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全等三角形 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
2．如图，在四边形中，连接，且，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图， ≌ ， ，点A，D，E在同一条直线上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．AD=CB B．∠A=∠C C．BE=DF D．AD∥BC
6．下列各组的两个图形属于全等图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，且，则判定≌的最好理由是（ ）
A． B． C． D．
8．下列条件中能判定 ABC≌ 的是（ ）
A．AB= ，AC= ，∠C=∠
B．AB= ，∠A=∠ ，BC=
C．AC= ，∠A=∠ ，BC=
D．AC= ，∠C=∠ ，BC=
9．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
10．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，中，，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C，则点B的坐标为
12．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为 .
13．如图，如图△ABE≌△DCE，AE=2cm，BE=1.2cm，∠A=25°，∠B=48°，那么DE= cm，∠C= °．
14．木制的门框是矩形，木工师傅在建筑房屋的过程中，总是在门框的上面斜钉上两根木条，待墙砌好后再撤去木条，从而防止门框变形，根据的数学道理是 ．
15．如图，正方形格点图中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，请写出一个满足条件的F点坐标 ．
16．如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
18．在中，，，分别过点B，C向经过点A的直线作垂线，垂足为点E，F．
（1）如图1，当与斜边不相交时，请探究，，之间的数量关系；
（2）如图2，当与斜边这样相交时，其他条件不变，请探究，，之间的数量关系；
（3）如图3，当与斜边这样相交时，其他条件不变，猜想，，之间的数量关系．
19．如图，在中，，AD是的平分线，，垂足为点E．若，，求BE的长．
20．如图△ABC中，AB=2AC，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD= AB，延长AC到E，使CE=AC．求证.△ABC≌△AED．
21．如图所示，四边形的对角线与相交于O点，
（1）若，，求证：；
（2）若，，求证：．
22．如图所示﹐点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1 =∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE
23．如图，两根旗杆AC与BD相距12m，某人从B点沿AB走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM=DM．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为0.5m/s，求这个人走了多长时间？
24．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在AC上，连接AE、BD，试判断AE与BD的关系，并说明理由．
25．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
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全等三角形 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，PM⊥AO，PN⊥BO，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，
∴△PMO≌△PNO（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：D.
【分析】由题意用HL定理可证△PMO≌△PNO，从而可得结论.
2．如图，在四边形中，连接，且，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：D．
【分析】由已知条件可得出，即和为直角三角形，且BD为公共的直角边，所以若用“”判定和全等，需要添加的条件是斜边AD=CB，即可得出答案。
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△ADC中 ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中 ，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∵在△BOC和△DOC中 ，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
故答案为：C．
【分析】根据题目所给条件，结合三角形全等的判定定理，证明图中的全等三角形即可。
4．如图， ≌ ， ，点A，D，E在同一条直线上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】 ≌ .
， ， ，
，
点A，D，E在同一条直线上，
，
，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质可得AC=CE，∠ACD=70°，∠BCD=∠ACE=90°，利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出∠E=∠EAC=45°，再次利用三角形的内角和定理求出∠ADC的度数.
5．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．AD=CB B．∠A=∠C C．BE=DF D．AD∥BC
【答案】A
【解析】【解答】解：
∵AE=CF，
∴AF=CE，且∠AFD=∠CEB，
当AD=CB时，在△ADF和△CBE中，满足的是SSA，故A不能判定；
当∠A=∠C时，在△ADF和△CBE中，满足ASA，故B可以判定；
当BE=DF时，在△ADF和△CBE中，满足SAS，故C可以判定；
当AD∥BC时，可得∠A=∠C，同选项B，故D可以判定；
故选A．
【分析】根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．
6．下列各组的两个图形属于全等图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；
D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
7．如图，，且，则判定≌的最好理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
在和中，，
和．
故答案为：D.
【分析】根据垂直的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，由已知条件可知AB=AC，由图形可得AD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
8．下列条件中能判定 ABC≌ 的是（ ）
A．AB= ，AC= ，∠C=∠
B．AB= ，∠A=∠ ，BC=
C．AC= ，∠A=∠ ，BC=
D．AC= ，∠C=∠ ，BC=
【答案】D
【解析】【解答】解：当AB= ，AC= ，∠C=∠ 时，不能判定△ABC和 全等，∠A与∠ 不是已知两边的夹角；
当AB= ，∠A=∠ ，BC= 时，不能判定△ABC和 全等，∠A与∠ 不是已知两边的夹角；
当AC= ，∠A=∠ ，BC= 时，不能判定△ABC和 全等，∠A与∠ 不是已知两边的夹角；
当AC= ，∠C=∠ ，BC= 时，能判定△ABC和 全等，依据是SAS．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理，判断得到答案即可。
9．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
【答案】C
【解析】【解答】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故答案为：C．
【分析】由“AAS”可证明△BEF≌△CED，可得EF=DE，BF=CD=3，由线段垂直平分线的性质可得AD=AF=8.
10．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【解析】【解答】①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①符合题意；
②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②符合题意；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．
在△AEF和△BED中，∵，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③符合题意；
④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．
∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．
∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．
∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④符合题意．
故答案为：C．
【分析】全等三角形的判定与性质的综合应用。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，中，，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C，则点B的坐标为
【答案】（0，8）
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴，如图，
∴
又∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
故答案为：（0，8）.
【分析】过点C作CD⊥x轴，利用"AAS"证明则最后结合点C的坐标即可求解.
12．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴△ABC≌△ADE(SSS)
∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2
∵∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2
∵∠1+∠2+∠3=96°
∴
故答案为：48°
【分析】根据全等三角形判定定理可得△ABC≌△ADE(SSS)，则∠ABC=∠1，∠BAC=∠2，再根据三角形外角性质可得∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2，再根据角之间的转换即可求出答案.
13．如图，如图△ABE≌△DCE，AE=2cm，BE=1.2cm，∠A=25°，∠B=48°，那么DE= cm，∠C= °．
【答案】2；48
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△DCE，AE=2cm，∠B=48°，
∴DE=AE=2cm，∠C=∠B=48°，
故答案为：2，48．
【分析】根据全等三角形的性质得出DE=AE，∠C=∠B，代入求出即可．
14．木制的门框是矩形，木工师傅在建筑房屋的过程中，总是在门框的上面斜钉上两根木条，待墙砌好后再撤去木条，从而防止门框变形，根据的数学道理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据的数学知识是：三角形的稳定性．
【分析】此题是为了防止门框变形，钉上木条后，可以构造三角形，即利用了三角形的稳定性．
15．如图，正方形格点图中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，请写出一个满足条件的F点坐标 ．
【答案】（4，-2）（答案不唯一）
【解析】【解答】根据图中可以判断∠CAB=45°+90°=135°，且AB边等于两格长度，如下图中找出符合条件的F点，构造全等三角形，由图可知，符合条件的F点有四个，坐标是：（4，-2），（2，-4），（-1，-1），（1，1）．
故答案为：（4，-2）（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的性质及平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
16．如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为 ．
【答案】1或7
【解析】【解答】解：根据题意得：AD=BC=6，CD=AB=4，
当全等时，BP=CE=2，此时点P在BC边上，则，
∴，解得：；
当全等时，AP=CE=2，此时点P在AD边上，则
，解得：；
综上所述，当和全等时，t的值为1或7．
故答案为：1或7
【分析】全等的应用，注意点P在BC上时，点P在AD上时，，故应当分类讨论。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案】解：结论： = ， ⊥ ．
证明：∵在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，
∴∠BFP=∠CEP=∠AFO=90°，
∴∠ABD+∠FPB=90°，∠ACG+∠EPC=90°，
∵∠FPB=∠EPC，
∴∠ACG=∠ABD，
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA(SAS)，
∴AG=AD，∠AGC=∠BAD，
∵∠AFO=90°，
∴∠BAD+∠AOF=90°，
∴∠AGC+∠AOF=90°，
∴∠GAD=180° 90°=90°，
∴AG⊥AD
【解析】【分析】结论：AG=AD，AG⊥AD，只要证明△ABD≌△GCA（SAS）即可解决问题．
18．在中，，，分别过点B，C向经过点A的直线作垂线，垂足为点E，F．
（1）如图1，当与斜边不相交时，请探究，，之间的数量关系；
（2）如图2，当与斜边这样相交时，其他条件不变，请探究，，之间的数量关系；
（3）如图3，当与斜边这样相交时，其他条件不变，猜想，，之间的数量关系．
【答案】（1）解：，理由：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：，理由：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：，理由：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算及等量代换求出，再利用“AAS”证出，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用角的运算及等量代换求出，再利用“AAS”证出，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用角的运算及等量代换求出，再利用“AAS”证出，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得.
19．如图，在中，，AD是的平分线，，垂足为点E．若，，求BE的长．
【答案】解：∵AD是的平分线，，，
∴，
在和中，，
∴≌R（HL），
∴．
∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】先利用“HL”证明≌R，可得AC=AE，再利用线段的和差求出BE的长即可。
20．如图△ABC中，AB=2AC，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD= AB，延长AC到E，使CE=AC．求证.△ABC≌△AED．
【答案】证明：∵AD= AB， CE=AC，
∴AB=2AD，AE=2AC，
∵AB=2AC
∴AC=AD，AB=AE，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
在△ABC和△AED中， ，
∴△ABC≌△AED(SAS).
【解析】【分析】求出AC=AD，AB=AE，∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS推出两三角形全等即可．
21．如图所示，四边形的对角线与相交于O点，
（1）若，，求证：；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）证明：在和中，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形的判定定理可得，再根据全等三角形性质即可求出答案.
22．如图所示﹐点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1 =∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE
【答案】证明： ，
． 又 ，
，
即 ．
在 和 中，
．
【解析】【分析】利用8字形得到∠2=∠3，进而得到∠1=∠2，，利用ASA证明三角形全等即可.
23．如图，两根旗杆AC与BD相距12m，某人从B点沿AB走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM=DM．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为0.5m/s，求这个人走了多长时间？
【答案】解：∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°，
又∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠DMB，
在△ACM和△BMD中，
，
∴△ACM≌△BMD（AAS），
∴AC=BM=3m，
∴他到达点M时，运动时间为3÷0.5=6（s），
答：这个人从B点到M点运动了6s．
【解析】【分析】根据题意证明∠ACM=∠DMB，利用AAS证明△ACM≌△BMD，根据全等三角形的性质得到AC=BM=3m，计算即可．
24．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在AC上，连接AE、BD，试判断AE与BD的关系，并说明理由．
【答案】解：BF⊥AE，理由如下：
由题意可知：△ECD和△BCA都是等腰Rt△，
∴EC=DC，AC=BC，∠ECD=∠BCA=90°，
在△AEC和△BDC中
EC=DC，∠ECA=∠DCB，AC=BC，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴∠EAC=∠DBC，AE=BD，
∵∠DBC+∠CDB=90°，∠FDA=∠CDB，
∴∠EAC+∠FDA=90°．
∴∠AFD=90°，即BF⊥AE．
故可得AE⊥BD且AE=BD．
【解析】【分析】先观察两条线短的位置关系，当两线段不相交时，可延长构造出三角形，由全等证出对应角相等，转化得到∠EAC+∠FDA=90°，进而证出结果.
25．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
【答案】（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2.
（2）证明：连接OD，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO．
在△ABD与△AEO中，
∵ ，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．
（3）证明：作EH⊥AB于H．
∵AE=BE，∴AH= AB，
∵BO= AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH与Rt△BAO中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE与△AFD中，
，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F为DE的中点．
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AB的长度。
（2）连接OE，根据线段垂直平分线上的点，到线段两个段点的距离相同，即可求得OD=AD，证明三角形ADO为等边三角形，根据两个三角形的对应边及其夹角相同，即可证明两个三角形全等，即 △ABD≌△AEO ，根据三角形全等的性质，即可得出BD=OE。
（3） 作EH⊥AB于H，根据两个直角三角形的一条直角边以及斜边对应相等，即可证明Rt△AEH≌Rt△BAO，根据三角形全等的性质，得出AO=EH，继而根据三角形的两个角及其一角的对边对应相等，即可证明三角形全等△HFE≌△AFD ，最后进行中点的证明即可。
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