
∵正方形绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在坐标轴上，
∴当点的对应点在正半轴时，点的对应点的坐标为；
当点的对应点在负半轴是，点的对应点的坐标为；
当点的对应点在负半轴时，点的对应点的坐标为；
∴点的对应点的坐标为或或．
（3）为定值，理由如下：
点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵正方形在抛物线为上，点、的横坐标分别为、，
∴，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（4）点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵正方形在抛物线为上，点、的横坐标分别为、，
∴，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
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