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第15章 轴对称图形和等腰三角形 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中，不是轴对称的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图1，中，，D，E分别是的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
6．已知点P的坐标是，点Q与点P关于x轴对称，则Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ）.
A． B．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30° D．OC＝2BC
9．已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（ ）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 度
12．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= ．
13．已知等腰三角形的一个外角为 ，则它的顶角的度数为 ．
14．
（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 .
（2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个.
15．已知坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为 .
16．在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ，在 轴或 轴上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有 个．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长；
（2）若，，求的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小.
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D.若AB＝5，BD＝3，求△ABC的周长.
21．在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
22．如图，，，求和的度数．
23．如图，点P是∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点E、F，连接EF交OA于M，交OB于N，EF=15，求△PMN的周长．
24．在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．
（1）若为的角平分线．
①如图，已知，求证：；
②如图，已知，求证：；
（2）如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是 .
25．如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠(AM∥BN，AD∥BC)，AB为折痕，AD交BN于点E.
（1）试说明：∠MAD=∠NBC.
（2）设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数.
（3）①若按图2所示的方式折叠，请问(2)中的关系式是否仍然成立 并说明理由.
②若∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍，求∠MEC的度数.
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第15章 轴对称图形和等腰三角形 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中，不是轴对称的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：选项A、C、D是轴对称图形，选项B是轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】本题考查轴对称图形的定义.轴对称图形：如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形．观察选项可知A选项左右对折之后可以重合，据此可判断A选项；B选不能关于某条直线对折重合，据此可判断B选项；C选项左右对折之后可以重合，据此可判断C选项；D选项左右对折之后可以重合，据此可判断D选项；
2．当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
故选A．
【分析】根据题意直接动手操作得出即可．
4．数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作出判断即可.
5．如图1，中，，D，E分别是的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：当时，即BP=0，此时，即PD+PE=BD+BE=6，
当P点与E点重合时，PD+PE=DE，此时有最小值3，
∵D、E分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC=2DE=6，
∵AC=AB，
∴AB=6，BD=3，
∴BE=3=CE，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积=；
故答案为：A．
【分析】当时，即BP=0，此时，即PD+PE=BD+BE=6，当P点与E点重合时，PD+PE=DE，此时有最小值3，根据中点的性质得出DE是△ABC的中位线，证出△ABC为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解。
6．已知点P的坐标是，点Q与点P关于x轴对称，则Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：点P的坐标是，点Q与点P关于x轴对称，则Q的坐标是．
故答案为：A
【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相同、纵坐标互为相反数”，据此可求出点P关于x轴对称的点Q的坐标．
7．下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
8．如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ）.
A． B．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30° D．OC＝2BC
【答案】D
【解析】【解答】解：过C作CD⊥OB，垂足为D，如图所示，
∵S△OAC=，S△ABC=，OA=AB，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵OA=AC=AB=BC，
∴BC=OB，
∴△OCB是直角三角形，∠OCB=90°，故选项B正确，不符合题意；
在Rt△OCB中，∠OCB=90°，BC=OB，
∴∠COB=30°，即∠MON＝30°，故选项C正确，不符合题意；
∵OB=2BC，OB＞OC，
∴OC≠2BC，故选项D错误，符合题意.
故选：D.
【分析】过C作CD⊥OB，垂足为D，再根据三角形面积可判断A选项；再根据直角三角形判定定理可判断B选项；再根据含30°角的直角三角形性质可判断C选项；再根据边之间的关系可判断D选项.
9．已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
10．如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（ ）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
∵，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
∵，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：D．
【分析】利用“”可证，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，可对①作出判断；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可对②作出判断；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，可对③作出判断；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，可对④作出判断；即可求解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 度
【答案】
【解析】【解答】解：由尺规作图可知DF为AB的垂直平分线，AE为∠CAD的角平分线，
∴∠DAE=∠CAE，AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，∠BAD=40°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=50°，
∴∠DAE=∠DAC=25°.
故答案为：25°.
【分析】由尺规作图可知DF为AB的垂直平分线，AE为∠CAD的角平分线，先求出∠BAC与∠BAD的度数，再求出∠DAC，进而得出答案.
12．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD= BD=6× =3．
故答案为：3．
【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
13．已知等腰三角形的一个外角为 ，则它的顶角的度数为 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：①当外角为顶角的外角时；
∵外角度数为130°，
∴顶角度数为180°-130°=50°，
②当外角为底角的外角时；
∵外角度数为130°，
∴底角度数为180°-130°=50°，
∴顶角度数为180°-50°-50°=80°，
∴综上所述：三角形的顶角度数为50°或80°.
故答案为：50°或80°.
【分析】根据等腰三角形的一个外角为130°，分两种情况讨论：①当外角为顶角的外角时可得顶角度数；②当外角为底角的外角时可得底角度数，再根据三角形内角和定理即可求出顶角度数.
14．
（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 .
（2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个.
【答案】（1）6
（2）4
【解析】【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=2，
∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
=AB OE+AC OF+BC OD
=×6×2+×8×2+×BC×2
∵△ABC的面积20，
∴×6×2+×8×2+×BC×2=20，
解得：BC=6.
故答案为：6；
（2）如图，点A（-2，2）、B（0，1），
①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（-1，0），P2（-3，0），此时（AP=AB）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（-2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）；
③AB的垂直平分线交x轴于一点P4，此时（AP=BP）；
设此时P4（x，0），
则（x+2）2+4=x2+1，
解得：x=- ，
∴P4（- ，0）.
∴符合条件的点有4个.
故答案为：4.
【分析】（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，由角平分线的性质可得OE=OF=OD=2，根据
S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC=AB OE+AC OF+BC OD=20，即可求出BC的长；
（2）根据AP=AB，BP=AB或AP=BP分别求解即可.
15．已知坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为 .
【答案】4
【解析】【解答】如图：
①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
故答案为：4．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
16．在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ，在 轴或 轴上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有 个．
【答案】8
【解析】【解答】解：如下图所示，
若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；
线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．
∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．
故答案为：8．
【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）6
（2）
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小.
【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝52°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝ （180°﹣∠B）＝64°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝26°.
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝52°，∠BDE＝∠BED＝64°，AD⊥BC，从而得出∠ADB＝90°，利用∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE，即可得出答案.
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）
（2）解：如图所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D.若AB＝5，BD＝3，求△ABC的周长.
【答案】解：∵AB＝AC，AD⊥BD，
∴DC＝BD＝3，
∴BC＝6，
∴周长为AB+AC+BC＝5+5+6＝16.
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得DC＝BD＝3，则BC＝6，据此不难求出△ABC的周长.
21．在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
即．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定HL证出即可；
（2）先根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质进及角的和差求得，最后根据含30°的直角三角形的性质解得即可.
22．如图，，，求和的度数．
【答案】解： ，
，
，
，
，且 ，
，
．
【解析】【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得，再求出，最后利用角的运算可得。
23．如图，点P是∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点E、F，连接EF交OA于M，交OB于N，EF=15，求△PMN的周长．
【答案】解：∵P点关于OA、OB的对称点分别为E、F，
∴PM=EM，PN=FN，
∴△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF，
∵EF=15，
∴△PMN的周长=15．
【解析】【分析】根据轴对称的性质“
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”可得
PM=EM，PN=FN， 由图可得
△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF。
24．在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．
（1）若为的角平分线．
①如图，已知，求证：；
②如图，已知，求证：；
（2）如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是 .
【答案】（1）解：①证明：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴（），
∴，，
∴垂直平分线段，
∴．
（2）
【解析】【解答】解：（2），，三条线段的数量关系是．如图中，作交的延长线于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶．
【分析】（1）① 由角平分线的定义结合垂线的性质证明∠APB=∠BEM，结合∠BEM=∠AEP即可得∠AEP=∠APB，根据等角对等边得出结论；
② 根据等边对等角得∠ABC=∠ACB=45°，结合角平分线准备条件，利用ASA证明，根据全等三角形的性质和垂直平分线判定和性质得出结论；
（2）作交的延长线于，根据AAS证明，根据SAS证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论。
25．如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠(AM∥BN，AD∥BC)，AB为折痕，AD交BN于点E.
（1）试说明：∠MAD=∠NBC.
（2）设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数.
（3）①若按图2所示的方式折叠，请问(2)中的关系式是否仍然成立 并说明理由.
②若∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍，求∠MEC的度数.
【答案】（1）证明：∵
∴
∴.
（2）解：反向延长AM，如图，
∵
∴
由折叠得：
∴为等腰三角形，
∴；
（3）解：①反向延长BN，如图，
∵
∴
由折叠得：
∴
∴为等腰三角形，
∴.
②∵∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得：进而即可求解；
（2）反向延长AM，根据平行线的性质得到：由折叠得：即可证明：为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求解；
（3）①反向延长BN，根据平行线的性质得到：由折叠得：进而证明：为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求解；
②根据题意得到：进而得到关于x的方程，解方程得到：最后根据平行线的性质得到：.
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