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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
第一课时《等腰三角形》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《等腰三角形的性质定理》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第五节第一课时的内容。本节课是初中数学几何部分的核心内容，主要探究等腰三角形的两个基本性质：“等边对等角”和“三线合一”。这一内容是在学生已掌握轴对称图形、全等三角形判定等知识的基础上展开的，不仅是对已有知识的深化应用，也为后续学习等边三角形、线段垂直平分线等奠定基础。
学习者分析 八年级学生已具备一定的几何知识基础，如三角形内角和、全等三角形的判定与性质等，同时通过轴对称的学习，对对称性有初步理解。然而，等腰三角形性质定理的证明涉及辅助线的添加，这对学生而言是一个难点。此外，学生在分类讨论和严谨的几何语言表达上可能存在不足。教学中需通过直观操作与逻辑推理相结合的方式，帮助学生突破思维障碍。
教学目标 1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。 3.通过观察、实验、猜想、证明的过程，体验“直观感知—逻辑推理—归纳结论”的数学研究方法。 4.感受几何图形的对称美与逻辑严谨性，增强对数学学习的兴趣与信心。
教学重点 发现并证明“等边对等角”“顶角平分线、底边中线、高互相重合”。
教学难点 辅助线的合理添加及证明过程的符号化、规范化表达。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾1：三角形具有什么性质？ 教师带领回顾： 1.三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边. 2.三角形的内角和等于180°. 3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 4.三角形的外角和等于360°. 5.三角形具有稳定性. …… 回顾2：什么是等腰三角形？ 两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 教师讲授： 等腰三角形作为一种特殊三角形，具有一般三角形的所有性质。 教师提问：那等腰三角形具有什么特殊性质呢？学生活动1： 认真回顾，举手回答问题 认真跟随教师回顾一般三角形的性质 认真思考，举手回答问题 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究概念教师活动2： 探究：等腰三角形的性质定理 【思考】在等腰△ABC中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，则∠B=∠C吗？∠BAD=∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？ 问题1：怎么证明∠B=∠C和∠BAD=∠CAD？ 问题2：怎么证明△ABD≌△ACD？ 问题3：AD是△ABC的中线表明了什么？你能从图中得到什么信息？ 解：如图，∵AD 是等腰△ABC的底边BC上的中线， ∴BD=CD. 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD≌△ACD（边边边）. ∴∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC = 90°. 即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. 【归纳】等腰三角形的性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”). 2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 【找一找】你能找出等腰三角形的对称轴吗？ 教师讲授： 等腰三角形的性质定理： 3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.学生活动2： 观察图形，得出初步猜想 认真思考 独立证明 认真听讲 认真听讲，了解等腰三角形的性质 认真听讲活动意图说明：借助问题串，引导学生探究等腰三角形角的关系与中线、高线、角平分线的关联，推导“三线合一”，理解等腰三角形核心性质，培养推理与探究能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例1如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，点E在AC上，且BE=BC=AE. (1) 求证：ED⊥AB； (2) 求△ABC 各角的度数. 解：(1) 因为BE=AE，D为AB的中点， 所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线， 从而ED⊥AB (三线合一) (2) 因为AB=AC，BE=BC=AE， 所以∠ABC=∠C，∠C=∠1，∠A=∠2(等边对等角). 于是∠1=∠A +∠2=2∠A， 从而∠ABC=∠C=∠1= 2∠A. 又∠A+∠ABC+∠C=180°， 于是∠A+2∠A+2∠A=180°， 从而∠A=36°， 因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°. 【议一议】 如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上. （1） AD与BC是否垂直？试说明理由. （2） 这时BC处于水平位置，为什么？ 解：（1)AD⊥BC. 理由：因为AB=AC，AD是底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD也是底边BC上的高， 所以AD⊥BC. （2）因为重锤自然下垂， 所以AD处于竖直位置. 又AD⊥BC， 所以BC处于水平位置.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生先独立思考，再合作交流 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 等腰三角形的性质定理： 1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”). 2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（ ） A． B． C． D． 2.如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 选做题： 4.如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ． 5.如图，已知，点B的对应点 E在线段上，，则的大小是 度． 6.如图，为了让两个斜坡，与地面所成的两个锐角相同，工程人员在修斜坡的时候，只需要让两个斜坡即可，工程人员这种操作方法的依据是 ． 【综合拓展类作业】 7.如图，在和中，，，，点在上． （1）证明：； （2）求的度数．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知AD=AE，BD=CE，∠1=∠2=70°，∠BAC=80°，则∠ABC的度数是（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 2.如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 3.如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，，于D，点M、N分别在边上，且．求证：．
教学反思 课堂若先让学生独立折叠发现结论，再用“你能否说服同桌”引发证明需求，可有效提升论证动机。预计学生在写证明时会把“公共边”遗漏，或把“角平分线”直接当“高”使用，需通过展示错例、全班共评的方式强化条件与结论的对应。后续安排“用等腰三角形性质证明垂直平分线”的逆向应用题，可检测迁移效果，并帮助学生形成“性质—判定”双向思维。
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第4章 三角形
4.5 等腰三角形（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。
2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。
3.通过观察、实验、猜想、证明的过程，体验“直观感知—逻辑推理—归纳结论”的数学研究方法。
学习重点：
发现并证明“等边对等角”“顶角平分线、底边中线、高互相重合”。
学习难点：
辅助线的合理添加及证明过程的符号化、规范化表达。
学习过程
一、复习回顾
回顾1：三角形具有什么性质？
回顾2：什么是等腰三角形？
二、探究新知
探究：等腰三角形的性质定理
教材第129页
【思考】在等腰△ABC中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，则∠B=∠C吗？∠BAD=∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？
【归纳】等腰三角形的性质定理：1.等腰三角形的两个_______相等（简称 “等边对等角”).
2.底边上的_______、_______及______________重合（简称“三线合一”).
【找一找】你能找出等腰三角形的对称轴吗？
三、例题精讲
例1如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，点E在AC上，且BE=BC=AE.
(1) 求证：ED⊥AB；
(2) 求△ABC 各角的度数.
【议一议】
如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
（1） AD与BC是否垂直？试说明理由.
（2） 这时BC处于水平位置，为什么？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
选做题
4.如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ．
5.如图，已知，点B的对应点 E在线段上，，则的大小是
度．
6.如图，为了让两个斜坡，与地面所成的两个锐角相同，工程人员在修斜坡的时候，只需要让两个斜坡即可，工程人员这种操作方法的依据是 ．
【综合拓展类作业】
7.如图，在和中，，，，点在上．
（1）证明：；
（2）求的度数．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在证明或求解过程中须注意什么
六、作业布置
1.如图，已知AD=AE，BD=CE，∠1=∠2=70°，∠BAC=80°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2.如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ．
3.如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
4.如图，在中，，于D，点M、N分别在边上，且．求证：．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：等腰三角形的两个底角相等，顶角是，
底角＝．
故答案为：B．
2.【答案】D
【解析】解∶∵ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，，
∴，即，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：B．
4.【答案】
【解析】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
5.【答案】．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵CE=CB，
∴，
故答案为：．
6.【答案】等边对等角.
【解析】解：∵
∴（等边对等角）
故答案为：等边对等角．
7.【答案】（1）解：∵，∴，即：，
∵，，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：
在 和 中，
则 的度数是
故选：D.
2.【答案】5
【解析】解：过A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：5．
3.【答案】100°或55°或70°．
【解析】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
4．【答案】证明：在中，∵，，
∴，，
在与中，
，，，
∴，
∴．
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第4章 三角形
4.5 等腰三角形（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。
01
理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。
02
通过观察、实验、猜想、证明的过程，体验“直观感知—逻辑推理—归纳结论”的数学研究方法。
03
02
新知导入
回顾1：三角形具有什么性质？
1.三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的任意两边之差小于第三边.
2.三角形的内角和等于180°.
3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
4.三角形的外角和等于360°.
5.三角形具有稳定性.
……
02
新知导入
回顾2：什么是等腰三角形？
两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
02
新知导入
一般三角形
等腰三角形
两条边相等
等腰三角形作为一种特殊三角形，具有一般三角形的所有性质。
03
新知探究
思考
在等腰 △ABC 中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，则∠B=∠C吗？∠BAD=∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？
BD=DC
边边边
解：如图，∵AD 是等腰△ABC的底边BC上的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD ≌ △ACD（边边边）.
03
新知探究
思考
在等腰 △ABC 中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，则∠B=∠C吗？∠BAD=∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？
∴∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC = 90°.
即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线.
03
新知探究
AD是△ABC的中线
AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线
AD是底边BC上的高线
等腰三角形的性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”).
2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).
03
新知探究
找一找：你能找出等腰三角形的对称轴吗？
等腰三角形的性质定理：3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
03
新知探究
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，点E在AC上，
例1
解：(1) 因为BE=AE，D为AB的中点，
所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线，
从而ED⊥AB (三线合一)
且BE=BC=AE.
(1) 求证：ED⊥AB；
(2) 求△ABC 各角的度数.
03
新知探究
(2) 因为AB=AC，BE=BC=AE，
所以∠ABC=∠C，∠C=∠1，∠A=∠2(等边对等角).
于是∠1=∠A +∠2=2∠A，
从而∠ABC=∠C=∠1= 2∠A.
又∠A+∠ABC+∠C=180°，
于是∠A+2∠A+2∠A=180°，
从而∠A=36°，
因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°.
03
新知探究
议一议
如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
（1） AD与BC是否垂直？试说明理由.
（2） 这时BC处于水平位置，为什么？
03
新知探究
（1)AD⊥BC.
理由：因为AB=AC，AD是底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD也是底边BC上的高，
所以AD⊥BC.
（2）因为重锤自然下垂，
所以AD处于竖直位置.
又AD⊥BC，
所以BC处于水平位置.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.等腰三角形中，若顶角度数为80°，则底角度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
2.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=CD，∠C=40°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
B
D
04
课堂练习
3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边
B．等腰三角形三线合一的性质
C．两点之间线段最短
D．垂线段最短
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为 ．
40°
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，已知△ABC≌△DEC，点B的对应点 E在线段AB上，∠DCA=42°，则∠B的大小是 度．
69
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，为了让两个斜坡AB，AC与地面所成的两个锐角相同，工程人员在修斜坡的时候，只需要让两个斜坡AB=AC即可，工程人员这种操作方法的依据是 ．
等边对等角
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC和△ADE中，BC=DE，∠B=∠D，∠1=∠2=40°，点C在DE上．
（1）证明：△ABC≌△ADE；
（2）求∠E的度数．
（1）解：∵，
∴，即：，
∵，，
∴；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC和△ADE中，BC=DE，∠B=∠D，∠1=∠2=40°，点C在DE上．
（1）证明：△ABC≌△ADE；
（2）求∠E的度数．
（2）解：∵，
∴，
∴．
05
课堂小结
等腰三角形的性质定理：
1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”).
2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).
3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，已知AD=AE，BD=CE，∠1=∠2=70°，∠BAC=80°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
D
06
作业布置
【知识技能类作业】
2.如图，△ABC中，AC=BC，BE⊥AC，E为垂足，点D在BC上，且AB=AD，若CE=3CD，AE=2，则BC的长为 ．
5
06
作业布置
【知识技能类作业】
3.如图，在△ABC中，∠B=25°,∠A=100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
100°或55°或70°
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，点M、N分别在AB、AC边上，且∠BDM=∠CDN．求证：DM=DN．
证明：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD，
在△BDM与△CDN中，
∠B=∠C，BD=CD，∠BDM=∠CDN，
∴△BDM≌△CDN(ASA)，
∴DM=DN．
07
板书设计
性质定理：
几何语言表述：
4.5 等腰三角形（1）
习题讲解书写部分
Thanks!
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